Архив рубрики: Говорят диаграммы

Новое зрение

Так мы добрались до удивительного вообще-то вы­вода: мир четырехмерен. При жизни Минковского, в го­ды молодости Эйнштейна это было воспринято кое-кем чуть ли не как божественное откровение.

Тогда, в начале века, широкая публика начала поне­множку интересоваться успехами математики, и вошли в моду салонные беседы о многомерных пространствах. Невообразимые, неощутимые, они казались обиталищем таинственных миров-невидимок, которые пронизывают и обнимают нашу скромную трехмерную Вселенную. Многие склонны были видеть в четырехмерности не ма­тематическую абстракцию, а нечто потустороннее, ми­стическое. И, конечно же, по инерции перенесли такое отношение на мир Минковского. А стало быть, и на тео­рию Эйнштейна.

Однажды некая знатная дама после популярной лекции Эйнштейна восхищенно поблагодарила его за «подтверждение сверхъестественной четырехмерности». Эйнштейн расхохотался. Дама ровным счетом ничего не поняла. Найти мистику в четырехмерной простран­ственно-временной диаграмме можно с таким же успе­хом, как в таблице футбольных игр.

Мир Минковского — это только сочетание графиков, геометрическая иллюстрация физического единства про­странства и времени. Каждое событие фиксируется в любой системе отсчета не тремя, а четырьмя величина­ми—тремя координатами пространства и одной вре­мени.

Вот и вся премудрость.

Этот новый мир — мир-диаграмма. Взгляд сразу на обе составные части системы отсчета — и на простран­ство и на время. Очень удобный ракурс для физиче­ского «зрения».

Но только пользоваться им надо с оглядкой. И по­мнить одну очень существенную черту четырехмерного мира: одна из осей во всех его системах отсчета — ось времени — неравноправна с тремя остальными. В про­странстве можно лететь куда угодно, во времени — только вперед.

Забыв об этом, легко попасть впросак.

Как это бывает, сейчас увидим.

Три плюс одно

Чаще всего физические тела движутся в пространстве в трех взаимно перпендикулярных измерениях (и в дли­ну, и в ширину, и в высоту). Строго говоря, только такие движения и существуют. Самолет облетает гору— и под­нимается, и сворачивает; автомобиль делает вираж и пры­гает по ухабам; Луна кружит вокруг Земли и вокруг Солнца сразу. Конечно, старое условие остается в силе: мы обсуждаем пока только равномерные и прямолиней­ные движения. Но и для них наиболее общи объемные си­стемы отсчета.

Поэтому реальная диаграмма Минковского должна иметь в каждой системе не одну и не две простран­ственные оси, а три — длину, ширину и высоту. И к ним добавится еще ось времени.

Надо, чтобы три пространственные оси расположи­лись под прямыми углами друг к другу (как ребра аква­риума). И чтобы ось времени тоже была к ним перпен­дикулярна— сразу ко всем трем. Этим условиям должен удовлетворять полный — уже без всяких упрощений — мир Минковского.

Увы, как ни старайтесь, такой четырехмерной диа­граммы вы не построите. Ни на листе бумаги, ни в объ­емной модели. Потому что пространство, в котором мы живем, всего лишь трехмерно. Четвертое измерение (время) некуда будет девать: его никак не поставишь перпендикулярно к трем остальным.

Но то, что нельзя построить, можно попробовать во­образить.

Знатоки геометрии умеют, не строя четырехмерных фигур, чертить их проекции на трехмерное пространство или плоскость — это умение не требует особой одаренности, его уже начали при­вивать ученикам некоторых наших физико-математических школ; нужно развить пространственное воображение и накопить навык. Получаются соответственно объемные тела и плоские фигуры. Примерно так же на плоскость (скажем, стену комнаты) или на линию (натянутую нить) падают тени (проекции) объемных трехмерных тел — людей, чайников, стульев и т. д.

Короче говоря, несмотря на то, что уменьшенную ко­пию четырехмерного мира Минковского нельзя нарисо­вать на бумаге или вылепить из глины, оперировать с ним можно. И составлять с его помощью сложные «рас­писания» множества сверхбыстрых движений. В распи­саниях нас интересуют времена и расстояния, а они как раз и складываются из «теней» — из проекций про­странственно-временных интервалов на оси, плоскости, объемы систем отсчета.

Два плюс одно

Наши диаграммы продолжают оставаться чрезмерно упрощенными. На них лишь те движения, что происхо­дят на единственной прямой линии. Потому-то и удает­ся обходиться лишь одним пространственным измере­нием — длиной. Но таких движений вокруг почти не найдешь. Разве действительно железнодорожные поез­да, да и то если магистраль идеально прямая.

Куда больше вещей движется по поверхности. На­пример, лодка пересекает наискось реку.

