Штаны для мира

Пока наши разговоры о моллюске отсчета, сменив­шем старый аквариум, не более, чем слова. Пока есть только изложение замысла. Реализовать замысел — значит указать, каков моллюск, каковы конкретно зако­номерности изменений его формы, как она зависит от заполняющего его движущегося вещества.

Поставив перед собой эту цель, Эйнштейн шел к ней долго, с исключительным упорством. Надо было влить математическое содержание в идею кривизны четырехмерной пространственно-временной диаграммы. Дать формулы для ее вычисления и, как следствие, для пред­сказания движений тел в реальном мире.

Отправным пунктом работы послужила общая мате­матическая характеристика кривизны — не что иное, как усложненная и обобщенная форма хорошо знако­мой нам теоремы Пифагора.

Напомню, что эта теорема — метрическая, то есть содержит в себе рецепт определения расстояний. На плоскости она имела простейший школьный вид:

S2 = а2 + b2

На искривленной поверхности изменилась: S2 стало не равно а2 + b2. Не стоит выписывать измененной формы этой теоремы. Скажу лишь, что для определения квадрата расстояния на любой искривленной поверх­ности а2 и b2 надо на что-то умножить да еще в форму­ле появится член с произведением а на b. (Тут к тому же а и b будут бесконечно малыми величинами.) Аналогично изменится вид трехмерной теоремы Пифагора в изогнутом трехмерном пространстве.

А в мире Минковского? На четырехмерной диа­грамме быстрых движений?

Эта диаграмма строилась на основе постулатов Эйн­штейна. В результате на ней отобразилась связь про­странства и времени: появились гиперболические калибровочные линии, отсекающие на разных осях разные масштабы длин и длительностей. Это определило вы­ражение для квадрата интервала (то есть, опять напоминаю, расстояния между двумя событиями в четы­рехмерном пространственно-временном мире). В двена­дцатой главе оно было записано так:

2016-03-10 20-30-42 Скриншот экрана

Расшифровав по «прямой» пространственной теореме Пифагора l2 как сумму x2+y2+z2, получим:

2016-03-10 21-25-00 Скриншот экрана

Очень похоже на теорему Пифагора, только четвер­тое слагаемое отрицательно. Но от этого можно изба­виться. Ради симметрии сделаем замену: вместо —с2t2 будем писать τ2. Тогда сходство, во всяком случае по математической форме, будет полным.

Таково метрическое правило для измерения интер­вала на диаграмме частной теории и относительности — без учета тяготеющих масс. Тут мир не имеет кривизны.

Ну, а в искривленном мире выражение интервала усложнится — подобно тому, как усложнилась теорема Пифагора на шаре или седле. Каждый член правой части формулы на что-то умножится, появятся члены с произведениями ху, хz и т. д. Что же получится?

Дабы подчеркнуть неравномерную кривизну мира, все отсчеты снабдим значком Δ (дельта)—это будет означать, что измерения ведутся в достаточно малой области мира, где кривизна его остается постоянной. И тогда (поверьте на слово) интервал между двумя близкими событиями в искривленном мире простран­ства — времени будет выглядеть так:

2016-03-10 21-35-05 Скриншот экрана

Множители g, снабженные парой индексов (от 1 до 4), — коэффициенты кривизны. Их всего десять. От них-то, в конечном итоге, и зависит искривление мира. А сами они зависят от масс и расстояний до окружаю­щих тел.

Написанное выражение носит громкий и почетный титул — фундаментальный метрический тензор. Отметив музыкальную звучность термина, воздержимся от расшифровки его смысла (это чистая математика). По су­ществу, здесь не что иное, как усложнение и обобщение «покроя» школьных «пифагоровых штанов» на случай искривленного четырехмерного мира, диаграммы дви­жения в эйнштейновском моллюске отсчета.

В далекой от звезд и планет пустоте при равномер­ном движении моллюск обращается в аквариум и ни­какой кривизны мира нет. Фундаментальный метриче­ский тензор становится интервалом специальной тео­рии относительности. В этом случае (при обратной за­мене τ2 на —с2t2)

g11 = g22 = g33 = 1;

g444=  - с2,    a  g12 = g13 = g14 = g23 = g24 = g34 = 0.

Там же, где нет вокруг полной пустоты, где сравни­тельно недалеки звезды и планеты, должны иметь место отклонения от этих «нормальных» значений метрических коэффициентов.