Архив рубрики: На языке графиков

Еще два шага

Внимание! Предстоит нелегкое место. Сосредоточь­тесь. Речь пойдет о калибровочных линиях сверхбыстро­го мира — тех, что отсекают масштабы на осях.

В диаграмме медленных движений требовалась толь­ко калибровочная линия времени, потому что ось рас­стояний (а значит, и единица длины) там была одна на все поезда. И тянулась калибровочная линия вре­мени параллельно единственной оси расстояний. Это было привычно и понятно, ибо означало: в мире су­ществует абсолютная одновременность и единое всеоб­щее время.

Теперь одной калибровочной не хватит. Ось расстоя­ний расщепилась — значит, пропала абсолютная одно­временность, а с нею ушли абсолютное время и абсо­лютная длина. Нам придется построить две калибро­вочные линии, чтобы одна отсекала масштабы времени на осях времени разных систем отсчета, а другая — мас­штабы длины на осях расстояний.

Шаг пятый. Поищем калибровочную линию вре­мени. Рецепт прежний: она должна отсекать на осях времени концы секунд, начавшихся вместе в мировой точке О. Но если раньше моменты окончания одновре­менно начинавшихся секунд были абсолютно одновремен­ны, то теперь этого нет. Зато появилась относительная одновременность, чем мы и воспользуемся.

Помните, как определяется относительная одновре­менность? Это было при игре «Кто первый?» и дуэли Онегина и Ленского в десятой главе. Надо, чтобы в се­редине прямого отрезка совпали световые сигналы от событий, произошедших на разных его концах. Сигналы совпали — значит, события одновременны.

Заметим на оси ct точку А, отсекающую ровно се­кунду от начала счета времени (точка О). Допустим далее, что в точке А', лежащей на оси ct', совпали сиг­налы, пришедшие из А и из A1 , причем Aнекое со­бытие, происходящее в системе х', ct' на том же расстоянии от А’, как и А, но с противоположной стороны.

При этом условии и линия АА должна быть параллельна оси х' и в точке А' делиться пополам. Налицо признак относительной одновременности — события А и Аодновременны в системе х', ct'.

Представим затем, что аналогичным образом опре­делена одновременность событий Аи А в системе х", ct" и, событий А2 и А3 в системе х"', ct'" и т. д.

2016-02-05 15-34-41 Скриншот экрана

Догадываетесь, что достигнуто этим хитроумным по­строением?

Отыскано графическое правило нахождения относи­тельной длительности секунды в разных системах от­счета на диаграмме. Геометрический рецепт, по кото­рому узнают масштаб хода часов, движущихся относи­тельно друг друга равномерно по одной прямой.

Соединим плавной линией точки А, A1, А2, А3 и т. д.— и выйдет калибровочная линия времени. Это не прямая, как в «медленной» диаграмме, а кривая, назы­ваемая гиперболой:

2016-02-05 15-37-38 Скриншот экрана

С ростом скорости системы отсчета (сверхбыстрого поезда или ракеты) калибровочная линия времени ухо­дит в бесконечность. Наглядно видно, как долго тя­нутся секунды «быстрых» систем с точки зрения «мед­ленных». А свет живет в бесконечно длинных, остано­вившихся секундах. Для света движение мгновенно!

Шаг шестой. Я щажу утомленного геометрией читателя и великодушно освобождаю его от новой пор­ции умственного напряжения. Поверьте на слово, что точно так же, как калибровочная линия времени, стро­ится калибровочная линия расстояний в нижней части диаграммы.

Почти окончательно мир сверхбыстрых движений (происходящих на прямой дороге в одну сторону) пред­стает перед нами в виде такого чертежа:

2016-02-05 15-40-09 Скриншот экрана

 Значительно хитрее, чем в старой доброй классике.

Четыре шага

Ну, а какова диаграмма эйнштейновского мира?

Ее построим постепенно, в несколько шагов.

Шаг первый. Рисую оси Москвы. Ускоряю поезда в миллионы раз. Они мчат со скоростями, сравнимыми со скоростью света. Из Москвы в Ленинград попадают за малые доли секунды. Их мировые линии сжались в плот­ный пучок.

2016-02-05 13-42-35 Скриншот экрана

Графики идут так густо, что разобрать ничего не воз­можно. Как быть?

