Архив рубрики: Основные понятия и определения статики

Теорема о равновесии трех непараллельных сил

Теорема о равновесии трех непараллельных сил часто упрощает решение задач на равновесие. Эта теорема формулируется следующим образом.

Если три непараллельные силы, лежащие в одной плос­кости, уравновешиваются, то линии их действия пересека­ются в одной точке.

Докажем эту теорему.

2016-06-15 20-28-09 Скриншот экрана

В точках А1, А2 и А3 (см. рис.) приложены взаимно уравновешивающиеся непараллельные силы P1, P2 и P3, находящиеся в одной плоско­сти. Силы P1 и P2, как непараллельные, пересекутся в некоторой точке А.

Пере­неся силы P1 и P2 вдоль линий их действия в точку А, найдем их равнодействующую R; она приложена в той же точке А и определяется как диагональ параллелограмма, построенного на этих силах.

Силы P1, P2 и P3 по условию взаимно уравновеши­ваются. Очевидно, силы R (равнодействующая сил P1 и P2) и P3 также должны уравновешиваться, а это означает, что они равны по величине и направлены по одной прямой в противоположные стороны, т. е. линии дей­ствия сил R и P3 проходят через точку А. Это и требо­валось доказать.

Сложение сил, направленных по одной прямой

Простейшая система сил, изучаемая в статике, — это система сил, линии действия которых направлены по одной прямой.

Пусть к телу приложены в точках А, В, С и D силы P1, P2, P3  и P4, направленные по одной прямой (рис.а).

2016-06-02 23-01-15 Скриншот экрана

На основании следствия из второй аксиомы силы можно переносить по линии их действия. Перенесем силу P2 в точку А, а силу P4 в точку С (рис.б). Две силы, приложенные в одной точке, можно сложить. Величина равнодействующей двух сил, направленных по одной прямой в одну сторону, равна сумме величин (модулей) этих сил:

R1 = PP2.

Величина равнодействующей двух сил, направленных по одной прямой в противоположные стороны, равна раз­ности величин (модулей) этих сил:

R2 = P— P3.

Теперь можно сложить две силы R1 и R2, т. е. опре­делить их равнодействующую R.

2016-06-02 23-17-19 Скриншот экрана

Так как силы R1  и R направлены в противоположные стороны (рис. в), то

R = R1 — R2

или, подставляя значения R1 и R, окончательно полу­чаем

R = PP+ P3 — P4

Эго решение можно рас­пространить на любое число сил, направленных по одной прямой:

R = PP+ ...+ Pn

или

R = Σ Pi

от i =1 до n, где n — число слагаемых сил.

Итак, равнодействующая сил, направленных по одной прямой, равна  по величине их алгебраической сумме.

При определении знака силы безразлично, какое на­правление принять за положительное. Необходимо лишь помнить, что силы, направленные в противоположные стороны, должны иметь разные знаки. Если равнодей­ствующая сил, направленных по одной прямой, равна нулю R = 0, то система сил уравновешена.

Следовательно, условием равновесия системы сил, на­правленных по одной прямой, является равенство нулю алгебраической суммы всех сил:

R = Σ Pi = 0

Связи и их реакции

Тела, рассматриваемые в механике, могут быть сво­бодными и несвободными.

Свободным называют тело, которое не испытывает никаких препятствий для перемещения в пространстве в любом направлении. Если же тело связано с другими телами, которые ограничивают его движение в одном или нескольких направлениях, то оно является несвободным.

Тела, которые ограничивают движение рассматриваемого тела называют связями.

В результате взаимодействия между телом и его свя­зями возникают силы, противодействующие возможным движениям тела. Эти силы действуют на тело со стороны связей и называются реакциями связей.

Реакция связи всегда противоположна тому направле­нию, по которому связь препятствует движению тела.

Определение реакций связей является одной из наи­более важных задач статики. Ниже приведены наиболее распространенные виды связей, встречающиеся в меха­нике.

2016-06-01 23-47-09 Скриншот экрана

Связь в виде гладкой (т. е. без учета сил трения) плоскости или поверхности (рис.а, б). В этом случае реакция связи всегда направлена по нормали к опорной поверхности.

