Архив рубрики: Почему падает камень

Вес—сила инерции

Еще одно замечание — про вес. Что же такое тя­жесть камня, если нет дальнодействующей, «проникаю­щей сквозь пустоту», «таинственной», «божественной» силы тяготения?

В самом начале этой книжки мы с вами предполо­жили: тяжесть есть давление камня на опору, и только.

Теперь это предположение подтверждается: вес пред­стает перед нами как давление камня на опору, которая не дает ему двигаться свободно по геодезической линии.

Другими словами, вес — не что иное, как сила инер­ции. Подобной силой действовал бегун на дорожку ста­диона олимпийской карусели или похищенная Людми­ла — на пол ускорявшейся ракеты Черномора.

А теперь я сижу и силой инерции давлю на стул, ко­торый не позволяет мне по инерции улететь к центру планеты. И яблоко прикладывает силу инерции к ветке яблони, на которой висит. Знал бы это Ньютон!

Видите: благодаря открытой Эйнштейном кривизне пространства — времени сила тяжести сведена к силам инерции в совершенно земных, совсем не фантастиче­ских событиях.

И этот факт, честное слово, удивительнее самой экзо­тической литературной небывальщины.

Прыжки мяча

Ради большей ясности сейчас будут повторения ска­занного в видоизмененных вариантах и пояснения с по­мощью упрощенных диаграмм.

Начало координат мира пространства — времени устанавливаем на камне в момент времени t = 0. Про­странство принимаем одномерным, то есть учитываем единственное пространственное измерение — ось х (ее направим вниз, не рисуя). Где-то на ней центр масс и начало мировой линии Земли. Диаграмма ньютоновского мира в этом случае такова:

2016-03-14 15-50-53 Скриншот экрана

Ось времени — прямая как стрела. Мировая линия камня согнута. Черными стрелками изображена сила тяготения, без нее в классике не обойтись.

А вот диаграмма той же последовательности собы­тий с точки зрения ЭйнштейнаМинковского:

2016-03-14 15-52-32 Скриншот экрана

Ось времени камня пригнулась к мировой линии Земли. И не требуется никаких сил тяготения.

Конечно, камень не обязательно просто ронять. Его можно как угодно подбросить. И система отсчета может как угодно двигаться относительно Земли и камня. Все равно он будет лететь по инерции вдоль осей времени или геодезических линий мира, искривленного массой планеты. С точки зрения старой механики Ньютона, это представится движением под действием силы тяжести.

Вот, например, график движения мяча, который сна­чала был отпущен с полуметровой высоты, упал, уда­рился о землю, подпрыгнул вертикально вверх и т. д.

2016-03-14 15-53-48 Скриншот экрана

В каждом прыжке мяч находился примерно секун­ду. За это время в пространстве он пролетал метр. А во времени?

На диаграмме Минковского масштаб времени мно­жится на скорость света, то есть каждая секунда при­равнивается к тремстам тысячам «километров». Такой гигантский «путь во времени» и проделал наш мяч, пока прыгал на полметра вверх и вниз в пространстве. Откло­нение геодезической линии мяча от евклидовой прямой, таким образом, составляло на диаграмме пять десяти­тысячных долей сантиметра на «километр времени».

Повторю еще раз: разумеется, никакого «километра времени» на самом деле нет — он есть только на гра­фике движения, где время, ради формального удобства, выражается в единицах длины.

Но цифра, которую мы выудили из графика Мин­ковского, хорошо демонстрирует ничтожность искривле­ния диаграммы мира массой Земли у ее поверхности. И именно эта неуловимо крошечная кривизна простран­ства — времени полностью объясняет зримое, весомое, ежеминутно творящееся на наших глазах чудо падения. Фигурально выражаясь, происходит оно потому, что уж очень быстро мы и все окружающее мчимся в будущее. Масштаб на оси времени диаграммы множится на ско­рость света! Поэтому несмотря на малость деформации пространства — времени микроскопическое искривление четырехмерной геодезической линии движения мяча мгно­венно накапливается в величину заметную и ощутимую.

Вот одно не очень удачное сравнение.

Я смотрю из идущего поезда на тележку, катящуюся рядом по колее, которая круто сворачивает к колее поезда. Пусть я не чувствую, что движусь, что мчится вперед тележка, не замечаю рельсов. Я вижу одно: те­лежка ускоренно прибли­жается. «Падает» на поезд!

2016-03-14 15-57-46 Скриншот экрана

Аналогия, правда, неточ­ная: поступательный ход по­езда и тележки уподобляет­ся бегу во времени, а это условность.

Вообще надо помнить: наш реальный мир — не диа­грамма. Условная четырехмерность мира — лишь ма­тематический прием, позволяющий «начертить» то, что время и пространство связаны и подчинены влиянию вещества.