Шаг второй. Надо растянуть оси времени. Тогда нижняя часть диаграммы вытянется вверх, и можно бу­дет сообразить, как она устроена. Для этого придется помножить время на какую-нибудь очень большую вели­чину, обязательно постоянную для всех систем отсчета. Такова скорость света: и велика, и одинакова для лю­бых наблюдателей. Ее удобно взять множителем.

Поэтому вместо осей t рисуем оси ct:

2016-02-05 13-44-24 Скриншот экрана

Низ диаграммы пока неясен.

Шаг третий. Из Москвы в Ленинград посылаем телеграмму. Сигнал летит по проводам со скоростью све­та (будем считать так, хоть это и не совсем точно). Благодаря множителю с на оси времени мировая линия света (сигнала телеграммы) ляжет точно по биссектрисе угла между осью времени и осью расстояний Москвы: ведь за секунду, которая на оси времени имеет длину с, свет пробежит ту же длину с по оси расстояний. Так мы вносим первый штрих в нижнюю часть диаграммы — для оси ct чертим ось х:

2016-02-05 13-46-58 Скриншот экрана

Шаг четвертый. Рассуждения третьего шага го­дятся для любых систем отсчета. У каждой мировая ли­ния света (говорят также — световая линия) должна де­лить пополам угол между осями времени и расстояний. Так и рисуем:

2016-02-05 13-48-24 Скриншот экрана

Ось расстояний, как видите, расщепилась. У всякой системы отсчета — собственная длина пути. Ничего не­ожиданного: в теории относительности так оно и есть.

Идущий поезд „неподвижен"

Бездельничая в купе, пассажиры говорят:

—- До Бологого пять километров.

— Остался час до Ленинграда.

В таких сентенциях отсчет времени и расстояний всегда ведется от поезда. Это понятно. Пусть где-то на пути неожиданно лопнул рельс. Машинисту и пассажи­рам жизненно важно знать, далеко ли и с какой стороны это произошло именно от поезда. Расстояние же лопнув­шего рельса от Москвы или Ленинграда для обитателей поезда несущественны.

Поэтому пассажиры и машинист, пользуясь отсчета­ми «от поезда», склонны неосознанно применять принцип относительности и чувствовать себя неподвижными, а движущейся считать дорогу вместе со всеми станциями, Москвой и Ленинградом. Это им удобно. С этой точки зрения они могут нарисовать диаграмму движения. Как же изменится ее вид?

Да никак не изменится. Только система отсчета из прямоугольной сделается косоугольной. Старая ось вре­мени превратится в мировую линию Москвы. Мировая линия поезда станет новой осью времени t, на которой увеличится масштаб, то есть длина отрезков, изображаю­щих часы или минуты. Ось расстояний останется без перемен. А положение относительно поезда событий (ми­ровых точек) определится по прежним правилам: в пере­сечении вспомогательных линий, параллельных осям расстояний и времени.

Взгляните:

2016-02-03 21-27-34 Скриншот экрана

Здесь мировая точка А — удар молнии в рельс. Как видно из построения, он произошел в 2 часа 35 минут в тридцати километрах перед поездом.

Диаграмма дает возможность пойти навстречу не только обитателям экспресса Москва — Ленинград. Каждый поезд вправе объявить себя неподвижным, и это вполне поддается геометрическому изображению: надо только его мировую линию переименовать в ось времени. Для поездов, выходящих из Москвы (а заодно и для самой Москвы), пусть получится такая картина:

2016-02-03 21-29-03 Скриншот экрана

Все оси времени (Ot, Ot', Ot", Ot"'и т. д.) тут рав­ноправны, а ось расстояний у них общая.

Различие систем чисто условное — в масштабах вре­мени. Как же находить эти масштабы?

Отметив на одной из осей времени отрезок ОВ, со­ответствующий часу, проводим через точку В линию, параллельную оси расстояний. На всех остальных осях времени она отметит одновременные события, а значит, отсечет отрезки, равные часу.

Эта линия, указывающая масштабы систем отсчета, называется калибровочной.

2016-02-03 21-33-54 Скриншот экрана

Вот, пожалуй, и готов пространственно-временной мир Октябрьской железной дороги. Полную его картину (для обоих направлений) вы при желании легко нарисуе­те сами. В этом мире царит ньютоновское абсолютное пространство (ось расстояний единственная на все по­езда), присутствует абсолютное время (любая линия, параллельная оси расстояний, проходит через события, абсолютно одновременные во всех системах отсчета), узаконен галилеевский принцип относительности.

Так выглядит диаграмма равномерных прямых дви­жений, которые медленны по сравнению со светом. Мир доэйнштейновский.

