Расчет статически определимой фермы

Задача. Определить усилия в стержнях фермы второй панели слева и стойки справа от панели, а также срединной стойки аналитическими методами. Ферма  с симметричным загружением. Дано: d=2м; h=3м; =16м; F=5кН.

2018-08-14_19-04-58

Вычисление: Сначала обозначим опоры буквами А и В, нанесем опорные реакции RА и RВ.

Определим реакции из уравнений статики. Поскольку загрузка фермы симметрична, реакции будут равны между собой:

2018-08-14_19-06-21

Если загрузка фермы несимметричная, то реакции определяются как для балки с составлением уравнений равновесия МА=0 (находим RВ), МВ=0 (находим RА), у=0 (проверка).

Теперь обозначим элементы фермы:

«О» — стержни верхнего пояса (ВП),

«U» — стержни нижнего пояса (НП),

«V» — стойки,

«D» — раскосы.

С помощью этих обозначений удобно называть усилия в стержнях, н.р., О4 — усилие в стержне верхнего пояса; D2 – усилие в раскосе и т.д.

Затем обозначим цифрами узлы фермы. Узлы А и В уже обозначены, на остальных расставим цифры слева направо с 1 по 14.

2018-08-14_19-08-05

Согласно заданию, нам предстоит определить усилия в стержнях О2, D1, U2 (стержни второй панели), усилие в стойке V2, а также усилие в срединной стойке V4 . Существуют три аналитических метода определения усилий в стержнях:

  1. Метод моментной точки (метод Риттера),
  2. Метод проекций,
  3. Метод вырезания узлов.

Первые два метода применяется только тогда, когда ферму можно рассечь на две части сечением, проходящим через 3 (три) стержня. Проведем сечение 1-1 во второй панели слева.

2018-08-14_19-09-12

Сеч. 1-1 рассекает ферму на две части и проходит по трем стержням — О2, D1, U2. Рассматривать можно любую часть – правую или левую, неизвестные усилия в стержнях направляем всегда от узла, предполагая в них растяжение.

Рассмотрим левую часть фермы, покажем ее отдельно. Направляем усилия, показываем все нагрузки.

 

Сечение проходит по трем стержням, значит можно применить метод моментной точки. Моментной точкой для стержня называется точка пересечения двух других стержней, попадающих в сечение.

Определим усилие в стержне О2.

Моментной точкой для О2 будет т.14, т.к. именно в ней пересекаются два других стержня, попавших в сечение, — это стержни D1 и U2 .

Составим уравнение моментов относительно т. 14 (рассматриваем левую часть).        .

2018-08-14_19-10-48

О2 мы направили от узла, полагая растяжение, а при вычислении получили знак «-», значит, стержень О2сжат.

Далее в скобках будем указывать деформацию стержня – сжат или растянут.

Определяем усилия в стержне U2. Для U2 моментной точкой будет т.2, т.к. в ней пересекаются два других стержня — О2 и D1.

2018-08-14_19-13-01

Теперь определяем моментную точку для D1. Как видно из схемы, такой точки не существует, поскольку усилия О2 и U2 не могут пересекаться, т.к. параллельны. Значит, метод моментной точки неприменим.

Воспользуемся методом проекций. Для этого спроецируем все силы на вертикальную ось У. Для проекции на данную ось раскоса D1 потребуется знать угол α. Определим его.

2018-08-14_19-13-51

Тогда составим уравнение:

2018-08-14_19-14-27

 

Определим усилие в правой стойке V2. Через эту стойку можно провести сечение, которое проходило бы по трем сечениям. Покажем сечение 2-2, оно проходит через стержни  О3, V2, U2. Рассмотрим левую часть.2018-08-14_19-15-03

Как видно из схемы, метод моментной точки в данном случае неприменим, применим метод проекций. Спроектируем все силы на ось У.2018-08-14_19-15-56

 

Теперь определим усилие в срединной стойке V4. Через эту стойку нельзя провести сечение, чтобы оно делило ферму на две части и проходило бы через три стержня, значит, методы моментной точки и проекций здесь не подходят. Применим метод вырезания узлов. Стойка V4 примыкает к двум узлам – узлу 4 (вверху) и к узлу 11 (внизу). Выбираем узел, в котором наименьшее количество стержней, т.е. узел 11. Вырезаем его и помещаем в координатные оси таким образом, чтобы одно из неизвестных усилий проходило бы по одной из осей (в данном случае V4 направим по оси У). Усилия, как и прежде, направляем от узла, предполагая растяжение.

