Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечении из восьми контуров

2017-07-23_19-05-26

 

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_19-06-09

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_19-06-36

 

Значения неизвестных углов поворота узлов:

2017-07-23_19-07-10

 

Эпюра изгибающих моментов:

2017-07-23_19-07-46

 

Частный случай №1: α=1, β=1.

2017-07-23_19-09-10

 

Частный случай №2: a=b.

z1=0; z2=0;

2017-07-23_19-10-06

 

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечении из четырех контуров

2017-07-23_18-59-17

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_18-59-59

Коэффициенты канонического уравнения:

2017-07-23_19-00-24

Решение уравнения:

2017-07-23_19-00-54

Эпюра изгибающих моментов:

2017-07-23_19-01-51

 

Частный случай №1:

2017-07-23_19-02-46

 

Частный случай №2: a=b, α=1.

2017-07-23_19-03-26

 

 

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из любого количества одинаковых контуров

2017-07-23_17-14-342017-07-23_17-15-312017-07-23_17-17-282017-07-23_17-18-03

Система канонических уравнений:

2017-07-23_17-18-52

Коэффициенты уравнений:

2017-07-23_17-19-21

Уравнения равновесия промежуточных узлов представляют собой уравнения в конечных разностях, а первое и последнее следует рассматривать в качестве граничных условий.

После подстановки значений коэффициентов в промежуточное уравнение системы и сокращения на 2017-07-23_17-20-35 получим:

2017-07-23_17-21-00

Это – линейное однородное уравнение в конечных разностях второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение отыскивается в виде:  zii.

Тогда характеристическое уравнение будет:

2017-07-23_17-22-37,

корнями которого являются:

2017-07-23_17-23-11

Очевидно также, что 2017-07-23_17-23-47.

Тогда общее решение принимает вид:

2017-07-23_17-24-17

Постоянные С1 и С2 определятся из граничных условий, которые с учетом значений коэффициентов будут:

2017-07-23_17-25-22

После подстановки имеем:

2017-07-23_17-25-59

откуда находим значения постоянных:

2017-07-23_17-26-33

где введены обозначения:

2017-07-23_17-27-05

С учетом найденных постоянных угол поворота произвольного i-го узла будет:

2017-07-23_17-28-18

Эпюра изгибающих моментов 2017-07-23_17-28-46:

2017-07-23_17-29-14

Здесь:

2017-07-23_17-29-49

                             .

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из двух контуров

2017-07-23_17-06-16

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_17-07-05

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_17-07-33

Решение канонического уравнения:

2017-07-23_17-08-01

Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1р:

2017-07-23_17-08-45

С учетом обозначения  2017-07-23_16-46-33:

2017-07-23_17-09-38

Частный случай №1: α=1.

Тогда

2017-07-23_17-10-20

Частный случай №2: 2017-07-23_17-10-47.

В этом случае:

2017-07-23_17-11-18

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в сечениях из трех контуров

2017-07-23_16-53-06

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_16-54-08

Коэффициенты канонических уравнений:

2017-07-23_16-54-44

Решение системы канонических  уравнений:

2017-07-23_16-57-39

Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1+ М2∙z2р:

2017-07-23_16-59-02

Введем дополнительно обозначение: 2017-07-23_16-59-42.

Тогда:

2017-07-23_17-00-10

Частный случай №1: α=1, β=1.

2017-07-23_17-01-11

Частный случай №2: с=b.

2017-07-23_17-01-55

Частный случай №3: с=b, α=β=1.

2017-07-23_17-02-50

Частный случай №4: α=β=1, а=b=c.

z1=0, z2=0, а моменты в характерных сечениях будут:

2017-07-23_17-03-42

 

 

Формулы усилий для расчета обделок вертикальных выработок в одноконтурном прямоугольном сечении

 

2017-07-23_16-41-39

Используя симметрию, представим расчетную схему в виде:

                                                                                         Основная система метода перемещений

2017-07-23_16-43-16

Эпюры моментов в основной системе:

2017-07-23_16-44-03

Коэффициенты канонического уравнения:

2017-07-23_16-44-35

Решение уравнения:

2017-07-23_16-45-08

Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1р:

2017-07-23_16-45-58

Если ввести обозначение 2017-07-23_16-46-33, то

2017-07-23_16-47-10

Частный случай №1: Iв=Iа.

Тогда:

2017-07-23_16-48-08

Частный случай №2: 2017-07-23_16-49-03.

В этом случае:

2017-07-23_16-49-55

Алгоритм формул метода перемещений для бруса на упругом основании Власова-Леонтьева

2017-06-18_14-32-27

Случай I  От φ=1

2017-06-18_14-33-23

«Основная система»

2017-06-18_14-34-03

  1. Определение толщины обжимаемого слоя грунта «Н1».
  2. Вычисление параметров r и s при b1=1,2017-06-18_14-36-17
  3. Введение безразмерной абсциссы 2017-06-18_14-36-47.
  4. Начальные параметры для основной системы:

         V0=0, M0=0.