Камень выпущен

И вот пробил торжественный час исполнить давнее, много раз повторенное обещание: окончательно объяс­нить чудо падения камня на Землю.

Включите мысленно духовой оркестр — и, пожалуй, сразу выключите, чтобы не мешал.

Внимание!

У меня в руке камень. Внизу — Земля.

Будем считать, что в пространстве Земля стоит на месте (движением ее вокруг Солнца пренебрежем, как и прочими астрономическими движениями). Но во вре­мени она движется. Она мчится в будущее. И камень мчится в будущее. И я тоже. Этим бесспорным фактом удобно воспользоваться для объяснений.

Земля не испытывает никаких сил (о Солнце пока со­всем забудем), то есть находится во власти одной толь­ко инерции. Можно сказать: Земля по инерции движет­ся в будущее.

А камень испытывает действие силы — он удержи­вается моей рукой.

Я разжимаю пальцы — дарю камню свободу, избав­ляю его от действия силы. И (внимание!) давайте теперь вообще забудем о таком понятии, как сила тяготения. Пусть камень, как и Земля, остался во власти одной лишь инерции.

Что ж, тогда и камень полетит по инерции в будущее.

Будь Земля бесплотна, лишена массы, мир вокруг нее не был бы искривлен и геодезическая линия осво­божденного камня была бы совершенно прямой. Не по­лучив толчка, камень благодаря инерции хранил бы по­кой в пространстве, передвигаясь только во времени,— спокойно висел бы возле моей разжатой руки. Обо мне можно было бы сказать то же самое. Я и камень мча­лись бы в будущее вместе, по соседним строго прямым и параллельным геодезическим линиям, все время нахо­дясь в относительной неподвижности. Никакого падения не случилось бы.

Но в действительности Земля отнюдь не бесплотна. Мир искривлен ее гигантской массой. Поэтому я и ка­мень неравноправны. Я испытываю действие силы — пол давит на мои подошвы, не позволяя мне «провалиться сквозь землю». Другими словами, меня все время «на­сильно» сдвигают с моей геодезической линии и держат на мировой линии, параллельной геодезической линии центра планеты.

А камень по-прежнему свободен. На него ничто не давит. Он и теперь путешествует в будущее по своей геодезической линии.

Но на этот раз она изогнута, потому что мир ис­кривлен.

Правда, пространство — время деформированы так мало, что и геодезические изогнуты совсем незначитель­но. В первые мгновения свободы камня его геодезиче­ская линия почти совпадает с моей мировой линией, и камень почти неподвижен относительно моей ладони. Но бег во времени стремителен. За микросекунды «путе­шествия в будущее» геодезическая линия камня чуть отходит от моей мировой линии. Поэтому камень, мчась вместе со мной во времени, неизбежно набирает ско­рость и смещается относительно меня в пространстве. С каждым мгновением скорость и пространственное сме­щение камня больше, потому что его геодезическая линия все круче отклоняется от моей мировой линии.

Саму кривизну мира я не замечаю, как и ее увели­чения: замедление секунд и сокращение сантиметров слишком незначительны. Не чувствую я и того, как вме­сте с камнем и Землей мчусь в будущее: этого «полета» ведь на самом деле нет, он лишь условность, привлечен­ная для удобства объяснений. Поэтому движение камня по геодезической линии возле Земли предстает передо мной в явлении зримом и привычном: ускоренном дви­жении камня к центру планеты.

Так на моих глазах совершается чудо падения.

Если бы я зажал в кулаке камень и песчинку, а по­том одновременно отпустил их, и песчинка и камень опять полетели бы в будущее по инерции, не отставая друг от друга, ибо следовали по одной и той же геоде­зической. И, конечно, одновременно столкнулись бы с земной поверхностью.

Никаких сил тяготения, действующих «через пустоту», как видите, не понадобилось. Не потребовалось никаких невидимых нитей и резинок между Землей и камнем. И все-таки падение состоялось. В точном согласии с дав­нишним наблюдением Галилея.

Эллиптическая кривизна

Следующий шаг — разгадка математической зависи­мости между метрическими коэффициентами и массами движущегося вещества.

Шаг труднейший.

Коэффициентов — десять. Значит, нужно написать систему из десяти уравнений, связывающих эти коэффи­циенты с массой и расстояниями от точки наблюдения до окружающих тел.

Гений и труд Эйнштейна отыскали эту систему — си­стему мировых уравнений.

Нам с вами не стоит даже пытаться разбирать ло­гику вывода и выписывать уравнения. Удовлетворимся сообщением, что они существуют.

Еще сложнее и тоньше дальнейшая работа — реше­ние системы мировых уравнений. Тут Эйнштейн и его последователи столкнулись с трудностями поистине ти­таническими. До нашего времени задача полностью не решена. Добыты только отдельные частные решения, годные лишь ограниченно, при всевозможных упро­щениях.

