Архив рубрики: Пара сил и моменты сил

Понятие о вращающих и крутящих моментах

Часто в прикладных задачах механики прихо­дится определять моменты сил, приложенных к телу, относительно его оси. Покажем, что в сечениях тела под действием внешних сил всегда возникают внутренние силы.

Рассмотрим устройство для подъема грузов, состоящее из вала ABC, на который насажены барабан АВ с радиусом r и зубчатое колесо С с радиусом R.

2016-09-21-21-54-23-skrinshot-ekrana

Вал при­водится во вращение от электродвигателя D через зубчатую передачу. Вес поднимаемого груза Q передается через трос на обод барабана, а от шестерни K, насаженной на вал электродвигателя, передается движущая сила Р.

При равномерном подъеме груза моменты внешних сил, прило­женных к валу, должны уравновешиваться, т. е.

2016-09-21-21-42-32-skrinshot-ekrana

Реакции опор А и В не войдут в уравнение моментов, так как они пересекают ось z и, следовательно, не создают относительно этой оси моментов.

Из составленного уравнения равновесия следует, что PR = Qr или М(Р) = М(Q), т. е. на концы участка вала, расположенного между сечением приложения груза Q и зубчатым колесом С, действуют равные и проти­воположно направленные моменты внешних сил. Эти мо­менты называют вращающими моментами.

Участок вала между сечениями приложения вращаю­щих моментов, как уже отмечалось, находится в равно­весии. Естественно, что любая часть, мысленно отсеченная от этого вала, также должна быть в равновесии. На рисунке внизу проведено сечение Е.

2016-09-21-21-52-17-skrinshot-ekrana

Чтобы отсеченная часть ЕС находилась в равновесии, в сечении Е должен действовать какой-то момент, равный и противоположный по направле­нию вращающему моменту, приложенному к колесу С. Этот момент называется крутящим (его обозначают Мк ) и является моментом внутренних сил, возникающих в се­чении тела.

Использованный здесь метод установления внутрен­них сил в сечении вала называется методом сечений (более подробно о методе сечений — см. здесь).

Момент внутренних сил в сечении —крутящий мо­мент— равен алгебраической сумме моментов внешних сил, т. е. вращающих моментов, приложенных к отсечен­ной части вала:

2016-09-21-22-27-59-skrinshot-ekrana,

где n — число вращающих моментов, приложенных к от­сеченной части рассматриваемого вала.

Знак крутящего момента в поперечном сечении вала можно установить, исходя из направления внешних вра­щающих моментов. Условимся считать крутящий момент положительным, когда внешние моменты, приложенные к валу, вращают отсеченную часть по часовой стрелке (если смотреть со стороны внешней нормали к проведенному се­чению). На рассматриваемом рисунке сила Р вызывает вращение отброшенной части вала против часовой стрелки, если смотреть со стороны внешней нормали на проведенное сечение Е. Таким образом, в рассмотренном сечении Е возникает отрицательный крутящий момент.

При возрастании веса поднимаемого груза соответственно увеличиваются вращающие моменты. Будут возрастать также крутящие мо­менты в сечениях вала. Очевидно, что при данных размерах вала нельзя допускать безграничного возрастания вращаю­щего, а следовательно, и крутящего моментов, так как вал может разрушиться или сильно деформироваться. По­этому определение крутящих моментов имеет очень боль­шое практическое значение для расчетов на прочность.

Равновесие рычага

Во многих задачах механики приходится рассматри­вать равновесие тела, шарнирно закрепленного на неко­торой неподвижной оси. Такое тело называют рычагом.

Рычаг обладает способностью вращаться вокруг оси закрепления (рис. а).

2016-09-17-18-38-58-skrinshot-ekrana

Равновесие рычага будет обеспе­чено только в   том случае, когда алгебраическая сумма моментов          всех      действующих на рычаг сил      относительно его неподвижной точки равна нулю.

Неподвижной точкой рычага, относительно которой мы будем составлять урав­нение моментов, является точка пересечения оси враще­ния рычага с плоскостью чертежа (рис.а)

2016-09-17-18-44-54-skrinshot-ekrana

или

2016-09-17-18-47-55-skrinshot-ekrana

Рычаг можно использовать для подъема грузов, для создания больших давлений с помощью небольшого уси­лия и т. п. Рычаги двух видов показаны на рис.б и в.

2016-09-17-18-49-48-skrinshot-ekrana

2016-09-17-18-51-03-skrinshot-ekrana

Момент силы относительно оси

Рассмотрим, как определяется момент силы относи­тельно оси. Стремление силы вращать тело вокруг непо­движной оси зависит от величины силы, ее наклона и расстояния от оси.

Из опыта известно, что силы, про­ходящие через ось, и силы, параллель­ные оси, НЕ МОГУТ ВЫЗВАТЬ ВРАЩЕНИЯ ТЕЛА вокруг этой оси. Посмотрим на рисунок.