   5.Граничные условия на правом краю:

при ξ=1 (x=d):   V (1)=0,              (1)

                            φ(1)=0.              (2)

«Развернув» их по формуле (2), будем иметь:

(1):  φ0K(1)+MKvм(1)+Q0KvQ(1)=0,

(2):  φ0Kφφ(1)+MKφм(1)+Q0KφQ(1)=0,

откуда:

2017-06-18_14-41-54;

    6. Из условия φ0=1 найдем М:

2017-06-18_14-42-39

   7.По найденному значению «М» определяем: М0=М, φ0=1 и Q0.

    8.По третьей и четвертой формулам  при отсутствии грузовых членов находим значения М и Q в характерных сечениях 1, 2, 3 и 4.

Случай II  От ∆=1

2017-06-18_14-46-26

«Основная система»

2017-06-18_14-46-53

Пункты 1), 2), 3) – те же, что и в случае 1.

4. Начальные параметры:

V0=0, φ0=0.

5. Граничные условия на правом краю:

   φ(1)=0,              (1)

   Q (1)=Р.             (2)

«Развернув» их по формуле (2), получим:

(1): M0Kφм(1)+Q0KφQ(1)=0,

(2): M0KQм(1)+Q0KQQ(1)=P,

откуда:

2017-06-18_14-51-01

6  Из условия V (1)=1 находим значение «Р»:

M0Kvм(1)+Q0KvQ(1)=1,

                или

2017-06-18_14-52-36

откуда:

2017-06-18_14-53-14

7) Зная «Р», находим: М0 и Q0.

8)  По третьей и четвертой формулам  определяем значения М и Q в характерных сечениях.

Пример 1. Эпюры  М и Q от φ=1 для бруса длиной d=4м, сечением 1м×0,2м, при Е=332∙104т/м2.

2017-06-18_15-21-24

  1. Для конструкции тоннельной обделки интенсивность нагрузки на элемент лотка составляет:

2017-06-18_15-24-09

Известное решение теории упругости о действии сосредоточенной

силы на границе полуплоскости дает для maxσ следующее выражение:

2017-06-18_15-24-55

Что касается величины бытового напряжения, то в рассматриваемом примере σбытгр(h0+h+d2+H1)=1,5 (0,833+1,5+5+Н1)=1,5 (7,333+Н1).

Тогда, Н1 определяется из условия:

maxσ=1,2σбыт:

2017-06-18_15-25-43

или 2017-06-18_15-26-14,

откуда 2017-06-18_15-26-48.

Как известно, чем тоньше обжимаемый слой грунта, тем ближе гипотеза Винклера к модели упругого полупространства.

В нашем случае, при Н1=0,261м:

— значение параметра 2017-06-18_15-27-36, характеризующего работу слоя грунта на обжатие, будет при μ0=0,3:

2017-06-18_15-28-38,

— значение параметра 2017-06-18_15-29-06, характеризующего работу слоя грунта на срез 2017-06-18_15-29-54, что в 252 раза меньше k1,

— а величина коэффициента постели по Винклеру:

2017-06-18_15-30-31

Из сравнения следует, что величина второго параметра упругого основания t пренебрежимо мала, а расхождение между параметром k1 и коэффициентом постели k составляет всего 9%.

В связи с этим нет необходимости в данном конкретном примере реализовывать алгоритм В.З.Власова, а вполне можно воспользоваться справочным материалом для элемента основной системы — см.здесь (с использованием теории упругого основания Винклера).

То же самое, очевидно, справедливо и для усилий от ∆=1.

О применимости двухпараметрической модели В.З.Власова-Н.Н.Леонтьева к расчету тоннельных обделок мелкого заложения

При применении формул метода начальных параметров для балки конечной длины под действием равномерно распределенной нагрузки на упругом основании Власова-Леонтьева используются параметры «s» и «r».

Сравнивая выражения параметров «s» и «r», замечаем, что отношение 2017-06-18_13-16-28  пропорционально 2017-06-18_13-17-03 и обратно пропорционально Н2. Следовательно, при малых значениях толщины обжимаемого слоя H<1м разница в величинах s2 и r2 огромна, и поэтому значения параметров α и β  почти одинаковы, а следовательно 2017-06-18_13-17-14 . В этом случае специальные функции Власова   вырождаются в гиперболо-круговые функции одного аргумента, образующие известные функции Крылова.

Действительно, если 2017-06-18_13-18-44 и 2017-06-18_13-19-16, то 2017-06-18_13-19-42.

