Архив рубрики: Могущество механики

Не видя Луны

Есть анекдот. На экзамене профессор спрашивает студента:

 - Вы видели Луну?

 - Нет! — поспешно отвечает студент, мечтающий избавить себя от новых вопросов.

Но даже если бы хитрый студент и в самом деле ни разу в жизни не поднял глаз на Луну, все равно он мог бы немало узнать о ней. По той же самой при­чине, по которой Ван де Камп открыл и описал неви­димый спутник звезды Барнарда.

Важно то, что падает не только Луна, но и Земля. Обе они, влекомые тяготением, стремятся к общему центру масс.

Какие же события вызываются на Земле ее паде­нием на Луну? Очень заметные и существенные. Преж­де всего приливы и отливы.

На вопрос: «Почему бывают приливы и отливы?» — часто отвечают: «Очень просто, воду океана притяги­вает Луна». Считают так: под Луной на океанской по­верхности вырастает огромный водяной горб, а так как Земля под Луной вращается, то горб этот переме­щается, дабы все время оставаться «подлунным», и на­бегает в конце концов на берег. Согласны?

Ответ неверен. Если бы дело происходило так, то приливы и отливы наступали бы всего один раз в сутки. А они бывают дважды в сутки.

На самом деле водяных горбов на поверхности Ми­рового океана два — первый действительно под Луной, а второй в диаметрально противоположной стороне. И вершина второго направлена от Луны. Оба горба со­храняют свое положение в пространстве, а Земля кру­жится, вот и выходит, что приливная волна дважды в сутки заливает берега.

Но почему же все-таки горбов два, а не один? И по­чему второй словно бы отталкивается от Луны?.

Никакого отталкивания нет. Причина этого явления в том-то и состоит, что Земля вместе с Мировым океа­ном непрерывно падает в сторону  Луны, хоть и не мо­жет «упасть», так же как и Луна не может упасть на Землю. Прямо под Луной лунное притяжение сильнее (потому что там океан ближе к Луне) и, значит, больше ускорение падения. «Подлунный» горб падает быстро.

А с обратной стороны Земли океан на двенадцать тысяч километров дальше от Луны, там ее тяготение слабее, и вода отстает в падении.

Здесь я задам вам проверочный вопрос (из числа довольно трудных — на нем иногда проваливаются даже студенты-физики).

Кроме лунных, по океану бежит еще пара приливных горбов, рожденных притяже­нием Солнца. Они гораздо меньше, чем лунные. По­чему?

Вертится на языке фра­за: потому, что Солнце при­тягивает воду океанов сла­бее, чем Луна. Так и говорят иные незадачливые студенты на экзаменах, огорчая тер­пеливых экзаменаторов, ибо ответ этот грубо ошибочен. Солнце влечет к себе Землю (и все, что на ней есть, в том числе и океаны) неизмеримо сильнее, чем Луна. Ведь не вокруг Луны, а именно вокруг Солнца обращается наша планета.

А невелики солнечные приливные волны на Земле потому, что наше светило очень уж далеко — в 150 мил­лионах километров. В пять с лишним тысяч раз дальше, чем Луна.

Это значит, что земной диаметр по сравнению с рас­стоянием до Солнца ничтожно мал. Следовательно, весь­ма незначительна и разница в силе солнечного тяготе­ния по ту и другую сторону нашей планеты. Другими словами, на дневной и ночной сторонах Земли вода океана падает к Солнцу с очень близкими ускорениями. Поэтому и невелики солнечные горбы.

Все дело, как видите, в том, что по сравнению с рас­стоянием Земля — Луна наша планета довольно велика, а по сравнению с расстоянием Земля —Солнце мала. Для солнечного тяготения Земля — точка, для лунного — отнюдь не точка. Вот и ответ на хитрый экзаменацион­ный вопрос.

Вообще, подробная картина приливов получается довольно сложной и запутанной. Но для понимания ее не требуется ничего, кроме знания ньютоновской меха­ники, теории тяготения и, конечно, карты береговой линии материков.