2016-09-16-11-33-45-skrinshot-ekrana

Ни сила Р1, линия действия которой пересекает ось Oz, ни сила Р2, параллельная оси, не смогут повернуть тело вокруг этой оси.

Для вращательного эффекта силы относительно закрепленной оси вводит­ся понятие момента силы относительно оси М(Р). Вращательный эффект силы относительно оси и выражается ее мо­ментом.

Пусть на тело в какой-то точке  действует произ­вольная сила Р, не параллельная оси вращения Oz и не пересекающая эту ось. Проведем плоскость H, перпендикулярную оси Oz и проходящую через начало вектора силы. Разложим заданную силу Р на две составляющие: Р1, расположенную в плоскости H, и Р2, параллель­ную оси Oz.

2016-09-16-11-41-45-skrinshot-ekrana

Составляющая Р2, параллельная оси Oz момента относительно этой оси не создает. Составляющая Р1, действующая в плоскости H, создает момент относительно оси Oz или, что то же самое, относительно точки О. Мо­мент силы Р1 измеряется произведением модуля самой силы на длину а перпендикуляра, опущенного из точки О на направление этой силы, т. е.

2016-09-16-11-50-43-skrinshot-ekrana

В выражение момента силы относительно оси входит не вся сила, а только ее составляющая, лежащая в пло­скости, перпендикулярной оси вращения.

Знак момента по общему правилу определяется на­правлением вращения тела: (+) при движении по часовой стрелке, (—) при движении против часовой стрелки (правило условно). При определении знака момента наблюдатель должен непре­менно находиться со стороны положительного направле­ния оси. На рисунке вверху момент силы Р относительно оси Oz положителен, так как для наблюдателя, смотрящего со стороны положительного направления оси (сверху), тело под действием заданной силы представляется вращаю­щимся вокруг оси по ходу часовой стрелки.

На рисунке внизу  момент силы Р относительно оси Oz — величина отрица­тельная.

2016-09-16-12-06-03-skrinshot-ekrana

Рассмотрим частный случай.

2016-09-16-12-09-13-skrinshot-ekrana

В частном случае мо­мент силы Р, расположенной в плоско­сти H, относительно оси Oz, перпендикулярной этой плоскости, определится произведением полной ве­личины силы Р на ее пле­чо l относительно точки пересечения оси Oz и плос­кости H

2016-09-16-12-11-25-skrinshot-ekrana

Итак, для определения момента силы относительно оси нужно спроектировать силу на плоскость, перпенди­кулярную оси, и найти момент проекции силы на плоскость относительно точки пересечения оси с этой плоскостью.

Момент силы относительно точки

Моментом силы относительно точки называется произведение величины силы на длину перпендикуляра, опу­щенного из точки на линию действия силы (рис. а).

2016-09-04 14-40-02 Скриншот экрана

Если бы тело было закреплено в точке О, то сила Р стремилась бы вращать тело вокруг этой точки. Точка О, относительно которой берется момент, называется центром

момента, а перпендикуляр а называется плечом силы относительно центра момента.

Таким образом,

М = сила×плечо.

Момент силы Р относительно О обозначается

М0(Р) = Ра.

Моменты сил измеряют в ньютонометрах (Нм) или килограммометрах (кГм) или в соответствующих крат­ных и дольных единицах, как и моменты пар.

Принято считать момент положительным, если сила стремится вращать тело по часовой стрелке (рис. а), и отрицательнымпротив часовой стрелки (рис. б).

Установленное правило знаков для моментов сил, как и для моментов пар, условно.

Когда линия действия силы проходит через данную точку, ее момент относи­тельно этой точки равен нулю, так как в рассматривае­мом случае плечо равно нулю а = 0 (рис. в).

Между моментом пары и моментом силы есть одно существенное различие.  У момента пары сил величина и направление не зависят от положения этой пары в пространстве. У момента силы величина и направление (знак) момента силы зависят от положения точки, относительно которой опре­деляется момент.

Сложение пар

Пары, подобно силам, можно складывать.

Пара, за­меняющая собой действие данных пар, называется результирующей. Результирующая нескольких пар экви­валентна заданным парам.

Определение по данным парам их результирующей пары называется сложе­нием пар.

Сложим две пары, рас­положенные в одной плос­кости.

2016-07-24 13-46-20 Скриншот экрана

Имеем пары PP‘ и Р2 Р’2  с плечами а и b (см. рис.), т. е.

М = — P1а,

М = P2b

Приведем данные пары к одному плечу, не изменяя величины моментов каждой пары. Некоторый отрезок АВ = с  (см.  рис.выше) примем за общее плечо преобразованных пар.

