Архив рубрики: Система произвольно расположенных сил

Определение опорных реакций в раме с шарниром

Для  рамы определить опорные реакции. F=30кН, q=40 кН/м, М=50кНм, а=3м, h=2м.

2016-11-22-21-14-46-skrinshot-ekrana

Нанесем опорные реакции (произвольно) — в каждой шарнирно-неподвижной опоре по две — вертикальная и горизонтальная.

2016-11-22-21-19-15-skrinshot-ekrana

В данной задаче следует использовать свойство шарнира С — момент в нем как от левых,так и от правых сил равен нулю. Рассмотрим левую часть.

Уравнения равновесия для рассматриваемой рамы можно записать в виде:

2016-11-22-21-30-06-skrinshot-ekrana

Из решения данных уравнений следует:

2014-10-16 23-30-06 Скриншот экрана

Таким образом, все реакции определены. На схеме рамы, так как реакция НВ  получилась с отрицательным знаком, направление действия силы НВ изменяется на противоположное (НB=15кН).

2016-11-22-21-27-23-skrinshot-ekrana

Определение опорных реакций в балке с шарниром

Определить опорные реакции в балке с шарниром

2016-11-20-12-49-36-skrinshot-ekrana

Обозначим буквами опоры — жесткую заделку А, шарнирно-подвижную опору В — и  шарнир С.

2016-11-20-12-53-03-skrinshot-ekrana

Нанесем опорные реакции — в заделке вертикальная реакция RА и опорный момент МА ,(горизонтальная реакция равна 0, ее не показываем), в шарнирно-подвижной опоре реакция RВ.

2016-11-20-12-57-22-skrinshot-ekrana

Для определения опорных реакций используем свойство шарнира – момент в нем как от левых, так и от правых сил равен 0.

Если рассмотреть левую часть, то в уравнении   2014-11-01 11-15-56 Скриншот экрана    будут присутствовать две неизвестные RА и МА. Значит, следует рассмотреть правую часть (из него найдем RВ).

2014-11-01 11-18-15 Скриншот экрана

Теперь 2014-11-01 11-19-12 Скриншот экрана  из него найдем МА

2014-11-01 11-20-12 Скриншот экрана

Следующее уравнение 2014-11-01 11-21-12 Скриншот экрана из него найдем RА

2014-11-01 11-22-14 Скриншот экрана

Выполним проверку. Спроецируем все силы на ось y.

Σy=0        RА+RB — q·4 = 0    2,5 +5,5 — 8 = 0

Проверка верна. Опорные реакции определены верно.

 

Определение опорных реакций в балке с жесткой заделкой

Определить опорные реакции в балке с жесткой заделкой.2016-11-20-12-04-33-skrinshot-ekrana

В жесткой заделке три опорные реакции — вертикальная, горизонтальная и опорный момент. Так как  горизонтальные нагрузки отсутствуют, горизонтальная реакция равна 0. Обозначим опору (жесткую заделку) буквой В. Задаемся (произвольно) направлениями вертикальной реакции В и реактивного момента МВ в заделке.

2016-11-20-12-20-14-skrinshot-ekrana

Составляем два уравнения статики:

2016-11-20-12-28-18-skrinshot-ekrana (1),

откуда

2016-11-20-12-23-30-skrinshot-ekrana

Далее определяем опорный момент в заделке

2016-11-20-12-29-47-skrinshot-ekrana(2),

откуда

2016-11-20-12-30-43-skrinshot-ekrana

Чтобы проверить правильность определения реакций, следует выбрать любую точку на балке и составить уравнение равновесия моментов относительно этой точки (сумма моментов относительно любой точки должна равняться 0).

Если реакции определены верно, записываем их значения на расчетную схему.

2016-11-20-12-34-29-skrinshot-ekrana

Опорные устройства балочных систем

В машинах и сооружениях очень часто встречаются тела удлиненной формы, называемые балками (или ба­лочными системами). Балки в основном предназначены для восприятия поперечных нагрузок. Балочные системы имеют специальные опорные устройства для сопряжения их с другими элементами и передачи на них усилий.

Различают следующие типы опор.

Шарнирно-подвижная опора (рис.а).

