Определить, как зависит скорость вылета стрелы из лука от величины оттяжки тетивы w (рис.169).

При отвязанной тетиве дуга лука представляет собой прямую балку длиной 2l и жесткости EJ.

Провести числовой расчет скорости вылета для случая:

При расчете считать, что энергия натянутого лука целиком переходит в кинетическую энергию стрелы; тетиву считать нерастяжимой.

Задача является типичной задачей о больших пере­мещениях упругого бруса.

Обратимся к решению задачи, решенной ранее (см. — здесь). Упругая балка, пока­занная на рис. 337, может быть уподоблена по­ловине дуги лука.

При s = l выражение (5) (здесь и далее, при ссылке на номер формулы без штриха — см. задачу) принимает вид

  (1')

При s = l кривизна бруса равна нулю . По­этому из (4)  следует

  (2')

При s = 0   ζ = δ. Из этого условия и из выражения (3) получаем

  (3')

Рассмотрим вначале первую стадию изгиба бруса — под­вязку тетивы (рис. 432).

В этом случае, как видно из рис. 337, δ = 0. Поэтому из (3') вытекает, что ψ₀ = 0. Для этого же случая имеем:

x_L = a, y_L= h.

Выражения (5) и (7)  дают:

Задаемся несколькими значениями k и, пользуясь табли­цами эллиптических интегралов, находим из последних урав­нений . Результаты сводим в следующую таблицу:

Интерполируя полученные данные, находим для заданного  следующие величины:

Мы получаем, таким образом, усилие Р₁ в натянутой тетиве и длину тетивы а, которая при дальнейших дефор­мациях системы остается неизменной.

Рассмотрим теперь второй этап изгиба бруса. Здесь ве­личина ψ₀ нулю не равняется и остается неизвестной. Оп­ределение этой величины будем производить следующим образом. Задаемся величинами k и ψ₀. Из выражения (3') на­ходим δ по условию:

Затем из (1') определяем

Выражения (6)  дают:

,

а из выражений (7)  находим:

Наконец, определяем длину а тетивы (рис. 433):

откуда

Это отношение должно равняться 0,945. При постоянном k задаемся несколькими значениями ψ и повторяем подсчеты, пока не добьемся того, чтобы  равнялось 0,945, Такой подбор производим для нескольких значений k. Результаты сводим в таблицу

Затем вычисляем перемещение w (рис. 433):

,

и усилие

.

для тех же значений k и ψ₀ получаем:

На рис. 434 показан график зависимости  от .

Площадь, ограниченная этой кривой на интервале  дает выражение упругой энер­гии, передаваемой стреле при спуске. На рис. 434 показана и интегральная кривая для энергии U. Эта кривая получена простым планиметрированием первого графика.

Теперь перейдем к числовому подсчету. При заданном  снимаем с кривой

Эту энергию приравниваем кинетической энергии стрелы

На самом деле скорость v будет несколько меньше, так как часть энергии уйдет на сообщение кинетической энер­гии тетиве и дуге лука. Сила Q, которую необходимо приложить к луку, чтобы задать стреле вычисленную скорость, также определится из графика рис. 434:

Исследуйте вопрос об устойчивости и о больших перемещениях следующей системы (рис. 168).

Трубка в нижней части закреплена шарнирно и связана со спиральной пружиной, дающей при повороте трубки на угол φ момент сφ. В трубку вставлена пружина и поршенек, имеющий возможность перемещаться в трубке без трения. Пружина, вставленная в трубку, имеет жесткость с₁, т.е при силе P дает осадку  P/с_1.

Рассмотрим условие равновесия трубки в отклоненном состоянии (рис. 430).

Если обозначить через Н расстояние от верхнего края поршенька до шарнира в начале нагружения, то тогда, очевидно,

(1), откуда получаем

Обозначим:

(2)
Тогда имеем

При различных λ зависимость р от φ носит различный характер. На рис. 431 показана эта зависимость для значений λ = 0,5, 1,0 и 1,2 при 0 ≤ φ < π.

