Сфера Пуанкаре

Еще диковина: некоторые неевклидовы пространства могут быть конечными, хоть и безграничными. Расстоя­ния там не превышают некоего определенного значения и, соответственно, не могут существовать сколь угодно большие объемы.

Подобно тому, как яйцо или мяч обладают безгра­ничной поверхностью, но ограниченной площадью, эл­липтическое пространство не имеет границ и тем не менее имеет конечный объем. Искривляясь, оно как бы замыкается на себя!

Странно? Очень.

Но все же доступ­но наглядному модели­рованию.

Французский мате­матик Анри Пуанкаре, один из предшественников Эйнштейна, ухитрился при­думать любопытную модель замкнутого сферического пространства. Вот что он советует вообразить.

В шаровом сосуде находится некая среда, в которой плавают предметы и существа, наделенные весьма фан­тастическими свойствами. При охлаждении и среда и предметы абсолютно одинаково сжимаются, причем при нуле градусов обращаются в точки. Кроме того, свето­вые лучи в этой среде преломляются тем сильнее, чем ниже температура. Шар снаружи заморожен до нуля градусов. А изнутри, из центра, разогрет. И от центра к периферии температура плавно снижается. Еще условие: существо в шаре не должно ощущать перемен тем­пературы. Ему всегда «не жарко, не холодно». Вот и все.

По вашей командировке я обретаю указанные свой­ства, переселяюсь в шар Пуанкаре (пусть висящий где- то в космосе, в невесомости) и, допустим, обитаю в нем в полном одиночестве. Тем не менее я замечаю вокруг множество человеческих фигур. Всюду я вижу себя и только себя — и впереди, и сзади, и со всех сторон. Све­товые лучи идут замкнутыми путями. Приближаясь к краям шара, они, плавно преломляясь, заворачивают внутрь, так что эти края невозможно увидеть, даже на­ходясь совсем рядом с ними. Завернув, лучи возвра­щаются туда, откуда вышли. Вот и получается, что пе­редо мной — моя спина, надо мной — подошвы моих ног, подо мной — моя макушка. Стреляя вперед из све­тового пистолета, я, если захочу, попаду в собственный затылок.

Разумеется, луч представляется мне прямым. Счи­тая его эталоном прямизны, я не замечаю кривизны своего пространства. Ее нельзя обнаружить и движе­нием: шагая вдоль луча, я открываю лишь существо­вание предельно большого расстояния, так как вскоре возвращаюсь к месту старта. Стенки шара мне совер­шенно недоступны. Когда я подхожу к ним, то сжима­юсь вместе с окружающей средой, и одновременно сжи­маются все расстояния вокруг меня, все длины, все вы­соты. В любой точке шара я не замечаю изменения своих размеров. Поэтому всюду я воспринимаю окру­жающее пространство так, будто нахожусь в его цен­тре. И не вижу нигде никаких границ своего малень­кого мирка. Он конечен по объему, но для меня безгра­ничен. Очень красивая модель!

Как это ни парадоксально, шар Пуанкаре, быть мо­жет, кое в чем схож с нашей необозримой Вселенной. Но об этом потом.