Тем не менее результаты огромны: создана матема­тическая теория тяготения, в которой действительно нет, как таковой, силы тяготения! Есть только силы инерции.

Грубо говоря, дело обстоит следующим образом.

Удалось выяснить, как именно отклоняются от «нор­мы далекой пустоты» метрические коэффициенты мира около тяжелого тела — например, Земли. На этом ма­териале был установлен «околоземной вариант» фунда­ментального метрического тензора, то есть, другими словами, характеристика кривизны пространства — вре­мени.

Оказалось, что геометрия тут эллиптическая (вроде геометрии поверхности яйца, но только, конечно, четы­рехмерная, да еще такая, что геодезические линии слу­жат не кратчайшими, как на яйце, а длиннейшими рас­стояниями. Причем с приближением к центру Земли кривизна мира увеличивается (кривизна поверхности яйца увеличивается с приближением к его «острым углам»). И увеличение кривизны мира означает очень малое замедление времени и сокращение рассто­яний.

Отсюда попробуем представить себе ход геодезиче­ских линий, этих прямейших длиннейших путей, «рель­сов» инерционного движения тел на диаграмме искрив­ленного пространства — времени.

Во-первых, все геодезические сходятся, вроде ме­ридианов на глобусе.

Во-вторых, кривизна их тем больше, чем больше кри­визна мира.

Не забывайте, что речь идет о мире-диаграмме, по­строенном по правилам Эйнштейна, что одно из его измерений — время — может только возрастать. Поэтому геодезические линии, обладая наибольшей прямизной и наибольшей длиной, имеют, кроме того, направление — устремлены в сторону возрастания времени. Тела дви­жутся по ним из прошлого в будущее, но не наоборот. Так вода в реке обязательно течет сверху вниз.

Разумеется, вообразить все это вместе и сразу непросто. Попытаемся все же применить сказанное к поведению камня, находящегося около Земли.

Штаны для мира

Пока наши разговоры о моллюске отсчета, сменив­шем старый аквариум, не более, чем слова. Пока есть только изложение замысла. Реализовать замысел — значит указать, каков моллюск, каковы конкретно зако­номерности изменений его формы, как она зависит от заполняющего его движущегося вещества.

Поставив перед собой эту цель, Эйнштейн шел к ней долго, с исключительным упорством. Надо было влить математическое содержание в идею кривизны четырехмерной пространственно-временной диаграммы. Дать формулы для ее вычисления и, как следствие, для пред­сказания движений тел в реальном мире.

Отправным пунктом работы послужила общая мате­матическая характеристика кривизны — не что иное, как усложненная и обобщенная форма хорошо знако­мой нам теоремы Пифагора.

Напомню, что эта теорема — метрическая, то есть содержит в себе рецепт определения расстояний. На плоскости она имела простейший школьный вид:

S2 = а2 + b2

На искривленной поверхности изменилась: S2 стало не равно а2 + b2. Не стоит выписывать измененной формы этой теоремы. Скажу лишь, что для определения квадрата расстояния на любой искривленной поверх­ности а2 и b2 надо на что-то умножить да еще в форму­ле появится член с произведением а на b. (Тут к тому же а и b будут бесконечно малыми величинами.) Аналогично изменится вид трехмерной теоремы Пифагора в изогнутом трехмерном пространстве.

А в мире Минковского? На четырехмерной диа­грамме быстрых движений?

Эта диаграмма строилась на основе постулатов Эйн­штейна. В результате на ней отобразилась связь про­странства и времени: появились гиперболические калибровочные линии, отсекающие на разных осях разные масштабы длин и длительностей. Это определило вы­ражение для квадрата интервала (то есть, опять напоминаю, расстояния между двумя событиями в четы­рехмерном пространственно-временном мире). В двена­дцатой главе оно было записано так:

2016-03-10 20-30-42 Скриншот экрана

Расшифровав по «прямой» пространственной теореме Пифагора l2 как сумму x2+y2+z2, получим:

2016-03-10 21-25-00 Скриншот экрана

Очень похоже на теорему Пифагора, только четвер­тое слагаемое отрицательно. Но от этого можно изба­виться. Ради симметрии сделаем замену: вместо —с2t2 будем писать τ2. Тогда сходство, во всяком случае по математической форме, будет полным.

Таково метрическое правило для измерения интер­вала на диаграмме частной теории и относительности — без учета тяготеющих масс. Тут мир не имеет кривизны.

Ну, а в искривленном мире выражение интервала усложнится — подобно тому, как усложнилась теорема Пифагора на шаре или седле. Каждый член правой части формулы на что-то умножится, появятся члены с произведениями ху, хz и т. д. Что же получится?