Полученные кривые соответствуют формам равновесия системы в отклоненном от вертикали положении. Кроме того, существует форма равновесия для вертикально расположенного стержня (уравнение (1) удовлетворяется всегда при φ = 0). На рис. 431 подобные формы равновесия отображаются точками, лежащими на оси ординат. При λ=0,5 и вообще для всех значений 0 < λ < 1 кривые р = р (φ) пересекают ось ординат в двух точках, низшая из которых соответствует первому критическому значению параметра р. Для λ = 0,5  p_кр = 0,147. Вообще же говоря,

или

Теперь возникает вопрос об устойчивости указанных форм равновесия. Критерием устойчивого положения равновесия является минимум полной потенциальной энергии

Первые два слагаемых этого выражения представляют собой энергию деформации, а последнее — изменение потенциала внешней силы Р. Так как  , то получаем:

Условие   является условием равновесия (условием экстремума энергии) и приводит нас, как и следовало ожидать, к уравнению (1), полученному ранее. Условие минимума энергии запишется как, или

Согласно обозначениям (2) имеем

Исследуя полученные кривые, мы замечаем, что для некоторых участков этих кривых условие устойчивости выполняется, а для некоторых — нет. На рис. 431 участки, соответствующие неустойчивому равновесию, проведены штриховыми линиями. Для оси ординат условие устойчивости запишется в виде

откуда получаем:

Для λ = 0,5, например, вертикальное положение трубки будет неустойчивым при
0,853 > р> 0,147.

На рис. 431 стрелкой показан рост угла φ в функции силы Р в случае λ = 0,5. Вначале угол φ остается равным нулю. При р = 0,147 трубка отклоняется от вертикали, и далее по мере возрастания силы Р угол φ асимптотически приближается к значению φ = π. При этом при φ > π/2 поршенек будет силой Р из трубки вытягиваться. В реальной системе перемещение поршенька, а вместе с ним и возрастание силы Р ограничены длиной трубки.

Построенные кривые показывают, что угол φ может также асимптотически приближаться к значению π/2, например для случая λ = 0,5 при р > 0,853. Это означает, что при достаточно большой силе осадка пружины, находящейся в трубке, возрастает настолько сильно, а вместе с ним настолько быстро убывает плечо силы Р, что последняя не в состоянии перекинуть трубку ниже горизонтали. В пределе при  осадка пружины , как нетрудно установить, равна Н. Эти формы равновесия, однако, являются неустойчивыми.

При λ > 1, т. е. при достаточно большой жесткости спиральной пружины, или при достаточно малой высоте или жесткости второй пружины с₁ вертикальное положение трубки при любых значениях силы Р остается всегда устойчивым, хотя и существуют формы равновесия трубки в отклоненном положении. Для того чтобы трубка приняла эту форму равновесия, необходимо дать ей при помощи внешней силы большое боковое отклонение.

На рис. 431 изображены также ветви кривых р = р(φ) для отрицательных значений р. Эти кривые показывают, что при π/2 < φ < π трубка может находиться в равновесии при
силе другого знака. Этот вид равновесия легко себе представить, если учесть, что теоретически поршенек может смещаться в трубке на величины, большие Н. При Δ > Н сила Р, имея другой знак, будет удерживать трубку в указанном положении равновесия.

Таким образом, мы рассмотрели формы равновесия при 0 ≤ φ < π. Этим, однако, не исчерпывается все многообразие возможных форм. Анализ этого вопроса можно было бы продолжить, расширив область изменения угла φ за пределы π вправо и за пределы нуля — влево.

Рассмотренный пример является примером простейшей нелинейности, где без большого труда удается получить полное решение и наглядно показать его многозначность. В общем же случае решение нелинейных задач представляет собой одну из наиболее сложных и актуальных проблем современной математики и механики.

Определить осадку тарельчатой пружины (рис. 167) в зависимости от силы P.

При решении рассматривать пружину как круговой брус с поперечным сечением в виде прямоугольника [h × (b - a)]. Угол подъема пружины α мал, силы P вследствие малости толщины h и угла α можно считать приложенными на окружностях радиусов а и b.

Будем считать, что прямоугольное поперечное сечение не деформируется и поворачивается в результате силового воздействия на угол φ вокруг некоторой точки О, находящейся на расстоянии с от оси симметрии (рис. 427).

Рассмотрим в сечении пружины точку А с координатами х и у. После поворота сечения эта точка примет положение А' и приблизится к оси симметрии на
Δ = [х cos (α — φ) — у sin (α — φ)] — [х cos α — у sin α].
За малостью углов α и φ можно записать:

и тогда получаем

Окружное относительное удлинение, соответствующее перемещению Δ, будет:

Напряжение σ_t   равно σ_t = E ε_t.

Теперь определим нормальную силу в осевом сечении пружины

подставляя полученное выше выражение σ_t имеем

Но, рассматривая условия равновесия половины кольца (рис. 428), убеждаемся, что N = 0.

