Эпюры моментов в основной системе:
Коэффициенты канонических уравнений:
Значения неизвестных углов поворота узлов:
Эпюра изгибающих моментов:
Частный случай №1: α=1, β=1.
Частный случай №2: a=b.
z1=0; z2=0;
Система канонических уравнений:
Коэффициенты уравнений:
Уравнения равновесия промежуточных узлов представляют собой уравнения в конечных разностях, а первое и последнее следует рассматривать в качестве граничных условий.
После подстановки значений коэффициентов в промежуточное уравнение системы и сокращения на получим:
Это – линейное однородное уравнение в конечных разностях второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение отыскивается в виде: zi=λi.
Тогда характеристическое уравнение будет:
корнями которого являются:
Тогда общее решение принимает вид:
Постоянные С1 и С2 определятся из граничных условий, которые с учетом значений коэффициентов будут:
После подстановки имеем:
откуда находим значения постоянных:
где введены обозначения:
С учетом найденных постоянных угол поворота произвольного i-го узла будет:
Здесь:
.
Эпюры моментов в основной системе:
Коэффициенты канонических уравнений:
Решение системы канонических уравнений:
Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1+ М2∙z2+Мр:
Введем дополнительно обозначение: .
Тогда:
Частный случай №1: α=1, β=1.
Частный случай №2: с=b.
Частный случай №3: с=b, α=β=1.
Частный случай №4: α=β=1, а=b=c.
z1=0, z2=0, а моменты в характерных сечениях будут:
Используя симметрию, представим расчетную схему в виде:
Основная система метода перемещений
Эпюры моментов в основной системе:
Коэффициенты канонического уравнения:
Решение уравнения:
Эпюра изгибающих моментов М=М1∙z1+Мр:
Частный случай №1: Iв=Iа.
Тогда:
В этом случае:
Случай I От φ=1
«Основная система»
V0=0, M0=0.
5.Граничные условия на правом краю:
при ξ=1 (x=d): V (1)=0, (1)
φ(1)=0. (2)
«Развернув» их по формуле (2), будем иметь:
(1): φ0Kvφ(1)+MKvм(1)+Q0KvQ(1)=0,
(2): φ0Kφφ(1)+MKφм(1)+Q0KφQ(1)=0,
откуда:
6. Из условия φ0=1 найдем М:
7.По найденному значению «М» определяем: М0=М, φ0=1 и Q0.
8.По третьей и четвертой формулам при отсутствии грузовых членов находим значения М и Q в характерных сечениях 1, 2, 3 и 4.
Случай II От ∆=1
«Основная система»
Пункты 1), 2), 3) – те же, что и в случае 1.
4. Начальные параметры:
V0=0, φ0=0.
5. Граничные условия на правом краю:
φ(1)=0, (1)
Q (1)=Р. (2)
«Развернув» их по формуле (2), получим:
(1): M0Kφм(1)+Q0KφQ(1)=0,
(2): M0KQм(1)+Q0KQQ(1)=P,
откуда:
6 Из условия V (1)=1 находим значение «Р»:
M0Kvм(1)+Q0KvQ(1)=1,
или
откуда:
7) Зная «Р», находим: М0 и Q0.
8) По третьей и четвертой формулам определяем значения М и Q в характерных сечениях.
Пример 1. Эпюры М и Q от φ=1 для бруса длиной d=4м, сечением 1м×0,2м, при Е=332∙104т/м2.
Известное решение теории упругости о действии сосредоточенной
силы на границе полуплоскости дает для maxσ следующее выражение:
Что касается величины бытового напряжения, то в рассматриваемом примере σбыт=γгр(h0+h+d2+H1)=1,5 (0,833+1,5+5+Н1)=1,5 (7,333+Н1).
Тогда, Н1 определяется из условия:
maxσ=1,2σбыт:
Как известно, чем тоньше обжимаемый слой грунта, тем ближе гипотеза Винклера к модели упругого полупространства.
В нашем случае, при Н1=0,261м:
— значение параметра , характеризующего работу слоя грунта на обжатие, будет при μ0=0,3:
— значение параметра , характеризующего работу слоя грунта на срез
, что в 252 раза меньше k1,
— а величина коэффициента постели по Винклеру:
Из сравнения следует, что величина второго параметра упругого основания t пренебрежимо мала, а расхождение между параметром k1 и коэффициентом постели k составляет всего 9%.
В связи с этим нет необходимости в данном конкретном примере реализовывать алгоритм В.З.Власова, а вполне можно воспользоваться справочным материалом для элемента основной системы — см.здесь (с использованием теории упругого основания Винклера).
То же самое, очевидно, справедливо и для усилий от ∆=1.
При применении формул метода начальных параметров для балки конечной длины под действием равномерно распределенной нагрузки на упругом основании Власова-Леонтьева используются параметры «s» и «r».
Сравнивая выражения параметров «s» и «r», замечаем, что отношение пропорционально
и обратно пропорционально Н2. Следовательно, при малых значениях толщины обжимаемого слоя H<1м разница в величинах s2 и r2 огромна, и поэтому значения параметров α и β почти одинаковы, а следовательно
. В этом случае специальные функции Власова вырождаются в гиперболо-круговые функции одного аргумента, образующие известные функции Крылова.