Узел 11.

2018-08-14_19-17-23

 

Проецируем усилия на координатные оси:

х=0,   -U4+ U5=0,   U4= U5

у=0,    V4=0.

Таким образом, стержень V4 нулевой.

Нулевым стержнем называется стержень фермы, в котором усилие равно 0.

Правила нулевых стержней:

2018-08-14_19-19-46

 

В двухстержневом ненагруженном узле оба стержня нулевые

 

2018-08-14_19-21-20

 

В двухстержневом нагруженном узле, если сила направлена по оси одного стержня, то второй стержень нулевой.

2018-08-14_19-21-55

 

В трехстержневом ненагруженном узле, если два стержня направлены по одной прямой, то третий стержень нулевой.

 

Как видим, последнее правило  подтверждает наши вычисления в стержне V4.

Если в симметричной ферме при симметричном загружении требуется определить усилия во всех стержнях  то следует определить усилия любыми методами в одной части фермы, во второй части в симметричных стержнях усилия будут идентичны.

Плоское напряженное состояние (1. Понятие напряженного состояния в точке)

  1. Понятие напряженного состояния в точке

В сопротивлении материалов твердое тело рассматривается как часть сплошной деформируемой среды. Содержанием этой и следующей лекции является изучение напряжений в некоторой точке тела.

Сначала вспомним, что такое напряжение. Для этого в рассматриваемой точке выделим площадку ΔF (рис. 1).

2018-08-06_13-40-20

От одной части тела к другой в общем случае передаются внутренние силы ΔNZ, ΔTZX, ΔTZY, распределенные по площадке ΔF. Нормальное напряжение σZ и касательные напряжения τZX, τZY представляют интенсивность этих внутренних сил, т. е. предел отношения ΔNZ, ΔTZX, ΔTZY к размеру площадки ΔF при условии ΔF→0.

Напряжения имеют размерность отношения силы к площади.

Очевидно, напряжения зависят от ориентации площадки и с поворотом ее изменяются. Множеству площадок, проведенных через данную точку, отвечает множество нормальных и касательных напряжений. Совокупность этих напряжений и называется напряженным состоянием в точке.

Для сравнения напомним, что в идеальной жидкости в точке всегда наблюдается всестороннее гидростатическое сжатие. При этом нормальное давление по любым площадкам остается неизменным, а касательные напряжения отсутствуют вовсе (закон Паскаля).

Твердая среда в этом отношении более сложна и требует изучения законов изменения нормальных и касательных напряжений с изменением ориентации площадки.

В следующей лекции будет показано, что в точке твердого тела всегда существуют такие три взаимно перпендикулярные площадки, через которые передаются только нормальные напряжения, а касательные напряжения в этих площадках отсутствуют.

Эти площадки и соответствующие им нормальные напряжения называют главными. С помощью понятия главных площадок и напряжений всевозможные случаи напряженного состояния в точке можно разделить на три характерных вида — линейные, плоское и объемное напряженные состояния. Их примеры показаны на рис. 2.

2018-08-06_13-44-42

На нем изображены элементарные параллелепипеды, выделенные из окрестности точки сечениями, параллельными главным площадкам.

В задачах сопротивления материалов часто встречается плоское напряженное состояние. Его признаком является равенство нулю одного из трех главных напряжений. Если в точке существует хотя бы одна площадка, полностью свободная от напряжений, то напряженное состояние будет плоским (или как частный случай — линейным). Зависимости, получаемые ниже для плоского напряженного состояния, находят широкое применение в различных задачах сопротивления материалов. Поэтому этот раздел и выделен в отдельную лекцию. Общий случай объемного напряженного состояния будет рассмотрен в следующей лекции.