Попробуем изобразить это на диаграмме Минковского (предполагая, что лодка сверхбыстрая). Будут вместо осей расстояний — координатные плоскости, на них оси длины и оси ширины. Начала обеих систем­ — на берегу в пункте и в момент старта лодки. Оттуда при старте посылается световой сигнал, который бежит во все стороны и поэтому на диаграмме дает не световую линию, а световой конус. Вот что получится (см. рис.).

2016-02-14 11-25-32 Скриншот экрана

Построение исполнено точно по правилам Минковского. Следуя им, ко­ординатную плоскость лодки пришлось накло­нить так, чтобы углы между нею и световым конусом всюду были рав­ны углам между свето­вым конусом и осью времени лодки. Этой оси на чертеже нет. Нарисуйте ее самостоя­тельно.

Не забывайте, что верх этой картинки — отнюдь не небо. Небу не нашлось места. Вверх идут оси времени, или мировые линии (на диаграмме есть только ось вре­мени берега).

Разберитесь в чертеже. И попробуйте провести про­екции секунд и метров берега, лодки, течения. Это любо­пытно и поучительно.

Занятие, правда, не из простых — больше подходит для десятиклассников. А впрочем, ничего сверхъестест­венно трудного в нем нет.

Киев—Москва — Ленинград

Я обязан напомнить: описанный мир — не более чем примитивная модель диаграммы настоящих движе­ний. Ведь наши поезда шли только от Москвы и только в сторону Ленинграда. А пространство фигурировало в виде одной только линиижелезной дороги, начина­ющейся в Москве.

Усложняя мир, присоединим к Октябрьской желез­ной дороге Киевскую (считаем, что получится прямая магистраль), но начало всех систем отсчета (отбытие поездов), как и прежде, предполагаем в Москве в мос­ковскую полночь. Вот какая будет диаграмма:

2016-02-14 11-14-11 Скриншот экрана

Поезда мчатся здесь из Москвы в Киев (влево) и в Ленинград (вправо). Телеграммы — тоже в обе стороны. Световых линий стало две, и они разместились под прямым углом: в Москве как бы вспыхнула мол­ния, и ее свет летит сразу к Ленинграду и Киеву.

Следующее усложнение. К будущему присоединяем прошлое. Ленинградские поезда в полночь проезжают Москву и едут дальше, в Киев. Киевские, минуя в пол­ночь же Москву, следуют в Ленинград. Телеграммы из Киева в Ленинград и из Ленинграда в Киев точно в 0 часов проскакивают через Москву:

2016-02-14 11-16-36 Скриншот экрана

Световые линии скрестились. Сверху между ними будущее, снизу — прошлое. А справа и слева — те обла­сти мира, куда поезда, подчиняющиеся нашему невооб­разимому расписанию (все минуют Москву в полночь и от этой мировой точки считают свои времена и рас­стояния), попасть не могут. Ибо нет в природе поездов, несущихся быстрее света.

От качества к количеству

Что же такое интервал? Каков его физический смысл?

Это — пространственно-временной промежуток меж­ду событиями, выражающий, говоря словами Минковского, «некий род единства» пространства и времени.

Галина лента не имеет абсолютной длины, не имеет абсолютной длительности («времени жизни» в размо­танном состоянии). Но она имеет интервал — «некое единство» длины и длительности.

Причем каждый наблюдатель, измеривший длину и время бытия развернутой ленты своими линейкой и ча­сами, может быть уверен: вычисленная величина ква­драта интервала ленты и у него, и у всех его коллег из других иначе движущихся систем отсчета получится точно такой же.

В этой неизменности (физики говорят—инвариант­ности) интервала — драгоценное свойство природы, ре­цепт для вычисления количественных релятивистских эффектов. Прежде нам были доступны лишь смутные, чисто качественные рассуждения. Я произносил неопре­деленные слова «длиннее», «короче», «быстрее», «мед­леннее», и только. Теперь же открыта дверь к матема­тической точности, к числу.

Благодаря инвариантности интервала я вправе сде­лать о ленте следующее математическое утверждение, объединяющее точки зрения и Гали и Вали:

2016-02-08 16-39-19 Скриншот экрана

А из этого равенства после не очень сложных выкла­док вытекают знаменитые формулы, называемые преоб­разованиями Лоренца (по имени известного физика, который сумел их вывести за год до Эйнштейна, исходя из совсем других, неверных представлений: Лоренц думал, что движущиеся тела сплющиваются эфирным ветром). Привожу их, по традиции этой книжки, без вывода.