При μ0=0,3:
Если Н≤1м, то t≤5,83% k1— пренебрежимо малая величина.
Но если Н>1м, то t>5,83% k1, а именно:
— при Н=1,5м: t=13% k1,
— при Н=2м: t=23,3% k1,
— при Н=5м: t=45,75% k1,
— при Н=10м: t=58,3% k1.
Специфика условий сооружения и эксплуатации тоннелей мелкого заложения в открытых котлованах, а также многоочковых дорожных труб и проездов под высокими насыпями диктует простую прямоугольную форму поперечных сечений. Следовательно, элементы таких конструкций оказываются изгибаемыми, что диктует в свою очередь и выбор материала – это железобетон. Поэтому подобные сооружения получаются тонкостенными с относительно небольшим собственным весом.
Значит, такая конструкция, погруженная на малую глубину в грунт, обладая небольшим весом, не может вызвать и значительной толщины обжимаемого слоя «Н» под лотком.
В самом деле, нагрузку на тоннель, кроме его собственного веса, создает вес столба грунта над ним. А бытовое (фоновое) напряжение σбыт возникает не только от веса такого столба, но еще и от веса столба грунта высотой, равной высоте самого тоннеля hк. Таким образом, для того, чтобы maxσ хотя бы сравнялось с напряжением σбыт, надо, чтобы собственный вес единицы ширины обделки был не менее, чем γгр ·hк, чего в относительно легких тонкостенных конструкциях практически не бывает.
Отсюда следует, что для расчета тоннельных обделок мелкого заложения двухпараметрическую модель упругого основания применить практически невозможно.
Что же касается многоочковых прямоугольных дорожных труб и проездов под высокими насыпями, то довольно простой анализ показывает: чтобы значения параметров α и β хоть сколько-нибудь заметно отличались друг от друга (а только в этом случае аргументы круговых и гиперболических функций в составе решений получаются различными), высота насыпи над сооружением должна быть нереально большой, либо сама конструкция должна стать массивной и обладать огромным собственным весом, что совершенно нерационально.
Однако, если толщина обжимаемого слоя грунта, определенная иным путем либо назначенная по каким-то соображениям, окажется существенно большей 1м, то необходимо будет применить разработанный В.З.Власовым алгоритм, основанный на двухпараметрической модели упругого основания, поскольку в таком случае модель Винклера менее достоверна.
Дифференциальным уравнением изгиба балки на упругом основании Власова-Леонтьева является:
которое введением относительной абсциссы сводится к виду:
где:EI- изгибная жесткость балки,
Н – толщина упругого основания,
ℓ — длина балки,
Е0 – модуль деформации грунта основания,
μ0 – коэффициент Пуассона грунта,
b – ширина слоя основания, равная ширине сечения балки,
q – интенсивность нагрузки,
z – абсцисса сечения,
V=V (η) – обобщенный прогиб.
Решение этого уравнения по методу начальных параметров дано В.З.Власовым в виде:
K – функции влияния,
F – функции, зависящие от вида нагрузки и ее расположения на балке,
V0, φ0, M0, Q0 – начальные параметры.
Для балки под действием равномерно распределенной нагрузки «q» в случае шарнирного опирания по концам: V0=0 и M0=0, а φ0 и Q0 определяются из граничных условий при η=1:
V (1)=0 и М(1)=0. В развернутом виде эти условия будут:
здесь: KI(1) – первый интеграл от функции влияния при η=1,
KI(0) – первый интеграл от функции влияния при η=0.
Значения первых интегралов функций влияния получаются, если в выражениях для самих этих функций K заменить специальные функции их первыми интегралами
, тем самым избежать операции интегрирования.
Формулы (2) для рассматриваемого случая загружения и опирания примут вид:
Выражения функций влияния для случая s>r имеют вид:
Выражения (3), (4) и (5) будут использоваться при решении задачи1, то есть изгиба тоннельной обделки как балки с жестким контуром сечения на упругом основании модели В.З.Власова.
А для решения задачи2 потребуются формулы метода перемещений для элементов основной системы, связанных с упругим основанием Власова-Леонтьева. Алгоритм и пример их получения приведен — здесь.
Определение толщины обжимаемого слоя грунта основания-см. здесь.
Рассмотрим задачу применительно к расчету тоннельной обделки.
Исходные данные:
γгр=1,5т/м3,
h0=0,833м,
h=1,5м,
hк=d2=5м,
b=2∙d1=2∙4=8м,
Тогда σбыт=(h0+h+d2+H)∙γгр=(0,833+1,5+5+Н)∙1,5=(7,333+Н)∙1,5.
При q′=5,625т/пог.м и b=8м условие (а) примет вид:
Попытка №1: Н=2м. 5,5175<16,8.
Попытка №2: Н=1м. 7,76<14,9994.
Попытка №3: Н=0,7м. 10,48<14,45.
Попытка №4: Н=0,5м. 14,43≈14,18.
Итак, толщина обжимаего слоя грунта при решении задачи 1 Н=0,5м.