Связь в виде шероховатой плоскости (рис. в). Здесь возникают две составляющие реакции: нормальная N, перпендикулярная плоскости, и касательная Т, лежащая в плоскости. Касательная реакция Т называется силой трения и всегда направлена в сторону, противоположную действительному или возможному движению тела.

Полная реакция R, равная геометрической сумме нормальной и касательной составляющих

R =N + Т, отклоняется от нормали к опорной поверхности на некоторый угол ρ.

При взаимодействии тела с реальными связями возни­кают силы трения. Однако во многих случаях силы тре­ния незначительны и вследствие этого ими часто пренебре­гают, т. е. считают связи абсолютно гладкими.

Связи, в которых отсутствуют силы трения, называют идеальными. Приведенная выше связь в виде гладкой плоскости или поверхности относится к категории иде­альных.

Гибкая связь, осуществляемая веревкой, тросом, цепью и т. п. (рис. г). Реакция гибкой связи направ­лена вдоль связи, причем гибкая связь может работать только на растяжение.

Связь в виде жесткого стержня с шарнирным закреп­лением концов (рис.д). Здесь реакции, так же как и в гибкой связи, всегда направлены вдоль осей стерж­ней, но стержни могут быть как растянутыми, так и сжа­тыми.

Связь, осуществляемая ребром двугранного угла или точечной опорой (рис.е). Реакция такой связи направлена перпендикулярно поверхности опирающегося тела, если эту поверхность можно считать гладкой.

Существование реакций связей обосновывается аксио­мой о действии и противодействии. Для определения реакций связей используют прием освобождения от связей.

Вот этот прием. Не изменяя равновесия тела или системы тел, каждую связь, наложенную на систему, можно отбросить, заменив ее действием реакции отброшенной связи.

Закон равенства действия и противодействия (пятая аксиома)

При взаимодействии тел всякому действию соответ­ствует равное и противоположно направленное противо­действие.

2016-05-30 17-46-08 Скриншот экрана

Так, если на тело В (см.рис) действует сила Р1  со стороны материального тела А, то на тело А дей­ствует со стороны тела В та­кая же по величине сила Р2.

Обе силы действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны.

Действие и противодействие всегда приложены к различным телам и именно поэтому они не могут уравновешиваться.

Пятая аксиома устанавливает, что в природе не может быть одностороннего действия силы.

Приведем пример, подтверждающий это положение.

Рассмотрим всемирное тяготение, которое представ­ляет собой силу притяжения между двумя материаль­ными телами. Солнце и Земля взаимно притягиваются равными силами, причем эти силы направлены по прямой, соединяющей центры Солнца и Земли, в противоположные стороны. Отмеченные силы приложены к разным телам и, следовательно, они не могут уравновеситься, если мы рассматриваем каждое тело порознь. Если же мы будем исследовать всю солнечную систему в целом, то сил притяжения между планетами мы не обнаружим. Для солнечной системы силы притяжения входящих в нее планет являются внутренними. Внутренние силы в любой системе, в том числе и в твердом теле, подчинены пятой аксиоме. Поэтому в любой системе внутренние силы урав­новешиваются.

Правило параллелограмма (четвертая аксиома)

Четвертая аксиома служит основой для сложения сил.

Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, приложена в этой точке и изображается по вели­чине и направлению диагональю параллелограмма, построенного на данных силах.

Так, равнодействующей двух сил Р и Q, приложенных в точке А (рис. а), будет сила R, представляющая диагональ параллелограмма ACDB, построенного на векторах заданных сил.

2016-05-30 16-43-27 Скриншот экрана

Определение рав­нодействующей двух сил по правилу параллелограмма называется векторным, или геометрическим, сложением и выражается векторным равенством

R = P + Q.

При графическом определении равнодействующей двух сил вместо правила параллелограмма можно пользоваться правилом треугольника. Из произвольной точки А (рис. б) проводим, сохраняя масштаб и заданное на­правление, вектор первой составляющей силы Р, из его конца проводим вектор, параллельный и равный второй составляющей силе Q. Замыкающая сторона AD тре­угольника и будет искомой равнодействующей R. Ее можно также представить как диагональ параллелограмма ABDC, построенного на заданных силах.

