Архив рубрики: Вдоль пространства

Обруч и рельс

Полагаю, мы с вами уже созрели для геометриче­ского истолкования анекдота о кривых дровах. Очень просто: если паровоз въезжает из плоского евклидова пространства в любое неевклидово, то прямые дрова автоматически превращаются в кривые.

Наоборот, если паровоз шел в неевклидовом про­странстве и дрова в нем, по мнению машиниста и ко­чегара, были прямыми, то при въезде в евклидово про­странство они искривятся.

Кривизна и прямизна предстают перед нами свой­ствами не абсолютными, а относительными! Каждое из них зависит от точки зрения, от договоренности, продиктованной, правда, не свободным произволом, а гео­метрическими свойствами пространства. Вообразив, что пространства разной кривизны вложены друг в друга и из одного можно наблюдать другое, относительность кривизны удастся представить вполне наглядно.

Допустим, например, такой случай. Изготовляя шар Пуанкаре, я вмонтировал в него резиновое кольцо. В евклидовом пространстве это кольцо мне представ­ляется безусловно кривым. Но в шаре Пуанкаре оно мо­жет стать прямейшим, если вдоль него пойдет луч света. Вместе с тем железнодорожный рельс, для меня прямой как стрела, в сферическом пространстве станет дугой — ведь «прямой» для обитателя шара Пуанкаре световой луч от рельса отклонится. Удивляйтесь, если не устали!

Такова в самых примитивных чертах неевклидова геометрия. Заканчивая беседу о ней, я должен сообщить вам нечто важное и несколько обескураживающее.

Как вы наверняка догадываетесь, описанные в этой главе геометрические странности имеют непосредствен­ное отношение к общей теории относительности, к тяго­тению, к инерции, в конечном счете — ко все еще не разгаданной нами до конца загадке падения тел, дей­ствию тяжести через пустоту.

Это действительно так. Но связь, к сожалению, далеко не столь проста, как хотелось бы любителям легкого бегства от удивлений. Приготовьтесь к разоча­рованию. Все, буквально все только что изложенные геометрические рассуждения и примеры в мире Эйн­штейна не имеют ни грана физического смысла. Ибо с самого начала этой главы мы с вами разрешили себе непозволительную идеализацию истинного положения вещей — признали возможность мгновенного измерения расстояний. Отсюда выросла физическая небылица: пространство, не зависимое от времени.

На самом деле ничего мгновенного в природе не бы­вает. Измерения расстояний кроме линеек требуют еще и часов. И строгого соблюдения не только геометриче­ских, но и чисто физических правил, говорящих, в част­ности, о том, что пространство вообще не может сущест­вовать вне времени. В реальном мире пространство и время неразделимы.

Как велики последствия этого, вы скоро поймете.

Сфера Пуанкаре

Еще диковина: некоторые неевклидовы пространства могут быть конечными, хоть и безграничными. Расстоя­ния там не превышают некоего определенного значения и, соответственно, не могут существовать сколь угодно большие объемы.

Подобно тому, как яйцо или мяч обладают безгра­ничной поверхностью, но ограниченной площадью, эл­липтическое пространство не имеет границ и тем не менее имеет конечный объем. Искривляясь, оно как бы замыкается на себя!

Странно? Очень.

Но все же доступ­но наглядному модели­рованию.

Французский мате­матик Анри Пуанкаре, один из предшественников Эйнштейна, ухитрился при­думать любопытную модель замкнутого сферического пространства. Вот что он советует вообразить.

В шаровом сосуде находится некая среда, в которой плавают предметы и существа, наделенные весьма фан­тастическими свойствами. При охлаждении и среда и предметы абсолютно одинаково сжимаются, причем при нуле градусов обращаются в точки. Кроме того, свето­вые лучи в этой среде преломляются тем сильнее, чем ниже температура. Шар снаружи заморожен до нуля градусов. А изнутри, из центра, разогрет. И от центра к периферии температура плавно снижается. Еще условие: существо в шаре не должно ощущать перемен тем­пературы. Ему всегда «не жарко, не холодно». Вот и все.

По вашей командировке я обретаю указанные свой­ства, переселяюсь в шар Пуанкаре (пусть висящий где- то в космосе, в невесомости) и, допустим, обитаю в нем в полном одиночестве. Тем не менее я замечаю вокруг множество человеческих фигур. Всюду я вижу себя и только себя — и впереди, и сзади, и со всех сторон. Све­товые лучи идут замкнутыми путями. Приближаясь к краям шара, они, плавно преломляясь, заворачивают внутрь, так что эти края невозможно увидеть, даже на­ходясь совсем рядом с ними. Завернув, лучи возвра­щаются туда, откуда вышли. Вот и получается, что пе­редо мной — моя спина, надо мной — подошвы моих ног, подо мной — моя макушка. Стреляя вперед из све­тового пистолета, я, если захочу, попаду в собственный затылок.