Мир железной дороги

Предлагаю вам внимательно разглядеть следующую картинку:

2016-02-03 21-17-27 Скриншот экрана

Все события, происшедшие за четверть суток на Октябрьской дороге, нашли здесь точное отображение. Сэкономлена масса бумаги и типографской краски. Каж­дую мировую линию вы при желании расшифруете сло­вами и цифрами, составив, таким образом, длинные перечни событий.

Есть тут поезда скорые, идущие быстро и почти без остановок; есть почтовый поезд, еле плетущийся, оста­навливающийся «у каждого куста»; есть товарняки, ко­торые больше стоят, чем едут. Кроме того, есть нечто весьма быстрое — добравшееся из Ленинграда в Москву за час (я думаю, это самолет, летевший вдоль дороги).

На диаграмме хорошо заметен тот факт, что все в мире движется не только в пространстве, но и во вре­мени.

Движению только во времени дается выразитель­ная интерпретация: мировая линия становится парал­лельна оси t. Вон, в середине, какой-то товарняк за­стрял в Бологом, но мировая линия его тянется вверх. Не сдвигаясь с места, он путешествует в будущее.

Такие же параллельные оси времени мировые линии можно было бы нарисовать и для рельсов, и для шпал, и для каждой станции. Я ограничился тем, что попросил нарисовать их только для Москвы и Ленинграда. Вышли не линии, а столбики — потому что оба города отнюдь не точки, а имеют внушительные размеры. Продвигаясь во времени, длины городов как бы размазываются в по­лоски.

Есть на последней диаграмме график с подвохом — специально, чтобы вы над ним подумали. Вон он в левом верхнем углу, что-то вроде буквы «М». Если нашли, за­держите чтение и попытайтесь сообразить, какими слова­ми, какой последовательностью событий можно его рас­шифровать. Стоп! Дальше пока не читать!

Думайте...

Кто сам догадался — молодец.

Этот график — не одна мировая линия, а четыре. Каждый прямой отрезок — особый поезд. Но идут они в разных направлениях. Первый слева — к Ленинграду, второй — к Москве, третий — тоже к Ленинграду, четвер­тый — к Москве. Первый встречается со вторым, второй выходит из одного пункта с третьим одновременно, но в разные стороны, а в конце своего пути встречается с четвертым. Почему такое раздробление? Во исполне­ние закона причинности. Если бы второй и четвертый поезда шли к Ленинграду, они двигались бы в обратном времени, путешествовали бы в прошлом. И прибыли бы в пункт назначения до ухода из пункта отбытия, что не­возможно, ибо принцип причинности нерушим.

Двигаться в мире разрешено только так, чтобы время текло в одну сторону — вперед. По оси расстояний мож­но кататься туда и обратно — вправо и влево, а по оси времени лишь в будущее, то есть, на нашей диаграмме, вверх. Поэтому каждый прямой отрезок буквы «М» должен проходить снизу вверх.

Подвохи еще не кончились. Вот вопрос: что произо­шло в точках встреч мировых линий, в вершинах «М»?

Там случились, надо полагать, страшные крушения, или, в лучшем случае, в этих точках поезда были очень быстро расформированы. Так или иначе, но они навер­няка исчезли.

Ведь если бы первый поезд просто остановился, встре­тившись со вторым, то его мировая линия не пропала бы, а потянулась в будущее по прямой, параллельной оси времени. Но линии нет. Значит, сошедшиеся поезда тоже исчезли. Что и требовалось доказать.

Честно говоря, сейчас была предложена довольно трудная для новичка логическая задача. Кто не решил ее, пусть не печалится. Хорошо, если он хоть разобрался в объяснении.

Простенькая фигурка на диаграмме рассказала нам, как видите, весьма поучительную логическую историю. Из нее полезно извлечь мораль: рисуя мировые линии, помните, что у них есть направления — разрешенное и запрещенное законом причинности.

Москва—Ленинград

Сперва несколько слов о совсем-совсем простом.

Что случилось на Октябрьской железной дороге та­кого-то числа с полуночи до шести часов утра?

Было довольно много всевозможных событий. Поезда отправлялись, встречались друг с другом, делали корот­кие и длинные остановки, прибывали в пункт назначения и т. д. Все это можно подробно выяснить в железно­дорожном расписании — весьма сложной таблице со множеством граф, клеточек, слов, цифр. Но гораздо проще поступить иначе: взглянуть на графическую диа­грамму движения.

