Эпюры моментов в основной системе:

Коэффициенты канонических уравнений:

 

Значения неизвестных углов поворота узлов:

 

Эпюра изгибающих моментов:

 

Частный случай №1: α=1, β=1.

 

Частный случай №2: a=b.

z₁=0; z₂=0;

 

Эпюры моментов в основной системе:

Коэффициенты канонического уравнения:

Решение уравнения:

Эпюра изгибающих моментов:

 

Частный случай №1:

 

Частный случай №2: a=b, α=1.

 

 

Система канонических уравнений:

Коэффициенты уравнений:

Уравнения равновесия промежуточных узлов представляют собой уравнения в конечных разностях, а первое и последнее следует рассматривать в качестве граничных условий.

После подстановки значений коэффициентов в промежуточное уравнение системы и сокращения на  получим:

Это – линейное однородное уравнение в конечных разностях второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение отыскивается в виде:  z_i=λⁱ.

Тогда характеристическое уравнение будет:

,

корнями которого являются:

Очевидно также, что .

Тогда общее решение принимает вид:

Постоянные С₁ и С₂ определятся из граничных условий, которые с учетом значений коэффициентов будут:

После подстановки имеем:

откуда находим значения постоянных:

где введены обозначения:

С учетом найденных постоянных угол поворота произвольного i-го узла будет:

Эпюра изгибающих моментов :

Здесь:

                             .

Эпюры моментов в основной системе:

Коэффициенты канонических уравнений:

Решение канонического уравнения:

Эпюра изгибающих моментов М=М₁∙z₁+М_р:

С учетом обозначения  :

Частный случай №1: α=1.

Тогда

Частный случай №2: .

В этом случае:

Эпюры моментов в основной системе:

Коэффициенты канонических уравнений:

Решение системы канонических  уравнений:

Эпюра изгибающих моментов М=М₁∙z₁+ М₂∙z₂+М_р:

Введем дополнительно обозначение: .

Тогда:

Частный случай №1: α=1, β=1.

Частный случай №2: с=b.

Частный случай №3: с=b, α=β=1.

Частный случай №4: α=β=1, а=b=c.

z₁=0, z₂=0, а моменты в характерных сечениях будут:

 

 

 

Используя симметрию, представим расчетную схему в виде:

                                                                                         Основная система метода перемещений

Эпюры моментов в основной системе:

Коэффициенты канонического уравнения:

Решение уравнения:

Эпюра изгибающих моментов М=М₁∙z₁+М_р:

Если ввести обозначение , то

Частный случай №1: I_в=I_а.

Тогда:

Частный случай №2: .

В этом случае:

Случай I  От φ=1

«Основная система»

1. Определение толщины обжимаемого слоя грунта «Н₁».
2. Вычисление параметров r и s при b₁=1,
3. Введение безразмерной абсциссы .
4. Начальные параметры для основной системы:

         V₀=0, M₀=0.

   5.Граничные условия на правом краю:

при ξ=1 (x=d):   V (1)=0,              (1)

                            φ(1)=0.              (2)

«Развернув» их по формуле (2), будем иметь:

(1):  φ₀K_vφ(1)+MK_vм(1)+Q₀K_vQ(1)=0,

(2):  φ₀K_φφ(1)+MK_φм(1)+Q₀K_φQ(1)=0,

откуда:

;

    6. Из условия φ₀=1 найдем М:

   7.По найденному значению «М» определяем: М₀=М, φ₀=1 и Q₀.

    8.По третьей и четвертой формулам  при отсутствии грузовых членов находим значения М и Q в характерных сечениях 1, 2, 3 и 4.

Случай II  От ∆=1

«Основная система»

Пункты 1), 2), 3) – те же, что и в случае 1.

4. Начальные параметры:

V₀=0, φ₀=0.