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечении из восьми контуров

2017-07-23_19-05-26

 

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_19-06-09

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_19-06-36

 

Значения неизвестных углов поворота узлов:

2017-07-23_19-07-10

 

Эпюра изгибающих моментов:

2017-07-23_19-07-46

 

Частный случай №1: α=1, β=1.

2017-07-23_19-09-10

 

Частный случай №2: a=b.

z1=0; z2=0;

2017-07-23_19-10-06

 

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечении из четырех контуров

2017-07-23_18-59-17

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_18-59-59

Коэффициенты канонического уравнения:

2017-07-23_19-00-24

Решение уравнения:

2017-07-23_19-00-54

Эпюра изгибающих моментов:

2017-07-23_19-01-51

 

Частный случай №1:

2017-07-23_19-02-46

 

Частный случай №2: a=b, α=1.

2017-07-23_19-03-26

 

 

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из любого количества одинаковых контуров

2017-07-23_17-14-342017-07-23_17-15-312017-07-23_17-17-282017-07-23_17-18-03

Система канонических уравнений:

2017-07-23_17-18-52

Коэффициенты уравнений:

2017-07-23_17-19-21

Уравнения равновесия промежуточных узлов представляют собой уравнения в конечных разностях, а первое и последнее следует рассматривать в качестве граничных условий.

После подстановки значений коэффициентов в промежуточное уравнение системы и сокращения на 2017-07-23_17-20-35 получим:

2017-07-23_17-21-00

Это – линейное однородное уравнение в конечных разностях второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение отыскивается в виде:  zii.

Тогда характеристическое уравнение будет:

2017-07-23_17-22-37,

корнями которого являются:

2017-07-23_17-23-11

Очевидно также, что 2017-07-23_17-23-47.

Тогда общее решение принимает вид:

2017-07-23_17-24-17

Постоянные С1 и С2 определятся из граничных условий, которые с учетом значений коэффициентов будут:

2017-07-23_17-25-22

После подстановки имеем:

2017-07-23_17-25-59

откуда находим значения постоянных:

2017-07-23_17-26-33

где введены обозначения:

2017-07-23_17-27-05

С учетом найденных постоянных угол поворота произвольного i-го узла будет:

2017-07-23_17-28-18

Эпюра изгибающих моментов 2017-07-23_17-28-46:

2017-07-23_17-29-14

Здесь:

2017-07-23_17-29-49

                             .

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из двух контуров

2017-07-23_17-06-16

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_17-07-05

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_17-07-33

Решение канонического уравнения:

2017-07-23_17-08-01

Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1р:

2017-07-23_17-08-45

С учетом обозначения  2017-07-23_16-46-33:

2017-07-23_17-09-38

Частный случай №1: α=1.

Тогда

2017-07-23_17-10-20

Частный случай №2: 2017-07-23_17-10-47.

В этом случае:

2017-07-23_17-11-18

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из трех контуров

2017-07-23_16-53-06

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_16-54-08

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_16-54-44

Решение системы канонических  уравнений:

2017-07-23_16-57-39

Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1+ М2∙z2р:

2017-07-23_16-59-02

Введем дополнительно обозначение: 2017-07-23_16-59-42.

Тогда:

2017-07-23_17-00-10

Частный случай №1: α=1, β=1.

2017-07-23_17-01-11

Частный случай №2: с=b.

2017-07-23_17-01-55

Частный случай №3: с=b, α=β=1.

2017-07-23_17-02-50

Частный случай №4: α=β=1, а=b=c.

z1=0, z2=0, а моменты в характерных сечениях будут:

2017-07-23_17-03-42

 

 

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в одноконтурном прямоугольном сечении

 

2017-07-23_16-41-39

Используя симметрию, представим расчетную схему в виде:

                                                                                         Основная система метода перемещений

2017-07-23_16-43-16

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_16-44-03

Коэффициенты канонического уравнения:

2017-07-23_16-44-35

Решение уравнения:

2017-07-23_16-45-08

Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1р:

2017-07-23_16-45-58

Если ввести обозначение 2017-07-23_16-46-33, то

2017-07-23_16-47-10

Частный случай №1: Iв=Iа.

Тогда:

2017-07-23_16-48-08

Частный случай №2: 2017-07-23_16-49-03.

В этом случае:

2017-07-23_16-49-55