Есть, кстати сказать, и приливы суши, потому  что земная кора не абсолютно тверда.

На кончике авторучки

Совсем недавно, в 1964 году, произошло еще одно удивительное событие. Уравнения небесной механики помогли американскому астроному Ван де Кампу по­нять причину ничтожных колебаний Летящей звезды Барнарда — одной из ближайших к нам звезд, назван­ной так за свое быстрое движение.

Казалось бы, раз где-то в космосе летит звезда, так уж пусть она летит по инерции прямо — как велено первым законом Ньютона. А она «болтается». Правда, чуть-чуть — за год на десять угловых секунд, самое большее. Но и этого достаточно, чтобы взяться за вы­числения.

Подробная расшифровка колебаний привела к за­мечательному и долгожданному успеху: впервые с пол­ной достоверностью было доказано существование пла­неты, вращающейся вокруг далекой звезды. Эта пла­нета, действуя своим тяготением на звезду, заставляет ее мчаться не по прямому, а по слегка волнистому пути.

Ван де Камп выведал немало подробностей о неви­димом спутнике звезды Барнарда. Он весьма масси­вен — в полтора раза тяжелее нашего Юпитера (а Юпитер в 318 раз тяжелее Земли).  Путь спутника — довольно вытянутый эллипс. Самое большое расстояние его от звезды Барнарда — 660 миллионов километров. Год — в 24 раза дольше нашего.

Анкета, как видите, получилась довольно полная.

И все это сказано про небесное тело, которое никто никогда не видел и, быть может, не увидит. Такова про­ницательность науки. Той самой науки, которая нача­лась с опытов Галилея, бросавшего ядра и пули с Пи­занской башни. Ведь спутник звезды Барнарда тоже «падает», и по тем же законам!

Впрочем, тут особенно ясно, что и звезда падает — это ее падение ведь и выдало таинственного спутника, показало, что она не одинока. Так и должно быть: звезда тянет спутник, который, в свою очередь, тянет звезду. Действие равно противодействию.

На кончике гусиного пера

Самый яркий эпизод торжества идей Ньютона отно­сится к первой половине прошлого века.

Тогдашние астрономы никак не могли втиснуть в рамки ньютоновской теории движение Урана, недавно открытой и самой дальней из известных в ту пору пла­нет. Уран двигался, в общем, так, как требовало «рас­писание», но в тонкостях нашлись непонятные откло­нения. Планета немножко выходила из назначенного курса, слегка искривляла эллипс своей орбиты. Чтобы объяснить эти особенности, астрономы учли в расчетах не только солнечное притя­жение, но и тяготение сосед­них с Ураном планет-гиган­тов Юпитера и Сатурна. Тем не менее все странности по­ведения Урана не удалось объяснить. Значит, Ньютон не прав? Его механика в чем-то грешит?

Положение сложилось драматическое.

И вот двое ученых — англичанин Адамс и фран­цуз Леверье — независимо друг от друга сделали пред­положение, которое витало в воздухе и напрашивалось само собой: а нет ли за Ураном еще одной планеты — очень далекой, слабо светящейся и потому еще не за­меченной?

Опять заскрипели перья, выписывающие уравнения небесной механики.

Теперь их спрашивали: где искать неведомую пла­нету, вызвавшую возмущения в движении Урана? Урав­нения дали свой математический ответ: в такие-то мо­менты времени загадочная планета должна находиться в таких-то местах неба.

Леверье и Адамс послали расчеты в несколько обсер­ваторий. И когда астрономы-наблюдатели направили телескопы так, как посоветовали их корреспонденты- теоретики, планета действительно нашлась. Маленькая, едва заметная. Ей дали имя Нептун. И отпраздновали знаменательную победу теории тяготения. Это было в 1846 году.

Спустя 84 года при таких же примерно обстоятель­ствах американцу Томбо удалось открыть самую дале­кую из наших планет — Плутон.