Модуль равнодействующей двух сил можно определить из Δ ACD:

2016-05-30 17-19-36 Скриншот экрана

Поэтому

2016-05-30 17-20-40 Скриншот экрана

или

2016-05-30 17-21-18 Скриншот экрана

На основании четвертой аксиомы одну силу R можно заменять двумя составляющими силами Р и Q. Такую замену часто производят при решении задач статики.

Условие равновесия двух сил (вторая аксиома). Принцип присоединения и исключения уравновешенных сил (третья аксиома)

Вторая аксиома устанавливает условие равновесия двух сил.

Две равные между собой силы (Р1 = Р2), приложенные к абсолютно твердому телу и направленные по одной прямой в противоположные стороны, взаимно уравновешиваются (рис. а).

2016-05-26 20-54-20 Скриншот экрана

Третья аксиома служит основой для преобразования систем сил.

Не нарушая равновесия абсолютно твердого тела, к нему можно приложить или отбросить от него уравно­вешенную систему сил.

Пусть тело (рис. б) находится в состоянии равно­весия. Если к нему приложить несколько взаимно урав­новешенных сил Р1 = Р2, Q1 = Q2N1 = N2, то равно­весие тела не нарушится. Аналогичный эффект получится при отбрасывании этих уравновешенных сил.

Системы сил, показанные на рис.  а, б,  эквивалентны, так как они дают одинаковый эффект: под действием каждой из них тело находится в равновесии.

Из второй аксиомы вытекает следствие, согласно которому всякую силу, действующую на абсолютно твердое тело, можно перенести вдоль линии ее действия в любую точку тела, не нарушив при этом его равновесие.

Действительно, пусть на тело в точке А действует сила Р1 (рис. в). В произвольной точке В на линии действия силы Р1 приложим две силы Р2 и Р3, равные по величине Р1 и направленные в противоположные стороны. Равновесие тела в этом случае не нарушится; отбрасыва­ние сил Р1 и Р3, как равных и противоположно направ­ленных, также не нарушит равновесия. Таким образом, силу Р1 мы заменили равной силой Р2, перенесенной по линии действия Риз точки А в точку В.

Векторы, которые можно переносить по линии их действия, называют скользящими.

Как показано выше, сила является скользящим вектором. Необходимо под­черкнуть, что перенос силы по линии ее действия возмо­жен только в том случае, когда тела рассматриваются как абсолютно твердые.

При других предпосылках это невозможно.

Аксиомы статики. Закон инерции (первая аксиома)

Статика основана на некоторых положениях (аксио­мах), вытекающих из опыта и принимаемых без доказа­тельств. Общие положения механики были систематизированы Ньютоном в классическом труде «Математические начала натуральной философии» (1687 г.). Эти общие положения механики служат основой статики и приво­дятся ниже как аксиомы.

Аксиомы статики устанавливают основные свойства сил, приложенных к абсолютно твердому телу.

Выводы и уравнения статики, исходящие из этих аксиом, полностью справедливы только для абсолютно твердых тел. Однако таких абсо­лютно твердых тел в природе не существует. При дальней­шем изучении механики положения статики будут при­меняться (с некоторыми ограничениями) к упругим телам, деформирую­щимся под действием приложенных сил.

Остановимся на первой аксиоме, которая под назва­нием закона инерции была впервые сформулирована Галилеем.

Система сил, приложенная к материальной точке, является уравновешенной, если под ее воздействием точка находится в состоянии относительного покоя или движется равномерно и прямолинейно.

Прямолинейным движением называется движение по прямой линии; оно является равномерным, если точка в равные промежутки времени проходит равные пути.

Рассматривая первую аксиому, нетрудно установить, что уравновешенная система сил эквивалентна нулю. Очевидно также, что любая сила уравновешенной системы является уравновешивающей по отношению ко всем остальным силам системы.