Из  этого условия находим

Найдем теперь момент М:

С другой стороны, из условий равновесия полукольца (рис. 428) вытекает, что

Таким образом, получаем

Исключая отсюда с и подставляя вместо α и φ соответственно , где w — осадка пружины, находим:

Непосредственной числовой проверкой можно установить, что при  справедливо соотношение

Поэтому

Полученная зависимость между силой Р и осадкой пружины w является нелинейной и в зависимости от отношения  H/h может носить различный характер.

На рис. 429 показаны кривые зависимости

Проследим, как меняется вид характеристики пружины  в зависимости от H/h. Кривая, соответствующая , представляет собой характеристику плоской дисковой пружины. Возрастание высоты H  вызывает прежде всего повышение начальной жесткости пружины, а затем нарушение монотонности хода кривой. При значении (это легко получить из анализа полученного выражения) на характеристике пружины появляется участок с отрицательной производной, расположенный между двумя экстремальными точками. Этот участок можно назвать участком отрицательной жесткости, поскольку возрастание прогиба в данном случае происходит при уменьшении нагрузки. Такой режим работы пружины является неустойчивым, а усилия, соответствующие экстремальным точкам, будут критическими для данной пружины. После достижения усилием первого экстремума пружина, минуя неустойчивый участок, скачком изменит свой прогиб. Дальнейшая работа будет происходить на правой устойчивой возрастающей части характеристики. Разгрузка пружины вызовет обратное скачкообразное изменение прогиба, соответствующее второму критическому усилию.

Дальнейшее повышение высоты пружины H дает, как видно из рис. 429, еще большее искривление характеристики, и при значениях  последняя начинает
пересекать ось абсцисс. Пружина при силе Р = 0 имеет, следовательно, три формы равновесия, из которых две — устойчивы, а третья — промежуточная—неустойчива. Такая пружина после выщелкивания и разгрузки в начальное положение не возвращается и сохраняет упругий остаточный прогиб, соответствующий точке пересечения кривой с осью абсцисс.

Стержневая система (рис. 166), состоящая из трех равных шарнирно скрепленных стержней, нагружена в общем узле силой P.

Определите перемещение w точки О в зависимости от величины силы P, считая H величиной, малой по сравнению с l , и полагая, что материал стержней подчиняется закону Гука. Истолкуйте полученный результат.

Высота расположения точки О деформированной системы над горизонтальной плоскостью будет H — w. Тогда угол наклона стержней к горизонту будет

Если обозначить через N сжимающее усилие в стержнях, то из условий равновесия, очевидно, получим

.
С другой стороны, сила N определяется величиной укорочения каждого стержня

Из чисто геометрических соображений (рис. 425)

выражаем Δl через w:

За малостью углов α₀ и α имеем

Подставляя α₀ и α, получим

Тогда сила N будет

Сила Р будет иметь следующее выражение:

Полученную зависимость можно переписать в безразмерной форме

и представить в виде кривой (рис. 426).

Эта кривая имеет две экстремальные точки А и В. На первом участке ОА происходит одновременное возрастание нагрузки и прогиба. Когда сила Р достигает значения, соответствующего первому экстремуму, происходит скачкообразное изменение прогиба (АС, как это показано стрелками). При дальнейшем росте нагрузки перемещение w продолжает увеличиваться. Если теперь систему разгрузить, то стержни останутся в свободном состоянии при , т.е. узловая точка стержней окажется на величину H ниже неподвижной горизонтальной плоскости. Прикладывая нагрузку обратного знака, можно вызвать обратное прощелкивание системы BD и вернуть ее в начальное положение.

Участок АВ кривой соответствует неустойчивым формам равновесия. Таким образом, при значениях силы Р, лежащей между двумя экстремумами (рис. 426)

система имеет три формы равновесия: две устойчивые и третью — промежуточную — неустойчивую.

В частности, при Р = 0 эта неустойчивая форма соответствует расположению стержней в горизонтальной плоскости . При малейшем отклонении от этого положения стержневая система займет либо верхнее, либо нижнее положение.

В трубке, вращающейся с постоянной скоростью ω ,помещен шарик массой m. Шарик прикреплен к резиновой  тяге (рис. 165).Диаграмма растяжения тяги задана кривой, показанной на рис.165 (по осям отложены условные единицы сил и смещений). определите зависимость перемещения шарика u от угловой скорости ω.

Из условий равновесия имеем 

Графически (рис.424) решаем это уравнение относительно u.

Корни уравнения определяются координатами точек пересечения прямых mω² (l+u)  с кривой P= f (u) (рис.424).