Всеобщее послушание

Расписание исполнялось с отменной точностью. Пла­неты следовали по орбитам с предсказанной скоростью, их уверенно находили в предсказанных местах неба. В назначенные часы, минуты и секунды происходили восходы, заходы, противостояния, затмения Солнца и Луны. Солнечная система голосовала за механику Ньютона, за всемирное тяготение.

Единственное исключение — одна малая особенность в движении Меркурия, не уложившаяся в предсказания ньютоновской небесной механики. Об этом пойдет речь далеко впереди.

А как обстояло дело за пределами Солнечной си­стемы? Послушны ли Ньютону звезды?

Да, послушны. Этот ответ был получен наукой уже после смерти великого физика, когда развилась звездная астрономия.

Особенно красноречивы многолетние наблюдения так называемых двойных звезд, тех, что находятся по со­седству и медленно кружатся одна вокруг другой. Есть убедительный документ, свидетельствующий о том, что этот звездный вальс точно следует ньютоновскому зако­ну— фотографии взаимного расположения звездной пары Сириус А — Сириус В, сделанные на протяжении одного почти полного оборота этой пары — с 1862 до 1904 года. Чертеж орбиты Сириуса В — это типичный эллипс. И звезда путешествует по нему именно так, как назначено ньютоновской небесной механикой: чем даль­ше от Сириуса А, тем медленнее движется Сириус В. Возле фокуса он за шесть лет успевает пробежать такое же расстояние, какое вдали от фокуса преодо­левает за шестнадцать. Это как раз и требует теория тяготения!

Шагнем дальше в ширь Вселенной. Слушаются ли Ньютона целые звездные города?

В нашей Галактике ученые отыскали изумительно красивые звездные рои — шаровые скопления. Чем бли­же к центру скопления, тем больше звезд. Но даже в глубоких недрах его, где на фотографии получается сплошной белый фон, звезды настолько далеки друг от друга, что сталкиваться не могут. Они всегда действуют друг на друга только тяготением. Поэтому скопления и круглы — центральные области притягивают периферий­ные. Та же причина сделала шарами нашу Землю, Солнце и все планеты.

Даже в галактиках — необозримых скопищах звезд и звездных систем — астрономы находят явные следы мощного тяготения. Оно действует дажет в фантастиче­ски гигантских скоплениях галактик, пронизывает всю Вселенную.

Ангелы-бездельники

От Солнца переходим к планетам.

Было время, когда неглупые люди всерьез полагали, что планеты все время подталкиваются ангелами, потому-де они и движутся. На каждую по ангелу.

Как следует из ньютоновских законов, ангелы эти — бездельники. Планеты великолепно обходятся без них: по инерции летят прямо, а влекомые солнечным тяготением, падают на светило. В результате сложения этих двух движений планеты сворачивают с прямого пути и движутся по эллипсам — так называют в геометрии фигуры, похожие на овал.

Сумма расстояний точек эллипса от двух точек, ле­жащих внутри фигуры и называемых фокусами, посто­янна (это геометрическое определение).

В одном из фокусов всегда находится Солнце. Это знал еще Кеплер. Если же фокусы совпадают, полу­чается круг. Многие планеты (в их числе наша Земля) движутся по почти точным кругам.

Ньютон разработал тонкий математический метод для вычисления планетных путей и решил с его по­мощью массу трудных задач.

Удалось найти зависимость периодов обращения двух разных планет (длительность «годов») от бли­зости планет к Солнцу. Кубы наибольших расстояний планет, на которых они оказываются в своем движении вокруг Солнца, пропорциональны квадратам их «лет». И эта особенность, гениально угаданная Кеплером, на­шла подтверждение в строго обоснованной теории Нью­тона, который, однако, внес уточнение — зависимость от масс планет.

В разных местах эллипса движение неодинаковое: с приближением к Солнцу оно ускоряется, с удалением от Солнца — замедляется. Как меняется скорость, под­метил тот же Кеплер (радиус, проведенный от планеты к Солнцу, в равные промежутки времени «вымета­ет» одинаковые площади). А Ньютон дал доказа­тельство.