Разумеется, луч представляется мне прямым. Счи­тая его эталоном прямизны, я не замечаю кривизны своего пространства. Ее нельзя обнаружить и движе­нием: шагая вдоль луча, я открываю лишь существо­вание предельно большого расстояния, так как вскоре возвращаюсь к месту старта. Стенки шара мне совер­шенно недоступны. Когда я подхожу к ним, то сжима­юсь вместе с окружающей средой, и одновременно сжи­маются все расстояния вокруг меня, все длины, все вы­соты. В любой точке шара я не замечаю изменения своих размеров. Поэтому всюду я воспринимаю окру­жающее пространство так, будто нахожусь в его цен­тре. И не вижу нигде никаких границ своего малень­кого мирка. Он конечен по объему, но для меня безгра­ничен. Очень красивая модель!

Как это ни парадоксально, шар Пуанкаре, быть мо­жет, кое в чем схож с нашей необозримой Вселенной. Но об этом потом.

Два варианта кривизны

Итак, мы с вами добрались до кривого пространства. Научились, кажется, устанавливать изнутри его сам факт кривизны: об этом может свидетельствовать нару­шение евклидовых метрических теорем.

Геометры идут дальше: они умеют предсказывать, как именно изменится теорема Пифагора и сумма углов треугольника в пространствах, искривленных по-раз­ному. Рассуждения похожи на те, что я вел, будучи блином на неизвестной поверхности. Например, если а2+b22 меньше, чем S2, а сумма углов треугольни­ка меньше двух прямых («пифагоровы штаны» и «тре­угольная шляпа» для пустоты «малы»), то простраство гиперболическое. Вместо плоскостей в нем седло­видные поверхности, вместо прямых — гиперболы. Этот вариант неевклидовой геометрии и был разработан Ло­бачевским.

Другая геометрическая система, развитая замеча­тельным немецким математиком Георгом Риманом, по­лучится, если а2+b22 выйдет больше, чем S2, сумма углов треугольника превысит два прямых. Эта геометрия называется эллиптической. В ней вместо пло­скостей — поверхности вроде яичной сколупы или мя­ча, вместо прямых — дуги больших эллипсов или, соот­ветственно, больших кругов.

Позволю себе повторить еще раз: в плавно искрив­ленном пространстве все геодезические линии представ­ляются прямыми. «Истинных» же прямых там нет, их невозможно провести. Любая неизбежно согнется, как обязательно согнется нить, натянутая по сфере. Причем, если пространство искривлено неравномерно, в разных местах по-разному, то и прямейшие геодезические линии в разных точках согнутся неодинаково. При движе­нии вдоль геодезической ее «волнистость», конечно, незаметна. Всюду эта линия выглядит одинаково пряме­хонькой. Однако стоит испытать в разных местах мет­рические правила, как обнаружатся изменения, откло­нения от привычной евклидовой «нормы».

Короче говоря, в неравномерно-неевклидовом про­странстве от точки к точке меняется метрика, приемы определения расстояний. Меняется теорема Пифагора. В общем виде простая формула ее заменяется более сложной, включающей величины, которые характеризу­ют кривизну пространства в разных его местах. И, как следствие, в разных местах такого пространства ока­зываются разными длины предметов, кратчайшие расстояния между точками.

Вот такие чудеса допускают геометры в неевклидо­вом пространстве!

Облачение пустоты

Ночью, чтобы не мешать уличному движению, я про­тягиваю веревку из своего окна к далекому киоску. Тщательно измеряю расстояние S. Столь же точно из­меряю длины а, b и с. Возвожу их в квадрат, склады­ваю, сравниваю. Вышло подтверждение формулы S= а2 + b2 + с2 — значит, в пространстве можно провести плоскости и прямые, значит, пространство плос­кое, евклидово.

Или так. Еду на Кавказ. Стягиваю тугими канатами три горные вершины. Измеряю в этом треугольнике углы, складываю их. Получилось в сумме два прямых — есть еще одно доказательство того, что пространство плоское.

Ну, а если эти эксперименты приведут к другим ре­зультатам? Если S2 не совпадет с а2 + b2 + с? И сум­ма углов кавказского треугольника не даст двух пря­мых? Очень нелегко, очень непривычно допустить по­добное. Разум упрямо противится даже мысленно позволить столь странный итог пространственных изме­рений.

Однако вопреки протестам интуиции заставим себя вообразить, что расхождения все-таки обнаружились. Что это может значить?