Для двух систем отсчета, равно­мерно движущихся друг относительно друга по прямым параллельным путям, релятивистские длительности яв­лений и продольные релятивистские длины даются вы­ражениями:

2016-02-08 16-46-43 Скриншот экрана

2016-02-08 16-49-21 Скриншот экрана

Здесь t'— релятивистская длительность, t — собст­венная длительность, I' — релятивистская длина, I — соб­ственная длина, с — скорость света, v — относительная скорость систем отсчета.

Формулы просты и красноречивы. Сразу видно, при каких условиях они начинают удивлять: когда относи­тельная скорость вплотную приближается к скорости света. В противном случае, для малых скоростей, с практически беспредельной точностью действуют ста­ринные правила Галилея:

t' = t I' = I

Абсолютное в относительном

Я забыл вам сказать, что Галя растянула ленту по ракетному прилавку за несколько секунд до встречи с Валей.

Раньше лента была свернута. А после пререканий раздосадованная Галя своими сверхпроворными рука­ми мгновенно смотала ленту и спрятала ее в шкаф. Та­ким образом, развернутая лента заняла ограниченную часть мира пространства — времени. Это нетрудно на­рисовать на диаграмме:

2016-02-08 13-56-41 Скриншот экрана

Заштрихованная часть — лента, пока она была раз­вернута.

«Подставьте» к ней неодинаково движущихся наблю­дателей— каждый воспримет ее «под своей длиной» и «под своим временем». На диаграмме выйдет нечто вроде изменений угла зрения, под которым с разных расстояний видна фабричная труба.

Однако в предыдущей главе, рассуждая на эту те­му, я обещал вам указать некий признак предмета, не зависящий от движения наблюдателя. Пришла пора исполнить обещание.

Признак этот называется интервалом. Его существо­вание строго следует из геометрических особенностей мира Минковского, из того факта, что неодинаковы масштабы длин и длительностей для осей времени и рас­стояний, направленных на диаграмме в разные стороны.

Так вот, не мудрствуя дальше, я прошу вас принять на веру следующее.

Можно доказать, что на каждой из наших диаграмм (построенных при помощи световых линий, симметрич­ных относительно них осей времени и расстояний и ги­перболических калибровочных кривых) в любых систе­мах отсчета остается одинаковым математическое вы­ражение:

2016-02-08 14-10-43 Скриншот экрана

Здесь l длина предмета или расстояние между со­бытиями, a tдлительность существования предмета или промежуток времени между событиями. Корень квадратный из этой величины и есть интервал:

2016-02-08 14-13-03 Скриншот экрана

Вот оно, неизменное и абсолютное в безбрежном море эйнштейновской относительности!

Снова Алла, Элла, Валя и Галя

Диаграмма Минковского хоть и трудновата для но­вичка, но очень наглядна. Разобравшись, понимаешь, как много мудрого зашифровано в этом красивом буке­те линий. Вся теория относительности!

Вот первый постулат Эйнштейна — равноправие си­стем отсчета, движущихся прямолинейно и равномерно. И в диаграмме системы равноправны: каждая имеет свою ось времени, другими словами — ось относитель­ной неподвижности.

Нашел отражение и второй постулат — оси систем расположились симметрично около световой линии. Для всех скорость света одинакова.

Предельность световой скорости тоже документиро­вана. Оси времени лежат над световой линией — зна­чит, нет скоростей более высоких, чем световая, нет тел и систем, движущихся быстрее света.

Вникнув в дело, приятно решать на диаграмме все­возможные задачки.

Посмотрим, ради примера, как изображается встреча космонавток Аллы и Эллы.

Вот что надо нарисовать:

2016-02-08 13-45-33 Скриншот экрана

Секунду Эллы (отрезок ОЭ на оси времени Эллы, отсеченный калибровочной линией времени) Алла по известным нам правилам проецирует на свою ось вре­мени. Там получается отрезок ОЭ1. Он явно больше, чем отрезок ОА, который изображает секунду Аллы (отсе­ченную на ее оси калибровочной линией). Значит, для Аллы время Эллы течет медленнее, чем ее собственное.

С другой стороны, секунда Аллы (отрезок ОА), спроецированная Эллой на ее ось времени, дает отрезок ОА1, который больше секунды Эллы (ОЭ). Время Аллы для Эллы течет медленнее, чем ее собственное.

Второй пример — графическое пояснение спора кос­мических продавщиц:

2016-02-08 13-50-16 Скриншот экрана

Валя свой метр (отрезок ОВ, отсеченный на ее оси расстояний калибровочной линией длины) проецирует на Галину ось расстояний. Выходит отрезок OB1. Он заметно меньше отрезка ОГ, изображающего метр Гали в ее системе отсчета.

Наоборот, метр Гали в системе Вали (ОГ1) меньше Валиного метра (ОВ).

Для Вали Галины метры короче, чем ее собствен­ные, а для Гали — Валины. Теперь мы это обосновали графически.