Обозначим силы эквивалентных пар как Q1 ,Q’ и Q2 ,Q’2 ; тогда

М = — P1а = Q1c;

М = P2b = Q2c

Складывая силы, приложенные в точках А и В, най­дем их равнодействующие

R' = Q’  — Q’2

R = Q  — Q2

Обозначим эти уравнения  буквой  (а)

Равнодействующие R и R', равные по величине и направленные в противоположные стороны, образуют пару сил  RR' ; момент которой

М = —Rc.            (б)

Пара RR'  представляет результирующую пару. Подставив в уравнение (б) значение R из уравнения (а), получим

М = —Rc = — ( Q  — Q2)с Q2c  —Q1c,

а так как

М = Q2c   и   М = Q1c,

то

М = М1   + М2

Таким образом, приходим к заключению, что момент результирующей пары равен алгебраической сумме момен­тов составляющих пар.

Аналогичное доказательство применимо к любому количеству пар, лежащих в одной плоскости. Поэтому при произвольном числе слагаемых пар, лежащих в одной плоскости или параллельных плоскостях, момент резуль­тирующей пары определится по формуле

2016-07-24 14-26-28 Скриншот экрана

На основании приведенного правила сложения пар устанавливается условие равновесия системы пар, лежа­щих в одной плоскости, а именно:

для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю или чтобы алгебраическая сумма моментов пар равнялась нулю:

2016-07-24 14-31-02 Скриншот экрана

Эквивалентность пар

В соответствии с определением эквивалентных систем сил (см. — здесь), две пары сил считают эквивалент­ными в том случае, если после замены одной пары другой парой механическое состояние тела не изменяется, т. е. не изменяется движение тела или не нарушается его равновесие.

Эффект действия пары сил на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости. Та­ким образом, пару сил можно переносить в плоскости ее дей­ствия в любое положение.

Рассмотрим еще одно свой­ство пары сил, которое является основой для сложения пар.

Не нарушая состояния тела, можно как угодно изме­нять величины сил и плечо пары, только бы момент пары оставался неизменным.

Рассмотрим пару сил РР' плечом а (рис. а).

2016-07-23 16-25-35 Скриншот экрана

Заменим эту пару новой парой QQ' с плечом b (рис. 6) так, чтобы момент пары остался тем же.

Момент заданной пары сил M1 = Ра. Момент новой пары сил М2 = Qb. По определению пары сил эквива­лентны, т. е. производят одинаковые действия, если их моменты равны.

Если, изменив величину сил и плечо новой пары, мы сохраним равенство их моментов M1  =  М2  или Ра = Qb, то состояние тела от такой замены не нарушится.

Итак, вместо заданной пары РР' с плечом а мы полу­чили эквивалентную пару QQ' с плечом b.

Пара сил и ее действие на тело

Система двух равных и параллельных сил, направлен­ных в противоположные стороны и не лежащих на одной прямой, называется парой сил. Примером такой системы сил могут служить усилия, передаваемые от рук шофера на рулевое колесо автомобиля.

Пара сил имеет очень большое значение в практике. Именно поэтому свойства пары как специфической меры механического взаимодействия тел изучается отдельно.

Сумма сил пары равна нулю

Р — Р' = 0 (рис. а),

2016-07-23 15-50-25 Скриншот экрана

т. е. пара сил не имеет равнодействующей. Несмотря на это тело под действием пары сил не находится в равновесии.

Действие пары сил на твердое тело, как показывает опыт, состоит в том, что она стремится вращать это тело.

Способность пары сил производить вращение количественно определяется моментом пары, равным произведе­нию силы на кратчайшее расстояние (взятое по перпен­дикуляру к силам) между линиями действия сил.

Обозначим момент пары М, а кратчайшее расстояние между силами а, тогда абсолютная величина момента (рис. а)

М = Ра = Р'а.

Кратчайшее расстояние между линиями действия сил называется плечом пары, поэтому можно сказать, что момент пары сил по абсолютной величине равен произве­дению одной из сил пары на ее плечо.

Эффект действия пары сил полностью определяется ее моментом. Поэтому пару сил можно изображать дугооб­разной стрелкой, указывающей направление вращения (см.рис.).

2016-07-23 16-03-22 Скриншот экрана

Так как пара сил не имеет равнодействующей, ее нельзя уравновесить одной силой.

В Международной системе единиц (СИ) силу измеряют в ньютонах, а плечо в метрах. Соответственно момент пары в системе СИ измеряется в ньютонометрах (н·м) или в единицах, кратных ньютонометру: кн·м, Мн·м и т. д.

Будем считать момент пары сил положительным, если пара стремится повернуть тело по направлению хода часовой стрелки (рис. а) и отрицательным, если пара стремится вращать тело против хода часовой стрелки (рис. б).

2016-07-23 16-06-36 Скриншот экрана

Принятое правило знаков для моментов пар условно; можно было бы принять противоположное пра­вило. При решении задач во избежание путаницы всегда нужно принимать одно определенное правило знаков.