5. Граничные условия на правом краю:

   φ(1)=0,              (1)

   Q (1)=Р.             (2)

«Развернув» их по формуле (2), получим:

(1): M₀K_φм(1)+Q₀K_φQ(1)=0,

(2): M₀K_Qм(1)+Q₀K_QQ(1)=P,

откуда:

6  Из условия V (1)=1 находим значение «Р»:

M₀K_vм(1)+Q₀K_vQ(1)=1,

                или

откуда:

7) Зная «Р», находим: М₀ и Q₀.

8)  По третьей и четвертой формулам  определяем значения М и Q в характерных сечениях.

Пример 1. Эпюры  М и Q от φ=1 для бруса длиной d=4м, сечением 1м×0,2м, при Е=332∙10⁴т/м².

1. Для конструкции тоннельной обделки интенсивность нагрузки на элемент лотка составляет:

Известное решение теории упругости о действии сосредоточенной

силы на границе полуплоскости дает для _maxσ следующее выражение:

Что касается величины бытового напряжения, то в рассматриваемом примере σ_быт=γ_гр(h₀+h+d₂+H₁)=1,5 (0,833+1,5+5+Н₁)=1,5 (7,333+Н₁).

Тогда, Н₁ определяется из условия:

_maxσ=1,2σ_быт:

или ,

откуда .

Как известно, чем тоньше обжимаемый слой грунта, тем ближе гипотеза Винклера к модели упругого полупространства.

В нашем случае, при Н₁=0,261м:

— значение параметра , характеризующего работу слоя грунта на обжатие, будет при μ₀=0,3:

,

— значение параметра , характеризующего работу слоя грунта на срез , что в 252 раза меньше k₁,

— а величина коэффициента постели по Винклеру:

Из сравнения следует, что величина второго параметра упругого основания t пренебрежимо мала, а расхождение между параметром k₁ и коэффициентом постели k составляет всего 9%.

В связи с этим нет необходимости в данном конкретном примере реализовывать алгоритм В.З.Власова, а вполне можно воспользоваться справочным материалом для элемента основной системы — см.здесь (с использованием теории упругого основания Винклера).

То же самое, очевидно, справедливо и для усилий от ∆=1.

При применении формул метода начальных параметров для балки конечной длины под действием равномерно распределенной нагрузки на упругом основании Власова-Леонтьева используются параметры «s» и «r».

Сравнивая выражения параметров «s» и «r», замечаем, что отношение   пропорционально  и обратно пропорционально Н². Следовательно, при малых значениях толщины обжимаемого слоя H<1м разница в величинах s² и r² огромна, и поэтому значения параметров α и β  почти одинаковы, а следовательно  . В этом случае специальные функции Власова   вырождаются в гиперболо-круговые функции одного аргумента, образующие известные функции Крылова.

Действительно, если  и , то .

При μ₀=0,3:

Если Н≤1м, то t≤5,83% k₁— пренебрежимо малая величина.

Но если Н>1м, то t>5,83% k₁, а именно:

— при Н=1,5м: t=13% k₁,

— при Н=2м: t=23,3% k₁,

— при Н=5м: t=45,75% k₁,

— при Н=10м: t=58,3% k₁.

Специфика условий сооружения и эксплуатации тоннелей мелкого заложения в открытых котлованах, а также многоочковых дорожных труб и проездов под высокими насыпями диктует простую прямоугольную форму поперечных сечений. Следовательно, элементы таких конструкций оказываются изгибаемыми, что диктует в свою очередь и выбор материала – это железобетон. Поэтому подобные сооружения получаются тонкостенными с относительно небольшим собственным весом.

Значит, такая конструкция, погруженная на малую глубину в грунт, обладая небольшим весом, не может вызвать и значительной толщины обжимаемого слоя «Н» под лотком.

В самом деле, нагрузку на тоннель, кроме его собственного веса, создает вес столба грунта над ним. А бытовое (фоновое) напряжение σ_быт возникает не только от веса такого столба, но еще и от веса столба грунта высотой, равной высоте самого тоннеля h_к. Таким образом, для того, чтобы _maxσ хотя бы сравнялось с напряжением σ_быт, надо, чтобы собственный вес единицы ширины обделки был не менее, чем γ_гр ·h_к, чего в относительно легких тонкостенных конструкциях практически не бывает.