В конце концов удалось составить подробнейшее «небесное расписание» движения планет. И — ни одного ангела! Или, как заметил один физик, должность ангела занимает само Солнце.

Взвешиваем Солнце

Это весьма просто. Расстояние до Солнца спросим у астрономов. Они скажут: 150 000 000 километров. Кро­ме того, мы знаем, что Земля падает на Солнце, хоть и не может упасть.

Об этом странном факте нелишне поговорить попо­дробнее, пользуясь законами Ньютона.

Благодаря своей инерции Земля постоянно стремит­ся улететь от Солнца по прямой (первый закон Нью­тона). Вместе с тем Земля испытывает солнечное при­тяжение (закон всемирного тяготения) и приобретает ускорение, направленное к Солнцу (второй закон Нью­тона). Эти два движения складываются — получается вечное обращение Земли вокруг Солнца.

Стоит напомнить, что свободное падение отнюдь не обязано быть отвесным. Пуля, вылетевшая из дула писто­лета параллельно земной поверхности, приближается к ней так же быстро, как и пуговица, упавшая со стола. Земля как пуля. Она не отвесно падает на Солнце.

Каково же ускорение падающей Земли?

Длину земной орбиты подсчитать проще простого. Эта орбита — круг радиусом 150 миллионов километров. Помножьте радиус на «два пи» (6,28) — выйдет миллиард километров. Время — 365 суток, год нашей жизни. Отсюда нетрудно подсчитать, что за секунду Земля успевает про­лететь 30 километров по своей орбите и одновременно упасть к Солнцу на три миллиметра. По формуле Галилея

 2016-01-24 21-05-34 Скриншот экрана         сразу же получаем значение ускорения Земли к Солнцу:

ас = 0,6 см/сек2. Маловато, конечно. Но зато мы можем не опасаться катастрофического столкно­вения со своим жарким светилом.

Масса Солнца теперь выясняется автоматически:

2016-01-24 21-09-05 Скриншот экрана

Обратите внимание, на этот раз нам не понадобилась масса Земли. Достаточно было знать ускорение ее падения на Солнце. Любое тело, на­ходящееся на земной орбите, будет падать к Солнцу с тем же ускорением — 0,6 см/сек2. Так в астрономическом масштабе продолжает действовать постоянство ускорения свободного падения для тел каких угодно масс. Явление, которое мы подметили на сосульках, падающих с карниза!

Без весов

Пожалуй, будет лучше, если внимательный читатель вместо восхищения поймает автора за рукав и сделает ему замечание: по формуле закона всемирного тяготения массу Земли можно было определить и без взвешива­ния яблока.

Ведь если вес яблока F = mЯ g,  а r —земной радиус, то масса Земли 2016-01-24 20-35-35 Скриншот экрана

Масса яблока в числителе и знаменателе сокращается. Фор­мула открывает удивительную возможность взвешивать Землю вообще без всяких весов — по постоянной тяготе­ния и величине ускорения силы тяжести.

Если вы забыли значение g, покараульте с секундо­мером в руках возле какой-нибудь яблони, засеките вре­мя, за которое очередное яблоко пролетело с ветки до земной поверхности, потом измерьте высоту ветки, по галилеевской формуле 2016-01-24 20-39-08 Скриншот экрана  (из первой главы этой книжки), подсчитайте g и вставьте в только что выведенную формулу  2016-01-24 20-42-07 Скриншот экрана

Через минуту вычислений вы узнаете, во всей ее огромности, земную массу. Узнаете количество вещества своей планеты! Недаром Кавендиш, который, разумеется, превосходно помнил значение g, назвал свой исторический эксперимент, по­зволивший впервые вычислить постоянную тяготения γ «взвешиванием Земли». Он узнал γ  и сразу подсчитал, какова масса земного шара.

Этим уже стоит чистосердечно восхититься.

Да, падающее яблоко многое могло подсказать на­блюдательному Ньютону.