При mω² = 1,0 шарик скачком меняет свое положение, переходя из точки, характеризуемой величиной смещения u=1,8, к точке u=7. Обратный перескок происходит при mω² = 0,8.

Прямой перескок может произойти,понятно, и при mω² <1,0 (но большем, чем 0,8),  если только шарику будет сообщено достаточно большое возмущение.

Открытый с обоих концов тонкостенный резиновый цилиндр вывертывается наизнанку (рис. 164).

Какую форму примет он после указанной операции, если известно, что деформации цилиндра являются чисто упругими? Резину можно считать подчиняющейся закону Гука (см. ответ на вопрос о резине и законе Гука).

Положим, что вывернутый наизнанку цилиндр имеет прежнюю форму, т. е. форму цилиндра радиуса R, и определим напряжения, которые возникнут в нем при этом условии.

Относительное удлинение в окружном направлении для слоев, расположенных на расстоянии z от серединной поверхности, будет определяться изменением кривизны цилиндра с 1/R  на  —1/R.  

Если длина этого волокна до деформации (рис. 419) была (R + z) dφ, то для вывернутого цилиндра она будет (R — z) dφ.

Относительное удлинение в окружном направлении

Относительное удлинение в осевом направлении ε_x  равно нулю. Следовательно, получаем

Таким образом, мы приходим к выводу, что для того чтобы вывернутый цилиндр сохранял цилиндрическую форму, необходимо на его торцах приложить напряжения σ_x, показанные на рис. 420.

Очевидно, действительная форма вывернутого цилиндра будет такой же, какую получил бы цилиндр, если бы он был нагружен на торцах обратной системой сил (рис. 421).

Момент М, к которому сводятся напряжения σ_x на единице дуги контура, будет

Выделим из цилиндра двумя осевыми сечениями полоску, ширина которой равна единице (рис. 422).

Эту полоску можно рассматривать как балку на упругом основании, так как радиальная составляющая сил Т, действующих на эту полоску со стороны соседних частей оболочки, пропорциональна прогибу полоски w.

Усилие Т, приходящееся на единицу длины, будет

, а ее радиальная составляющая
Знак минус для q принят вследствие того, что эта нагрузка направлена в сторону, противоположную прогибу. Но

, где

 - жесткость полоски при стесненном изгибе. Тогда имеем:

Решая это уравнение, получим

Так как цилиндр достаточно длинен, ограничимся рассмотрением перемещений в зоне одного контура. Отбрасывая возрастающую часть решения, т. е. полагая C=D=0, получим

Постоянные А и В определятся из условий:

Но так как

При .

Форма вывернутого цилиндра в утрированном виде показана на рис. 423.

Хорошо известно, что по мере натяжения струны частота ее колебаний увеличивается (тон повышается).

Исследуйте, как будет изменяться частота колебаний резиновой нити по мере ее натяжения в двух случаях закрепления, показанных на рис. 162, а и б. Диаграмма растяжения нити задана (рис. 163).

Частота колебаний струны в основном тоне определяется, как известно, формулой

где Т—сила натяжения струны, m — ее масса, а l — длина.

В первом случае закрепления по мере увеличения силы натяжения изменяется масса колеблющейся струны при неизменной длине l₀, причем эта масса будет, очевидно, равна

где m₀  — масса ненатянутой струны, имеющей длину l₀ . Таким образом, получаем:

Во втором случае находим:

В обоих случаях — задается как функция силы натяжения (рис. 163), поэтому зависимость v₁ и v₂  от Т легко определяется. На рис. 418 показана искомая зависимость.

Таким образом, мы видим, что при первом способе натягивания частота колебаний нити с натяжением возрастает. Во втором случае при возрастающем усилии частота может уменьшиться. На опыте это явление хорошо наблюдается. Нужно только учесть, что не всякая резина обладает диаграммой растяжения того типа, что рассмотренная.

Во многих приборах, например в спидометре, для передачи момента используется гибкий вал, представляющий собой тонкий тросик, свободно вращающийся в неподвижной оплетке (рис. 161).

При равномерном вращении одного конца тросика равномерно вращается и второй конец. В дефектных валах, однако, эта равномерность вращения нарушается. Выходное сечение поворачивается вначале с замедлением, а затем — с ускорением так, что угловая скорость на выходе остается в среднем неизменной, но возникает переменная составляющая с периодом вращения троса. Установлено, что этот дефект связан с начальной кривизной, которую имеет трос до помещения его в оплетку.

Исследовать указанное явление и установить условия устранения неравномерности хода. Силами трения троса об оплетку можно пренебречь.