Следует отметить, что тело, в отличие от точки, под действием уравновешенной системы не обязательно будет находиться в покое или двигаться равномерно и прямо­линейно. Возможен случай, когда уравновешенная си­стема сил вызовет равномерное вращение тела вокруг некоторой закрепленной оси.

Итак, если на тело действует уравновешенная система сил, то тело либо находится в состоянии относительного покоя, либо движется равномерно и прямолинейно, либо, наконец, вращается вокруг неподвижной оси.

Можно также утверждать, что одно из трех указанных механических состоянии тела является необходимым и достаточным признаком того, что система сил, действую­щих на это тело, находится в равновесии.

Система сил, эквивалентность сил, равнодействующая и уравновешивающая силы

Совокупность нескольких сил, приложенных к телу, точке или системе точек и тел, называется системой сил.

Системы сил классифицируют в зависимости от взаим­ного расположения в пространстве линий действия сил, составляющих данную систему.

Так, система сил, линии действия которых лежат в разных плоскостях, называется пространственной.

Если же линии действия рассматриваемых сил лежат в одной плоскости, система называется плоской.

Система сил с пересекающимися в одной точке линиями действия называется сходящейся. Сходящаяся система сил может быть как пространственной, так и плоской. Наконец, различают еще систему параллельных сил, которая, ана­логично сходящейся, может быть пространственной или плоской.

Две системы сил называют эквивалентными, если взятые порознь они оказывают одинаковое действие на тело. Из этого определения следует, что две системы сил, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой.

Лю­бую сложную систему сил всегда можно заменить более простой эквивалентной ей системой сил.

Одну силу, эквивалентную данной системе сил, назы­вают равнодействующей этой системы.

Силу, равную по величине равнодействующей и направ­ленную по той же линии действия, но в противоположную сторону, называют уравновешивающей силой.

Если к си­стеме сил добавлена уравновешивающая сила, то полу­ченная новая система находится в равновесии и, как говорят, эквивалентна нулю.

Силы, действующие на систему материальных точек, подразделяются на две группы: силы внешние и силы внутренние.

Внешними называют силы, с которыми действуют на точки данной системы другие тела, не входящие в эту систему.

Внутренними силами системы называют силы взаимодействия  материальных точек, входящих в одну систему.

Так, для любого тела, расположенного на по­верхности Земли, внешней силой является сила тяжести. Под действием внешних сил в телах возникают внутрен­ние силы. Эти внутренние силы, возникающие между точками твердых тел, исследуют в сопротивлении ма­териалов и в теории упругости. При этом широко при­меняют законы статики твердого тела.

Сила. Единицы измерения

В механике вводится понятие силы, которое чрезвы­чайно широко используется и в других науках. Физиче­ская сущность этого понятия ясна каждому человеку непосредственно из опыта.

Остановимся на определении силы для абсолютно твердых тел. Эти тела могут вступать во взаимодействие, в результате которого изменяется характер их движения.

Сила является мерой этого взаимодействия. Например, взаимодействие планет и Солнца определяется силами тяготения, взаимодействие Земли и различных тел на ее поверхности — силами тяжести и т. д.

Следует подчеркнуть, что при взаимодействии реаль­ных, а не абсолютно твердых тел возникающие силы могут не приводить к изменению характера движения, а вызы­вать изменение формы или размеров. Иными словами, в реальных физических телах силы служат причиной возникновения деформаций.

Механика рассматривает и изучает не природу дей­ствующих сил, а производимый ими эффект.

Эффект действия силы определяется тремя факторами:

1. Направлением и линией действия силы.

2. Численным значением силы (модулем силы).

3. Точкой приложения силы.

Иными словами, сила является векторной величиной.

Кроме сил, в механике часто встречаются другие векторные величины — в частности, скорость, ускорение.

Величина, не имеющая направления, называется ска­ляром, или скалярной величиной. К скалярным величинам относятся, например, время, температура, объем и др.

Вектор изображается отрезком, на конце которого ставится стрелка.