При μ0=0,3:

2017-06-18_13-20-16

Если Н≤1м, то t≤5,83% k1— пренебрежимо малая величина.

Но если Н>1м, то t>5,83% k1, а именно:

— при Н=1,5м: t=13% k1,

— при Н=2м: t=23,3% k1,

— при Н=5м: t=45,75% k1,

— при Н=10м: t=58,3% k1.

Специфика условий сооружения и эксплуатации тоннелей мелкого заложения в открытых котлованах, а также многоочковых дорожных труб и проездов под высокими насыпями диктует простую прямоугольную форму поперечных сечений. Следовательно, элементы таких конструкций оказываются изгибаемыми, что диктует в свою очередь и выбор материала – это железобетон. Поэтому подобные сооружения получаются тонкостенными с относительно небольшим собственным весом.

Значит, такая конструкция, погруженная на малую глубину в грунт, обладая небольшим весом, не может вызвать и значительной толщины обжимаемого слоя «Н» под лотком.

В самом деле, нагрузку на тоннель, кроме его собственного веса, создает вес столба грунта над ним. А бытовое (фоновое) напряжение σбыт возникает не только от веса такого столба, но еще и от веса столба грунта высотой, равной высоте самого тоннеля hк. Таким образом, для того, чтобы maxσ хотя бы сравнялось с напряжением σбыт, надо, чтобы собственный вес единицы ширины обделки был не менее, чем γгр ·hк, чего в относительно легких тонкостенных конструкциях практически не бывает.

Отсюда следует, что для расчета тоннельных обделок мелкого заложения двухпараметрическую модель упругого основания применить практически невозможно.

Что же касается многоочковых прямоугольных дорожных труб и проездов под высокими насыпями, то довольно простой анализ показывает: чтобы значения параметров α и β хоть сколько-нибудь заметно отличались друг от друга (а только в этом случае аргументы круговых и гиперболических функций в составе решений 2017-06-13_13-21-26 получаются различными), высота насыпи над сооружением должна быть нереально большой, либо сама конструкция должна стать массивной и обладать огромным собственным весом, что совершенно нерационально.

Однако, если толщина обжимаемого слоя грунта, определенная иным путем либо назначенная по каким-то соображениям, окажется существенно большей 1м, то необходимо будет применить разработанный В.З.Власовым алгоритм, основанный на двухпараметрической модели упругого основания, поскольку в таком случае модель Винклера менее достоверна.

Формулы метода начальных параметров для балки конечной длины под действием равномерно распределенной нагрузки на упругом основании Власова-Леонтьева

Дифференциальным уравнением изгиба балки на упругом основании Власова-Леонтьева является:

2017-06-13_12-48-35,

которое введением относительной абсциссы 2017-06-13_12-49-21 сводится к виду:

2017-06-13_12-50-06    (1) ,

  где:EI- изгибная жесткость балки,

2017-06-13_12-51-22

Н – толщина упругого основания,

ℓ — длина балки,

Е0 – модуль деформации грунта основания,

μ0 – коэффициент Пуассона грунта,

b – ширина слоя основания, равная ширине сечения балки,

q – интенсивность нагрузки,

z – абсцисса сечения,

V=V (η) – обобщенный прогиб.

Решение этого уравнения по методу начальных параметров дано В.З.Власовым в виде:

  2017-06-13_13-16-19              (2), где:

K – функции влияния,

F – функции, зависящие от вида нагрузки и ее расположения на балке,

V0, φ0, M0, Q0 – начальные параметры.

Для балки под действием равномерно распределенной нагрузки «q» в случае шарнирного опирания по концам: V0=0 и M0=0, а φ0 и Q0 определяются из граничных условий при η=1:

V (1)=0 и М(1)=0. В развернутом виде эти условия будут:

2017-06-13_13-18-13  (3)

здесь: KI(1) первый интеграл от функции влияния при η=1,

           KI(0) – первый интеграл от функции влияния при η=0.

Значения первых интегралов функций влияния получаются, если в выражениях для самих этих функций K заменить специальные функции  2017-06-13_13-21-26 их первыми интегралами 2017-06-13_13-22-06, тем самым избежать операции интегрирования.

Формулы (2) для рассматриваемого случая загружения и опирания примут вид:

2017-06-13_13-22-58                  (4)

Выражения функций влияния для случая s>r имеют вид:

2017-06-13_13-23-55 (5)

Выражения (3), (4) и (5) будут использоваться при решении задачи1, то есть изгиба тоннельной обделки как балки с жестким контуром сечения на упругом основании модели В.З.Власова.

А для решения задачи2 потребуются формулы метода перемещений для элементов основной системы, связанных с упругим основанием Власова-Леонтьева. Алгоритм и пример их получения приведен — здесь.