Догадываетесь, в чем секрет замечательного умения, которым вы овладели вслед за Ньютоном и Кавенди­шем? Секрет в том, что использовано равенство тяже­лой и инертной масс: ведь в числителе формулы стояла инертная масса из второго закона Ньютона, а в знаме­нателе— тяжелая масса из закона всемирного тяготе­ния. Мы их сократили и были вправе сделать это толь­ко потому, что они не в состоянии «переспорить» друг друга, или, иначе говоря, только потому, что все тела падают одинаково быстро.

Так из явлений маленьких, ежеминутно происходя­щих на наших глазах, вырастают закономерности широ­чайшего охвата. Не в отвлеченном рассуждении, не в расплывчатой фразе, а в конкретном деловом расчете физик совмещает песчинку с планетой.

Предсказания Ньютона широки и многообразны.

Вы хотите узнать, сколько будет весить килограммо­вая буханка хлеба на вершине Монблана? Пожалуйста, используйте формулу всемирного тяготения. Получится 997 граммов. Пожелали выяснить значение ускорения си­лы тяжести на высоте орбитального полета Гагарина — та же формула даст вам ответ. Проделайте вычисления, и вы убедитесь, что оно там уменьшится незначительно — всего на одну шестнадцатую часть. На столько же умень­шился бы и вес. Это неожиданно для наивных людей, полагавших, что спутники невесомы из-за удаления от земного шара.

Боюсь, самым любопытным из читателей уже захо­телось взвесить Солнце.

А почему бы и не взвесить?

Взвешиваем планету

Что бы такое взвесить поудивительнее? Хотите Землю? Пожалуйста! К вашим услугам формула всемирного тя­готения.

Вместо Земли можете положить на весы яблоко. Получилось сто граммов. Это масса яблока mя. На весах и гирях всегда проставлены именно единицы массы.

Чтобы получить силу тяготения F, вспоминаем вто­рой закон Ньютона и массу яблока множим на земное ускорение g, то есть 100 г • 981 см/сек2.  Это вес.

Рискуя показаться навязчивым, я напомню, что когда-то мы определяли его как давление тела на опору, потом — как силу тяготения, исходящую от центра масс Земли и приложенную к телу. Разумеется, яблоко, притягива­емое Землей, давит на опору. В свою очередь, опора да­вит на яблоко — исполняется третий закон. А потому между яблоком и опорой мы вправе поместить пружину. Она сожмется тем сильнее, чем сильнее тяготение. Вот мы и измерили с помощью весов земное притяжение.

Знаете радиус Земли? Напомню — 6300 километров, или 6,3 • 108 см (перед вычислением все величины нужно свести к одной системе единиц).

Теперь можно вычислить.

Масса Земли

2016-01-24 14-42-16 Скриншот экрана

Подсчитали? Загляните в энциклопедию — масса Зем­ли именно такова.

Вот и свершилось волшебство — по весу яблока определена гигантская масса планеты.

Это вас не восхищает?

Всемирный закон на столе

Кавендиш тонко задумал и исполнил свой экспери­мент.

В тщательно откачанном стеклянном баллончике ви­сит на тоненькой нити легкое коромысло со свинцовыми шариками на концах. Перед ними укреплены большие свинцовые шары. Таким образом, коромысло с малень­кими шариками обладает незначительной массой (стало быть, и инерцией), а сила притяжения крупных шаров достаточно велика.

В результате совместные усилия двух шаров чуть-чуть сдвигают коромысло. Маленькие шари­ки с еле заметным ускорением «падают» на большие. Нить слегка закручивается. Но на ней подвешено легонь­кое зеркальце, отражающее световой луч. Где-то далеко, на стене лаборатории, укреплен экран с делениями, по которому скользит световой зайчик от луча, отраженного зеркальцем. И поэтому почти неуловимое закручивание нити заставляет световой зайчик перемещаться по экрану.

Так закон всемирного тяготения был впервые прове­рен в лаборатории.

По смещению светового зайчика Ка­вендиш рассчитывал силу притяжения шариков. Меняя их массы, ученый доказал справедливость того, что за­писано в числителе формулы закона тяготения: пропор­циональность силы обеим тяготеющим массам.