Когда подобное случалось на поверхности, вывод был очевиден: поверхность имеет кривизну. А когда на­рушения традиционной теоремы Пифагора объявятся в пустоте, резонно будет сказать, что это доказывает кривизну пространства... Прежде, будучи блином, я с по­мощью метрических теорем определял, какова моя поверхность, не сходя с нее. Теперь, став объемным геометром, я хочу совершенно аналогичным способом узнать, каково пространство: насколько и как оно ис­кривлено.  И снова —не выходя из него!

На сфере или седле я не мог построить плоскость и провести идеальную прямую линию. Вместо нее у меня выходили геодезические линии — прямейшие, но не пря­мые. Именно по ним шли кратчайшие расстояния меж­ду точками. Подобно этому, в кривом пространстве я не могу построить ни идеальной прямой, ни идеальной плоскости. Вместо плоскостей проведутся поверхности минимальной кривизны, а вместо прямых опять появят­ся геодезические линии — прямейшие, но не прямые. Однако изнутри, из пространства, непосредственно уви­деть искривление его невозможно, потому что тамошние жители сделают кривыми все свои линейки и другие эталоны прямизны — подгонят их к располагающимся по геодезическим линиям световым лучам, натянутым нитям, путям инерционного полета тел, не подверженных действию сил, и т. д. Поверхности минимальной кривизны будут выглядеть плоскостями. Только исследования параллельных линий да метрические экспери­менты помогут определить эту странную, почти невооб­разимую кривизну пустоты.                       ...

Трудновато? Да, нелегко.

Геометрическая возможность неевклидового про­странства была неожиданным  откровением науки XIX века.

Это открытие, сделанное в 1825 году, принадлежит гениальному русскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому.

От окна до киоска

Я уже не блин. Мне возвращена высота. Я покинул мир тесных, бесконечно тонких площадей, живу, как и вы, в объеме, в глубоком, раздольном пространстве. Хорошо! Есть где развернуться! Можно не только пол­зать, но и прыгать и летать. Это очень приятно.

Но мне не до развлечений. В бытность блином я привык беспрерывно исследовать кривизну своего мира, и теперь меня тянет заняться тем же в пространстве.

Прежде всего я намереваюсь придумать способ обла­чения пустоты в «пифагоровы штаны» и примерки к ней «треугольной шляпы».

Как это сделать?

Вот легонькая задачка из школьной стереометрии.

От моего окна (на пятом этаже) до газетного киоска на противоположной стороне улицы «напрямую» S мет­ров. По тротуару от моего дома с метров, bширина улицы, а — до высоты моего окна. Требуется найти S, не мешая уличному движению — не протягивая из окна к киоску туго натянутой веревки, а вычислив это рас­стояние через а, b и с.

2016-03-07 18-10-41 Скриншот экрана

Решение наипростейшее: считаем, что стена дома со­ставляет прямой угол с поверхностью тротуара, что переход через улицу перпендикулярен к ней самой, пренебрегаем кривизной земной поверхности и дважды при­меняем теорему Пифагора. Так добываем формулу:

S2 = a+ b2 + c2

Вышло очень похоже на теорему Пифагора, но уже не для плоскости, а для пространства. Для крат­чайшего расстояния S, прокладываемого «через пу­стоту».

Разумеется, а, b и с можно менять, можно строить около расстояния S самые разнообразные прямоуголь­ные треугольники. И по традиционной школьной геометрии квадрат расстояния во всех случаях будет равен сумме квадратов его трех взаимно перпендикулярных коорди­натных отсчетов. Поэтому выражение теоремы Пифагора считается главным инвариантом евклидовой геометрии.

Очень хорошо. От мет­рики плоскости мы шагнули к метрике пространства. Но вот существенная тонкость.

Наше решение выглядит непогрешимым и единствен­но возможным. Однако оно предполагает самоочевид­ное, как кажется, условие: в пространстве существуют плоскости. Именно поэтому мы считали себя вправе дважды применить плоскую теорему Пифагора (она, как говорилось, годится в этом простейшем виде лишь для плоскостей).

На том же условии не­трудно доказать и другую теорему — о том, что не только в плоских, но и про­странственных треугольниках сумма углов составляет два прямых. Раз уж, согласно Евклиду, через любые три точки пространства можно провести плоскость, то и любой пространственный треугольник обязан быть плоским. Но так ли обстоит дело в действительности? Будут ли впору «прямые» штаны и «прямая» шляпа реальному пространству?

Что ж, из всего этого следует как будто немудрящий рецепт облачения пустоты в «пифагоровы штаны» и «треугольную шляпу». Надо проделать измерения длин и углов в реальных пространственных треугольниках. И таким способом «испытать пространство на кри­визну».