Дабы подчеркнуть неравномерную кривизну мира, все отсчеты снабдим значком Δ (дельта)—это будет означать, что измерения ведутся в достаточно малой области мира, где кривизна его остается постоянной. И тогда (поверьте на слово) интервал между двумя близкими событиями в искривленном мире простран­ства — времени будет выглядеть так:

2016-03-10 21-35-05 Скриншот экрана

Множители g, снабженные парой индексов (от 1 до 4), — коэффициенты кривизны. Их всего десять. От них-то, в конечном итоге, и зависит искривление мира. А сами они зависят от масс и расстояний до окружаю­щих тел.

Написанное выражение носит громкий и почетный титул — фундаментальный метрический тензор. Отметив музыкальную звучность термина, воздержимся от расшифровки его смысла (это чистая математика). По су­ществу, здесь не что иное, как усложнение и обобщение «покроя» школьных «пифагоровых штанов» на случай искривленного четырехмерного мира, диаграммы дви­жения в эйнштейновском моллюске отсчета.

В далекой от звезд и планет пустоте при равномер­ном движении моллюск обращается в аквариум и ни­какой кривизны мира нет. Фундаментальный метриче­ский тензор становится интервалом специальной тео­рии относительности. В этом случае (при обратной за­мене τ2 на —с2t2)

g11 = g22 = g33 = 1;

g444=  - с2,    a  g12 = g13 = g14 = g23 = g24 = g34 = 0.

Там же, где нет вокруг полной пустоты, где сравни­тельно недалеки звезды и планеты, должны иметь место отклонения от этих «нормальных» значений метрических коэффициентов.

Моллюск отсчета

Мой труженик-читатель, которому я искренне сочув­ствую и которого от души благодарю за то, что он добрался-таки до этой главы, наверное, устал. Поэтому остатки нашего книжного пути проследуем не торопясь. Честно говоря, тут надо бы сделать даже остановку, и длительную — лет этак на пять — десять, с тем чтобы засесть за учебники и проштудировать весьма сложный математический аппарат, без которого немыслимо уяс­нить количественные выводы эйнштейновской теории тяготения. Отказываясь от этого экскурса, мы обрекаем себя на очень приблизительное ее понимание.

Все же качественная сторона проблемы при вдум­чивом и неспешном чтении нижеследующего может стать, мне кажется, вполне ясной рядовому девятиклас­снику. А то и восьмикласснику.

Собственно говоря, основное содержание эйнштей­новских взглядов на природу тяготения вам уже извест­но (см.курсив). Остаются подробности и тонкости.

Разберемся, какова в общей теории относительности судьба систем пространственно-временного отсчета.

Это знакомые нам «индивидуальные» аквариумы специальной теории, но они изменили строение и форму. Часы же, висевшие на каждом аквариуме, размножи­лись в огромное число раз. Системы отсчета потеряли жесткость — стали гибкими, растяжимыми, ячеистыми. Вместо жесткого аквариума, вместо твердого трезубца пространственных координат, увенчанного единствен­ными часами, появился, по выражению Эйнштейна, моллюск отсчета.

Вообразите мягкую каучуковую губку, которая не­видима, неощутима. Она огромна — величиной со Все­ленную, однако связана каким-то образом с телом, дви­жущимся как угодно, и движется вместе с ним. Эта губ­ка состоит из бесчисленных крошечных ячеек. Каждая ячейка — участочек прямого пространства и равномер­ного времени (для наблюдателя, движущегося вместе с этим участком). Еще лучше представить себе, что никаких ячеек нет — просто в бесконечно малом про­странстве губка не имеет кривизны и темп времени в до­статочно близких точках различается бесконечно мало. Но в крупных масштабах заметна пространственно-вре­менная четырехмерная кривизна. И она от ячейки к ячейке, от точки к точке плавно меняется.

Вот это неевклидово пространство, привязанное к определенному движущемуся телу и заполненное (мысленно) множеством часов, идущих в плавно меняю­щемся темпе, и есть эйнштейновский моллюск. Трепет­ная, чуткая система отсчета. Состояние ее зависит от масд, распределения и движения вещества.

В таком моллюске и происходит реальное физическое движение. Оно изображается графиками мира собы­тий— на четырехмерной диаграмме Минковского, кото­рая тоже искривлена. Геодезическими линиями ее, тут прямыми, там изогнутыми, определяется движение по инерции планет, спутников, камней. В том числе и паде­ние. Падение — только по инерции!

Соль тут заключается в следующем: отсутствует то, что мы привыкли называть силой тяготения. Камень не притягивается Землей. Он по инерции движется вдоль четырехмерной геодезической, а вблизи Земли эта геодезическая изогнута так, что «втыкается» в мировую ли­нию поверхности планеты. И камень, летя с башни по инерции, падает на Землю.