Шарнирно- подвижная опора

Шарнирно- подвижная опора

Такая опора допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное пере­мещение параллельно опорной плоскости. В этой опоре известны точка приложения опорной реакции — центр шарнира и ее направлениенормаль к опорной поверх­ности (трением катков пренебрегают).

Таким образом, здесь остается одна неизвестная — опорная реакция RА.

Схематические изображения шар­нирно подвижных опор приведены на рис.  б—г. Сле­дует отметить, что опорная поверхность шарнирно подвиж­ной опоры может быть непараллельна оси балки (рис. г). Реакция RА в этом случае не будет перпендикулярна оси балки, так как она перпендикулярна опорной поверхности.

Шарнирно-неподвижная опора (рис. а).

Шарнирно-неподвижная опора

Шарнирно-неподвижная опора

Эта опора допускает поворот вокруг оси шарнира, но не допускает никаких линейных перемещений. В данном случае известна только точка приложения опорной реакции — центр шарнира; направление и величина опорной реакции неизвестны. Обычно вместо определения величины и на­правления реакции (полной) находят ее горизонтальную и вертикальную составляющие VА и HА.

Схематические изображения шарнирно-неподвижных опор приведены на рис.  б-г.

Жесткая заделка (защемление)

Жесткая заделка (защемление)

Жесткая заделка (защемление)

Такая опора не допускает ни линейных перемещений, ни пово­рота.

Неизвестными в данном случае являются не только величина и на­правление реакции, но и точка ее приложения. Таким образом,   для    определения опорной реакции сле­дует найти три неизвестных:          составляющие VА и HА      опорной реакции по осям координат и реактивный мо­мент mА относительно центра тяжести опорного сечения.

Опорные реакции можно также обозначать буквами, соответствующими координатным осям, вдоль которых онн направлены, с индексом, отвечающим опоре. На­пример,  YА и XА или просто буквами А и В и т. п.

Уравнения равновесия плоской системы сил

Всякая система произвольно расположенных в плоско­сти сил может быть приведена к главному вектору и глав­ному моменту (см. — здесь).

Для равновесия системы сил, произвольно рас­положенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нулю.

Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил, составляющих систему и перенесенных в центр приведения. Величину главного вектора можно определить через проекции на координатные оси всех сил системы.

Для равновесия необходимо, чтобы главный вектор был равен нулю.

Кроме того, для равновесия необходимо, чтобы глав­ный момент также был равен нулю.

Таким образом, имеем уравнения:

ΣPx  = 0 (сумма проекций всех сил на ось равна 0);

ΣPy  = 0 (сумма проекций всех сил на ось равна 0);

ΣM=0 (сумма моментов относительно любой точки равна 0)

Данные уравнения являются уравнениями равно­весия тела, находящегося под воздействием системы сил, произвольно расположенных в плоскости.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей

Известно (см. — здесь), что произвольная плоская система сил приводится к главному вектору R' и главному моменту М0 относительно выбранного центра приведения, причем главный момент равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О.

2016-10-31-21-20-54-skrinshot-ekrana

Однако можно выбрать такой центр приве­дения, относительно которого глав­ный момент системы будет равен нулю, и система сил приведется к одной равнодействующей,  равной по модулю главному вектору (см. — здесь).

Момент данной равнодействующей будет равен сумме моментов составляющих сил относительно центра приведения.

2016-10-31-21-24-33-skrinshot-ekrana

Полученное уравнение выражает теорему Вариньона:

момент равнодействующей системы сил относительно произвольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов составляющих сил относительно той же точки.

Из теоремы Вариньона следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии действия ее равнодействующей, равен нулю.

Приведение плоской системы сил к данному центру

Метод приведения одной силы к дан­ной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, что в точках тела А, В, С и D  прило­жены силы P, P2, P3 и P4.

2016-10-07-18-36-40-skrinshot-ekrana

Требуется привести эти силы к точке О плоскости. Приведем сначала силу P1, прило­женную в точке А. Приложим в точке О две силы P’ и P“1, каждая из которых равна по модулю заданной силе P1, параллель­ные ей и направленные в противоположные стороны.