График — очень удобная вещь. Вместо того, чтобы писать уйму слов и цифр, проводится линия на листе миллиметровки — и все, что нужно объяснить, объяс­нено.

Вот, например, фраза: «Точно в полночь от перрона в Москве отошел экспресс, который двигался затем без остановок равномерно со скоростью сто километров в час и ровно в шесть часов утра прибыл в Ленинград». На графике это громоздкое изречение заменяется прямой линией.

В самом деле, диаграмма такова:

2016-02-03 20-20-36 Скриншот экрана

Ось х — условное изображение расстояния, которое проходит поезд. Ось —геометрический образ времени движения. Обе оси поделены на единицы длины и времени в уменьшенном масштабе.

Сначала диаграмма пуста. Но вот пробило полночь, и из Москвы вышел экспресс. Через час он уже в ста километрах от Москвы, через два — в  двухстах, и т. д.

Чтобы построить график, из точек оси х, соответствую­щих началам каждой новой сотни километров, проводим вспомогательные линии, параллельные оси t, а из точек начала каждого нового часа оси tпараллельные оси х.

Там, где соответствующие друг другу вспомогательные линии пересекутся, получатся точки графика. Поезд в них характеризуется двумя признаками: «там» и «тогда».

2016-02-03 20-24-12 Скриншот экрана

Пока все ясно, никаких трудностей. Легко согласить­ся, конечно, и с тем, что угол между осями не обяза­тельно прямой. Если он тупой, график пойдет так:

 2016-02-03 20-26-04 Скриншот экрана

Если острый, то, скажем, так:

2016-02-03 20-26-54 Скриншот экрана

Теперь храбро (хоть и чуть преждевременно, но это ради понятности) применим терминологию Минковского.

Точки графика — это мировые точки. Сам график — мировая линия. И, наконец, мир — нарисованная нами диаграмма.

Как видите, в старое слово «мир» Минковский вло­жил оригинальный физический смысл: графическое изображение на диаграмме событий сразу в простран­стве и времени. Здесь это объединение пространства и времени чисто формальное, продиктованное требованием удобства и лаконизма. Но зато как велики эти удоб­ства!

Вклад Германа Минковского

Любознательный человек не может остаться равно­душным, постигая относительность расстояний и вре­мени. Хочется еще и еще раз убедиться в этой неожидан­ной истине, представить ее в примере, в событии, в чер­теже.

Сразу после провозглашения принципа относитель­ности люди науки начали азартно осваивать новый взгляд на движение.

Тут было над чем подумать не только физику, но и математику и философу. Как из рога изобилия, сыпались возражения. Объявились ярые враги «нелепостей» стран­ной теории. Даже в кругу сторонников Эйнштейна не умолкали споры. Ученики перемешались с учителями, каждый стремился найти новую черту, новую подроб­ность, новое истолкование теории относительности. И на­ходили. Решали только что придуманные парадоксаль­ные задачи, доказывали поразительные теоремы.

Одна из работ того времени стала особенно заметной вехой в развитии релятивистской физики. Речь идет о геометрической интерпретации идей теории Эйнштейна, о представлении ее в графиках и диаграммах. Автором этого оригинального подхода, ставшего затем неизменно принадлежностью и монографий, и учебников, и по­пулярных брошюр, был немецкий математик Герман Минковский, один из старейших коллег Эйнштейна, его университетский учитель.

Стоит заметить, что Минковский не питал никакого интереса к личности Эйнштейна. Более того, старый про­фессор однажды объявил, что ни за что не поручил бы Эйнштейну разработку геометрической интерпретации его же теории по той причине, что Эйнштейн, как пола­гал Минковский, был человеком необязательным, ибо «вечно пропускал университетские лекции».

Это не помешало Минковскому быть энтузиастом эйнштейновских воззрений и великолепным их истолко­вателем.

В 1908 году, незадолго до смерти, Минковский про­читал в немецком научном обществе лекцию о мире, про­странстве, времени, в которой произнес знаменитую фразу: «Отныне и навсегда пространство и время пре­вращаются лишь в тени, и только некий род единства того и другого сохраняет независимое существование».

Очень коротко и упрощенно мы попробуем разобрать­ся в интерпретации Минковского. Причем перед самыми ленивыми из читателей я вынужден извиниться: на бли­жайших страницах совершенно неизбежны не очень длинные (и, мне кажется, вовсе не трудные) рассужде­ния в духе школьных геометрических теорем.