2016-05-20 23-07-13 Скриншот экрана

Направление стрелки указывает направ­ление вектора, длина отрезка — величину вектора, из­меренную в выбранном масштабе. Вектор, имеющий начало в точке В и конец в точке С (рис. а), можно обозначить теми же буквами —  ВС, причем на первом месте ставят букву, стоящую в начале вектора, а затем букву, стоящую в конце век­тора. Иногда вектор обозначают буквой: Р, Q, а и т. д. (рис.б).

Линией действия силы называют прямую, проведенную по направлению силы неограниченно в обе стороны (рис. в).

Если необходимо показать на чертеже величину век­тора, его изображают стрелкой, рядом с которой записы­вают величину, или модуль. Величина вектора обозна­чается той же буквой, что и сам вектор, но без черточки наверху (рис. г).

Модуль, или величина силы, является количественной характеристикой меры взаимодействия тел.

Величина силы в Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах (Н). Применяют также и более крупные еди­ницы измерения: 1 килоньютон (1 Кн = 103н), 1 меганьютон (1 Мн = 106 н).

До введения Международной системы единиц для измерения сил широко пользовались единицей технической системы —  килограмм-силой кгс или кГ. Соотношение между единицами силы в системах СИ и МКГСС основано на известном из фи­зики втором законе Ньютона.  Здесь приведем это соотношение без вывода: 1 кГ = 9,81 Н, 1 Н = 0,102 кГ. Приближенно можно полагать 1 кГ ≈ 10 Н, 1 Н ≈ 0,1 кГ.

Наиболее простым и хорошо знакомым примером силы может служить сила тяжести. Силой тяжести, или весом тела, находящегося вблизи земной поверхности, назы­вается сила, с которой это тело притягивается Землей. Сила тяжести всегда направлена к центру Земли.

Материальная точка. Абсолютно твердые и деформируемые тела

Основные понятия статики вошли в науку как результат многовековой практической деятельности человека. Они подтверждены многочислен­ными опытами и наблюдениями над природой.

Одно из таких основных понятий — понятие мате­риальной точки.

Тело можно рассматривать как мате­риальную точку, т. е. его можно представить геометрической точкой, в которой сосредоточена вся масса тела, в том случае, когда размеры тела не имеют значения в рассматриваемой задаче.

Например, при изучении дви­жения планет и спутников их считают материальными точками, так как размеры планет и спутников пренебре­жимо малы по сравнению с размерами орбит. С другой стороны, изучая движение планеты (например, Земли) вокруг оси, ее уже нельзя считать материальной точкой.

Тело можно считать материальной точкой во всех слу­чаях, когда все его точки совершают одинаковое движение. Например, поршень в двигателе внутреннего сгорания можно рассматривать как материальную точку, в которой сосредоточена вся масса этого поршня.

Системой называется совокупность материальных то­чек, движения и положения которых взаимозависимы. Из приведенного определения следует, что любое физическое тело можно рассматривать как систему материальных точек.

При изучении равновесия тел считают их абсолютно твердыми (или абсолютно жесткими), т. е. предполагают, что никакие внешние воздействия не вызывают изменения их размеров и формы и что расстояние между любыми двумя точками тела всегда остается неизменным.

В дей­ствительности все тела под влиянием силовых воздей­ствий со стороны других тел меняют свои размеры и форму. Так, если стержень, например, из стали или дерева, сжать, его длина уменьшится, а при растяжении она соответственно увеличится (рис.а).

2016-05-20 22-36-37 Скриншот экрана

Изменяется также форма стержня, лежащего на двух опорах, при действии нагрузки, перпендикулярной его оси (рис. б). Стержень при этом изгибается.

В подавляющем большинстве случаев деформации тел (деталей), из которых состоят машины, аппараты и соору­жения, очень малы, и при изучении движения и равновесия этих объектов деформациями можно пренебречь.

Таким образом, понятие абсолютно твердого тела является условным (абстракцией). Это понятие вводят с целью упрощения исследования законов равновесия и движения тел.

Лишь изучив механику абсолютно твер­дого тела, можно приступить к изучению равновесия и движения деформируемых тел, жидкостей и др. При рас­четах на прочность необходимо учитывать деформации тел. В этих расчетах деформации играют существенную роль и пренебрегать ими нельзя.