Поставленная задача может быть решена в рамках статического подхода.
Не рассматривая динамического эффекта, связанного с неравномерным вращением троса, определим закон изменения уравновешивающего момента на выходе при неизменном моменте на входе. Обозначим через 1/ρ кривизну троса и, пренебрегая силами трения, составим уравнение равновесия для элемента троса длиной ds (рис. 416).

Реакции, действующие на элемент со стороны оплетки, нормальны к поверхности троса и момента относительно оси х не дают. Поэтому, приравнивая нулю сумму моментов относительно оси х, получим: (1)

Следовательно, при отсутствии сил трения момент М_x   меняется вдоль оси постольку, поскольку существует момент М_y , т. е. изгибающий момент в плоскости, перпендикулярной плоскости кривизны троса.

Рассмотрим в сечении троса точку А с полярными координатами r и ψ (рис. 417).

Нормальное напряжение в этой точке можно представить в виде двух слагаемых. Первое представляет собой то напряжение, которое возникает в тросе при искривлении его по форме оплетки, т. е.

, где 1/ρ₀   — та кривизна троса, которую он имел до помещения в оплетку.

Второе слагаемое представляет собой то напряжение, которое возникает в точке А после поворота троса в оплетке на угол φ.

Сначала находим смещение точки А вдоль оси у (рис. 417):

Теперь найдем изгибающий момент М_y   или

откуда

Уравнение (1) примет вид:

Интегрируем это выражение по s, полагая, что все сечения повернулись на один и тот же угол φ:

Если на одном конце троса (при s = 0) приложен момент М₁ , то уравновешивающий момент М₂   при s = l будет следующим:

Таким образом, мы видим, что уравновешивающий момент на конце троса получает дополнительное слагаемое, меняющееся пропорционально синусу угла поворота троса. Если же моменты M₁  и М₂   сделать равными, то при повороте троса условия равновесия не будут соблюдаться и вращение на выходе не будет равномерным.
Момент М₂   не будет зависеть от угла φ, если

 

Достаточным условием нормальной работы троса спидометра является условие 1/р₀   = 0, т. е. достаточно, чтобы трос до постановки в оплетку был бы прямым.

Как  изменится решение предыдущей задачи, если в рассматриваемом кольце сохраняются напряжения, полученные им при сгибании из прямого прутка (рис. 160)? При этом предполагается, что напряжения изгиба являются полностью упругими.

Выражение (1), полученное для напряжений σ  в предыдущей задаче,

изменится введением дополнительного слагаемого

,отражающего предварительное напряжение изгиба. Теперь имеем:

Взамен выражения (2) получим

Это означает, что кольцо, имеющее указанные предварительные напряжения, будет вывертываться в осевой плоскости без приложения внешних сил. Такое кольцо является как бы упругим механизмом. Читатель может без особого труда проверить сказанное на опыте.

Имеются предложения использовать описанный эффект для замера величины так называемого внутреннего трения, возникающего в материале при деформациях.

Кольцо круглого поперечного сечения (рис. 159) нагружено равномерно распределенными моментами интенсивности m кг см/см.

Полагая r малым по сравнению с R, определить угол поворота сечений кольца φ в осевой плоскости в зависимости от m при условии, что материал кольца следует закону Гука.

При повороте сечения кольца в осевой плоскости на угол φ в точке A с координатами ρ, α (рис. 415) возникает окружное удлинение .

Но по данным фигуры Δ = ρ [sin (α + φ) — sin α],  а = R  +ρ sinφ .

Так как ρ много меньше R, то a ≈ R.  Поэтому имеем

 (1)

Напряжения σ дают в сечении кольца изгибающий момент относительно горизонтального диаметра, равный где dF и у соответственно равны:

dF = ρ dα dρ  ,  y = ρ cos (α + φ )

Тогда получаем

 (2)

С другой стороны, из условий равновесия половины кольца вытекает, что М = mR. Следовательно,

При 0 ≤ φ ≤ π/2  момент m возрастает, достигая при φ =π/2 максимального значения

Для дальнейшего увеличения угла φ требуется меньший момент. При φ = π, т. е. когда кольцо «вывернуто наизнанку», m = 0. Кольцо при этом находится в состоянии неустойчивого равновесия и при малейшем отклонении возвращается в начальное положение.

При φ > π момент m < 0. Это означает, что для удержания кольца в заданном положении в этом случае необходимо приложить момент обратного знака.

Полученное выше значение m_max   можно рассматривать как критическое значение момента, при котором происходит, как говорят, «опрокидывание» кольца.