Два варианта кривизны

Итак, мы с вами добрались до кривого пространства. Научились, кажется, устанавливать изнутри его сам факт кривизны: об этом может свидетельствовать нару­шение евклидовых метрических теорем.

Геометры идут дальше: они умеют предсказывать, как именно изменится теорема Пифагора и сумма углов треугольника в пространствах, искривленных по-раз­ному. Рассуждения похожи на те, что я вел, будучи блином на неизвестной поверхности. Например, если а2+b22 меньше, чем S2, а сумма углов треугольни­ка меньше двух прямых («пифагоровы штаны» и «тре­угольная шляпа» для пустоты «малы»), то простраство гиперболическое. Вместо плоскостей в нем седло­видные поверхности, вместо прямых — гиперболы. Этот вариант неевклидовой геометрии и был разработан Ло­бачевским.

Другая геометрическая система, развитая замеча­тельным немецким математиком Георгом Риманом, по­лучится, если а2+b22 выйдет больше, чем S2, сумма углов треугольника превысит два прямых. Эта геометрия называется эллиптической. В ней вместо пло­скостей — поверхности вроде яичной сколупы или мя­ча, вместо прямых — дуги больших эллипсов или, соот­ветственно, больших кругов.

Позволю себе повторить еще раз: в плавно искрив­ленном пространстве все геодезические линии представ­ляются прямыми. «Истинных» же прямых там нет, их невозможно провести. Любая неизбежно согнется, как обязательно согнется нить, натянутая по сфере. Причем, если пространство искривлено неравномерно, в разных местах по-разному, то и прямейшие геодезические линии в разных точках согнутся неодинаково. При движе­нии вдоль геодезической ее «волнистость», конечно, незаметна. Всюду эта линия выглядит одинаково пряме­хонькой. Однако стоит испытать в разных местах мет­рические правила, как обнаружатся изменения, откло­нения от привычной евклидовой «нормы».

Короче говоря, в неравномерно-неевклидовом про­странстве от точки к точке меняется метрика, приемы определения расстояний. Меняется теорема Пифагора. В общем виде простая формула ее заменяется более сложной, включающей величины, которые характеризу­ют кривизну пространства в разных его местах. И, как следствие, в разных местах такого пространства ока­зываются разными длины предметов, кратчайшие расстояния между точками.

Вот такие чудеса допускают геометры в неевклидо­вом пространстве!