А варь­ируя расстояние между шарами, он подтвердил обратную пропорциональность силы притяжения именно квадрату расстояния (см. формулу — здесь). Но главное, что он узнал,— это значение по­стоянной γ . Ведь и массы, и силы, и расстояния были измерены — осталось вычислить постоянную тяготения.

Она оказалась равной 2016-01-24 14-19-35 Скриншот экрана

Дальше следует феерический фонтан волшебства ньютоновской механики.

Земля и яблоко

Классической механике подвластны разнообразней­шие силы. Тянут железо магниты, отталкиваются от до­роги колеса автомобиля, ударяются, расходясь в сторо­ны, бильярдные шары — все это неукоснительно подчиня­ется законам Ньютона.

Но раз уж мы в этой книжке размышляем о падаю­щих телах, побеседуем поподробнее об одной только си­ле тяготения.

Я уже много говорил о ней, вездесущей и таинствен­ной, вместе с вами доискался ее главной особенности — неизменной пропорциональности тяжелой массе тела, недоумевал по поводу ее странного «действия без прикос­новения». Эта поразительная ее особенность остается для нас загадкой, которую на этих страницах еще рано пытаться разгадывать.

Но хоть мы не в состоянии объяснить, почему сила тяжести проникает через пустоту, нам пора задуматься над тем, как это происходит.

Сегодня всем известно: вдали от Земли тяжести нет. Это ясно каждому шестикласснику, это вошло в созна­ние из бесчисленных книжек, газетных статей, радиопе­редач. Во времена же Ньютона мир выглядел иным. О том, что сила тяжести не везде одинакова, лучшие умы могли только догадываться. Никаких опытов, свидетель­ствующих о ее уменьшении с высотой, не было. Наоборот, на башне и в подвале тяжелое ядро представлялось оди­наково тяжелым.

И все-таки Ньютон, приглядевшись к перемещениям небесных тел, уверенно заявил: с увеличением расстоя­ния от Земли тяготение убывает.

А как убывает? Быть может, на высоте облаков уже нет тяготения? Если верить упорной легенде, Ньютон ответил на это «как», созерцая в своем саду падающее яблоко. На самом деле, если и существовало это исто­рическое яблоко, то, разумеется, не оно одно навело великого физика на его открытие. Были и другие, куда более существенные подсказки: замечательные идеи и вычисления Гали­лея, прозорливые слова Кеплера и математиче­ские закономерности, под­меченные им в движении планет, нескончаемые раз­мышления самого Ньюто­на об инерции, массе, па­дении тел.

Догадка эта даже сегодня не может представиться легкой и естественной. Если она и проста, то наверняка гениальна. Сила тяготения F пропорциональна массам притягивающихся тел m1 и m2, но она убывает тем силь­нее, чем больше становится квадрат расстояния между центрами притягивающихся масс . Именно квадрат! Не просто расстояние, не куб его, а квадрат. И именно между центрами масс. Дело происходит так, как если бы вся масса каждого тела была сосредоточена в бес­конечно малом объеме — в точке, совпадающей с цент­ром тяжести. Понять и обосновать это Ньютону стоило больших трудов.

Такова сущность замечательного ньютоновского от­крытия, которое вскоре стало знаменитым и получило название закона всемирного тяготения.

Вот формула:

2016-01-24 14-06-38 Скриншот экрана

Символ γ означает «по­стоянную тяготения» — мно­житель пропорциональности, уравновешивающий обе час­ти равенства. Физический его смысл прост — это сила притяжения двух тел массой по грамму, находящихся в сантиметре друг от друга.

γ можно узнать из экспери­мента: измерить эту силу, заставив притягиваться два шарика с массой по грамму, подвешенных рядом на тонких нитях в сантиметре друг от друга. В таком грубом опыте, правда, никакого изме­рения не получится — граммовые шарики притягиваются ничтожно слабо. Успех здесь принесен другим, более тонким опытом, выполненным английским физиком Ка­вендишем.