В результате приведения силы P1 получим силу P’1, приложенную в точке О, и пару сил (PP“1) - силы, образующие пару, отмечены в скобках —  с плечом а1.

Поступим таким же образом с силой P2, приложенной в точке В, получим силу P’2, приложенную в точке О, и пару сил (PP“2) с пле­чом а2, и т. д.

Систему сил, приложенных в точках А, В, С и D, мы заменили сходящимися силами P, P2, P3 и P4, при­ложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам заданных сил относительно точки О:

2016-10-07-18-58-41-skrinshot-ekrana

Сходящиеся в точке силы можно заменить одной си­лой R’, равной геометрической сумме составляющих

2016-10-07-19-10-01-skrinshot-ekrana

Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют главным вектором системы сил.

На основании правила сложения пар сил их можно за­менить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относи­тельно точки О:

2016-10-07-19-15-55-skrinshot-ekrana

По аналогии с главным вектором, момент пары, представляющий алгебраическую сумму моментов всех сил относительно центра приведения О, называют главным моментом системы относительно данного центра приведе­ния О.

Следовательно, в общем случае плоская система сил в результате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы — главного вектора и одной пары, момент которой называют главным моментом заданной системы сил относительно центра приведения.

Следует отметить, что главный вектор 2016-10-07-19-19-17-skrinshot-ekrana не является равнодействующей данной системы сил, так как эта си­стема  не эквивалентна одной силе 2016-10-07-19-19-17-skrinshot-ekrana. Только в частном случае, когда главный момент обращается в нуль, глав­ный вектор будет равнодействующей данной системы сил.

Так как главный вектор равен геометрической сумме сил данной системы, то ни величина, ни направление его не зависят от выбора центра приведения.

Величина и знак главного момента  зависят от положения центра при­ведения, так как плечи составляющих пар зависят от вза­имного положения сил и точки (центра), относительно которой берутся моменты.

Случаи приведения  системы сил к точке

1. 2016-10-07-20-01-36-skrinshot-ekrana  — общий случай, система приводится  к главному вектору и к глав­ному моменту.

 2. 2016-10-07-20-03-23-skrinshot-ekrana система приводится к одной равнодействующей, равной главному вектору системы.

3. 2016-10-07-20-04-33-skrinshot-ekrana система приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту.

 4. 2016-10-07-20-05-22-skrinshot-ekrana система находится в равновесии.

Приведение силы к точке

Силу, как известно, можно переносить в любую точку, находящуюся на линии ее действия, не изменяя при этом механического состояния тела. Рассмотрим случай переноса силы в произвольную точку, не лежащую на линии действия силы.

2016-10-06-19-28-13-skrinshot-ekrana

Пусть имеется сила Р, приложенная в точке С. Тре­буется перенести эту силу параллельно самой себе в некоторую точку О. Приложим в точке О две силы Р‘ и Р“ противоположно направленные, равные по модулю и параллельные заданной силе Р, т. е. Р = Р’ = Р“. От приложения в точке О двух этих сил состояние тела не изменяется, так как они взаимно уравновешиваются (вторая аксиома — см. здесь).

Опустим из точки О на линию действия силы Р перпендикуляр а, тогда полученную систему трех сил можно рас­сматривать как состоящую из силы Р', приложенной в точке О и пары сил РР" с моментом М = Ра. Эту пару сил называют присоединенной.

Таким образом, при приведении силы Р к точке, не ле­жащей на линии действия силы, получается эквивалент­ная система, состоящая из силы, такой же по модулю и направлению, как и сила Р, и присоединенной пары сил, момент которой равен моменту данной силы относительно точки приведения.

Мо(Р) = Ра

Приведение силы к данной точке иногда удобно ис­пользовать для выявле­ния характера действия силы на тело. Пусть, например, к телу прило­жена сила Р, параллель­ная оси z на расстоя­нии е от нее.

2016-10-06-19-40-16-skrinshot-ekrana

Приведя эту силу Р к точке О, лежащей на оси z, можно определить, что приведенная сила Р’ растягивает тело, а при­соединенная пара РР“ с моментом М = Ре =  МО (Р), изгибает его.