Отсюда следует, что для расчета тоннельных обделок мелкого заложения двухпараметрическую модель упругого основания применить практически невозможно.

Что же касается многоочковых прямоугольных дорожных труб и проездов под высокими насыпями, то довольно простой анализ показывает: чтобы значения параметров α и β хоть сколько-нибудь заметно отличались друг от друга (а только в этом случае аргументы круговых и гиперболических функций в составе решений  получаются различными), высота насыпи над сооружением должна быть нереально большой, либо сама конструкция должна стать массивной и обладать огромным собственным весом, что совершенно нерационально.

Однако, если толщина обжимаемого слоя грунта, определенная иным путем либо назначенная по каким-то соображениям, окажется существенно большей 1м, то необходимо будет применить разработанный В.З.Власовым алгоритм, основанный на двухпараметрической модели упругого основания, поскольку в таком случае модель Винклера менее достоверна.

Дифференциальным уравнением изгиба балки на упругом основании Власова-Леонтьева является:

,

которое введением относительной абсциссы  сводится к виду:

    (1) ,

  где:EI- изгибная жесткость балки,

Н – толщина упругого основания,

ℓ — длина балки,

Е₀ – модуль деформации грунта основания,

μ₀ – коэффициент Пуассона грунта,

b – ширина слоя основания, равная ширине сечения балки,

q – интенсивность нагрузки,

z – абсцисса сечения,

V=V (η) – обобщенный прогиб.

Решение этого уравнения по методу начальных параметров дано В.З.Власовым в виде:

                (2), где:

K – функции влияния,

F – функции, зависящие от вида нагрузки и ее расположения на балке,

V₀, φ₀, M₀, Q₀ – начальные параметры.

Для балки под действием равномерно распределенной нагрузки «q» в случае шарнирного опирания по концам: V₀=0 и M₀=0, а φ₀ и Q₀ определяются из граничных условий при η=1:

V (1)=0 и М(1)=0. В развернутом виде эти условия будут:

  (3)

здесь: K^I(1) – первый интеграл от функции влияния при η=1,

           K^I(0) – первый интеграл от функции влияния при η=0.

Значения первых интегралов функций влияния получаются, если в выражениях для самих этих функций K заменить специальные функции   их первыми интегралами , тем самым избежать операции интегрирования.

Формулы (2) для рассматриваемого случая загружения и опирания примут вид:

                  (4)

Выражения функций влияния для случая s>r имеют вид:

 (5)

Выражения (3), (4) и (5) будут использоваться при решении задачи1, то есть изгиба тоннельной обделки как балки с жестким контуром сечения на упругом основании модели В.З.Власова.

А для решения задачи2 потребуются формулы метода перемещений для элементов основной системы, связанных с упругим основанием Власова-Леонтьева. Алгоритм и пример их получения приведен — здесь.

Определение толщины обжимаемого слоя грунта основания-см. здесь.

Рассмотрим задачу применительно к расчету тоннельной обделки.

Исходные данные:

γ_гр=1,5т/м³,

h₀=0,833м,

h=1,5м,

h_к=d₂=5м,

b=2∙d₁=2∙4=8м,

Тогда σ_быт=(h₀+h+d₂+H)∙γ_гр=(0,833+1,5+5+Н)∙1,5=(7,333+Н)∙1,5.

При q′=5,625т/пог.м и b=8м условие (а) примет вид:

Попытка №1: Н=2м.    5,5175<16,8.

Попытка №2: Н=1м.    7,76<14,9994.

Попытка №3: Н=0,7м. 10,48<14,45.

Попытка №4: Н=0,5м. 14,43≈14,18.

Итак, толщина обжимаего слоя грунта при решении задачи 1 Н=0,5м.