От окна до киоска

Я уже не блин. Мне возвращена высота. Я покинул мир тесных, бесконечно тонких площадей, живу, как и вы, в объеме, в глубоком, раздольном пространстве. Хорошо! Есть где развернуться! Можно не только пол­зать, но и прыгать и летать. Это очень приятно.

Но мне не до развлечений. В бытность блином я привык беспрерывно исследовать кривизну своего мира, и теперь меня тянет заняться тем же в пространстве.

Прежде всего я намереваюсь придумать способ обла­чения пустоты в «пифагоровы штаны» и примерки к ней «треугольной шляпы».

Как это сделать?

Вот легонькая задачка из школьной стереометрии.

От моего окна (на пятом этаже) до газетного киоска на противоположной стороне улицы «напрямую» S мет­ров. По тротуару от моего дома с метров, bширина улицы, а — до высоты моего окна. Требуется найти S, не мешая уличному движению — не протягивая из окна к киоску туго натянутой веревки, а вычислив это рас­стояние через а, b и с.

2016-03-07 18-10-41 Скриншот экрана

Решение наипростейшее: считаем, что стена дома со­ставляет прямой угол с поверхностью тротуара, что переход через улицу перпендикулярен к ней самой, пренебрегаем кривизной земной поверхности и дважды при­меняем теорему Пифагора. Так добываем формулу:

S2 = a+ b2 + c2

Вышло очень похоже на теорему Пифагора, но уже не для плоскости, а для пространства. Для крат­чайшего расстояния S, прокладываемого «через пу­стоту».

Разумеется, а, b и с можно менять, можно строить около расстояния S самые разнообразные прямоуголь­ные треугольники. И по традиционной школьной геометрии квадрат расстояния во всех случаях будет равен сумме квадратов его трех взаимно перпендикулярных коорди­натных отсчетов. Поэтому выражение теоремы Пифагора считается главным инвариантом евклидовой геометрии.

Очень хорошо. От мет­рики плоскости мы шагнули к метрике пространства. Но вот существенная тонкость.

Наше решение выглядит непогрешимым и единствен­но возможным. Однако оно предполагает самоочевид­ное, как кажется, условие: в пространстве существуют плоскости. Именно поэтому мы считали себя вправе дважды применить плоскую теорему Пифагора (она, как говорилось, годится в этом простейшем виде лишь для плоскостей).

На том же условии не­трудно доказать и другую теорему — о том, что не только в плоских, но и про­странственных треугольниках сумма углов составляет два прямых. Раз уж, согласно Евклиду, через любые три точки пространства можно провести плоскость, то и любой пространственный треугольник обязан быть плоским. Но так ли обстоит дело в действительности? Будут ли впору «прямые» штаны и «прямая» шляпа реальному пространству?

Что ж, из всего этого следует как будто немудрящий рецепт облачения пустоты в «пифагоровы штаны» и «треугольную шляпу». Надо проделать измерения длин и углов в реальных пространственных треугольниках. И таким способом «испытать пространство на кри­визну».