Архив рубрики: Система сходящихся сил

Решение задач на равновесие сходящихся сил

Задачи на равновесие встречаются не только в  механике, но и в других дисциплинах. Для их решения используют различные методы: аналитический, основанный на уравнениях равновесия, графический и гра­фоаналитический, основанные на применении геометрического условия равновесия.

Использование геометрического условия равновесия дает наиболее простое решение для системы трех сходя­щихся сил. При наличии в системе четырех и более сил рациональнее применять аналитический метод, который является самым универсальным и применяется чаще всего.

При аналитическом методе решение всех задач ведется по следующему плану:

первый этап — выделяют объект равновесия, т. е. тело или точку, равновесие которых в данной задаче следует рассмотреть;

второй этап — к выделенному объекту равновесия прикладывают заданные силы;

третий этап — выделенную точку или тело освобож­дают от связей и вместо них прикладывают реакции этих связей;

четвертый этап — выбирают координатные оси и составляют уравнения равновесия;

пятый этап — решают уравнения равновесия;

шестой этап — проверяют правильность решения.

Надежный способ проверки — повторное решение задачи при другом выборе системы координат.

Когда для решения задач используют геометрические условия равновесия, например замкнутость силового многоугольника для сходящейся системы сил, первые три этапа сохраняются. 

Когда в задачах статики встречается не отдельное тело, а система или группа тел, приведенная методика решения в целом сохраняется. Равновесие каждого тела рассматривают отдельно и затем решают составленные для всех тел уравнения равновесия.

Остановимся еще на одном важном вопросе. В зада­чах статики часто приходится определять усилия в стерж­нях. Необходимо установить, как действуют растягива­ющие и сжимающие силы в стержнях на точки крепления стержней или узлы.

Рассмотрим некоторые случаи.

2016-07-11 15-52-25 Скриншот экрана

Когда стержень MN растянут (рис. а), его реакции на точки крепления направлены от этих точек М и N внутрь стержня. Когда стержень сжат, его реакции направлены к точкам закрепления, т. о. наружу (рис. б).

Следовательно, можно сказать, что в растянутом стержне реакции направлены от узлов, а в сжатомк узлам.

Здесь можно отметить аналогию с деформированной пружиной (рис. в, г, д).

2016-07-11 15-54-55 Скриншот экрана Здесь на схемах приведен случай недеформированной  пружины и растянутой пружины. Теперь рассмотрим случай, когда пружина сжата:

2016-07-11 15-56-59 Скриншот экрана

Иногда при аналитическом решении задач бывает трудно определить направления реакций стержней. В этих случаях стержни удобно считать растянутыми, и реакции стержней направлять от узлов (от прикрепляемого стерж­нем тела). Если решение задачи даст значение реакции со знаком минус, значит, в действительности имеет место не растяжение, а сжатие. Таким образом, реакции растя­нутых стержней будут положительными, а сжатых отри­цательными.

Уравнения равновесия системы сходящихся сил

Сходящаяся система сил находится в равновесии в случае замкнутости силового многоугольника. Величина равнодействующей при этом равна нулю (R = 0).

Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны суммам проекций составляю­щих сил на те же оси, т. е.

2016-07-11 14-30-38 Скриншот экрана

Модуль равнодействующей определится по формуле:

2016-07-06 17-58-09 Скриншот экрана

Оба слагаемых, стоящих под знаком корня, во всех случаях положительны как величины, возведенные в ква­драт. Поэтому R = 0 только при выполнении условий:

2016-07-11 14-33-00 Скриншот экрана

Таким образом, равнодействующая плоской системы сходящихся сил равна нулю только в том случае, когда алгебраические суммы проекций ее слагаемых на каждую из двух координатных осей равны нулю.

Формулы Σх=0 (сумма проекций всех сил на ось Х равна нулю),  Σy=0 (сумма проекций всех сил на ось Y равна нулю) называют уравнениями равновесия плоской системы сходящихся сил и используют при аналитическом решении задач.

Следовательно, для решения задач на равновесие плоской системы сходящихся сил мы имеем два уравне­ния. Эти уравнения позволяют определить две неизвест­ные величины.

Если же задача содержит неизвестные в количестве, превышающем число уравнений равнове­сия, то эту задачу нельзя решить методами статики абсо­лютно твердого тела. Задачи подобного типа называют статически неопределимыми. Их решение возможно только при отказе от допущения об абсолютной твердости тел; помимо уравнений равновесия для решения их составляют дополнительные уравнения, основанные на рассмотрении деформаций тел. Методы решения таких задач рассматриваются в курсе сопротивления материалов.

Аналитическое определение величины и направления равнодействующей системы сходящихся сил (метод проекций)

Равнодействующая системы сходящихся сил может быть найдена через проекции составляющих.

Рассмотрим ее определение на примере системы сил  2016-06-29 14-38-07 Скриншот экрана, изоб­раженной на рис. а.

2016-07-06 17-38-34 Скриншот экрана

Равнодействующая этих сходящихся сил построена на рис. б:

2016-07-06 17-40-34 Скриншот экрана

Проектируя все силы на оси Ох и Оу и используя теорему о проекции векторной суммы полу­чаем:

2016-07-06 17-50-50 Скриншот экрана

Модуль равнодействующей силы через ее проекции определяется по формуле

2016-07-06 17-54-14 Скриншот экрана Подставив в это уравнение  значение проекций Rx  и R, найдем

2016-07-06 17-58-09 Скриншот экрана

Направление R определим по косинусам углов, ко­торые эта сила образует с координатными осями:

2016-07-06 18-03-06 Скриншот экрана

Проекция векторной суммы на ось. Теорема о проекции векторной суммы

Заданы сходящиеся силы 2016-06-29 13-15-18 Скриншот экрана(рис. а).

2016-06-29 13-16-35 Скриншот экрана

Геометрическая сумма, или равнодействую­щая, этих сил

2016-06-29 13-22-01 Скриншот экрана

определяется замыкающей стороной 2016-06-29 13-25-11 Скриншот экранасилового многоугольника (рис. б).

2016-06-29 13-26-06 Скриншот экрана

Спроектируем все вершины силового многоугольника ABCDEKL на ось х и обозначим их проекции соответ­ственно а, b, с, d, е, k, l.

Проекции сил на ось х изобра­зятся отрезками:

P1x  = ab;    P2x = bc;     P3x = cd;

P4x  =—de;  P5x = ek;    P6x = kl.

Сумму проекций можно представить в следующем виде:

2016-06-29 13-35-30 Скриншот экрана

Так как al есть проекция равнодействующей силы 2016-06-29 13-37-01 Скриншот экрана на ось х, т.е. al = Rx , то

2016-06-29 13-42-27 Скриншот экрана

или

2016-06-29 13-43-15 Скриншот экрана,

где n — число слагаемых векторов.

Следовательно, проекция векторной суммы на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.

В плоскости геометрическую сумму сил можно спроек­тировать на две координатные оси, а в пространстве соответственно на три.

Разложение силы на составляющие по координатным осям

На плоскости сила 2016-06-29 11-31-39 Скриншот экрана может быть представлена как векторная сумма двух взаимно перпендикулярных сил 2016-06-29 11-32-25 Скриншот экрана и 2016-06-29 11-33-02 Скриншот экрана, которые по модулю равны абсолютным значениям соответствующих проекций

2016-06-29 11-33-51 Скриншот экрана

Здесь имеем случай разложения силы на две состав­ляющие по координатным осям. Отличие проекции силы от ее составляющей заключается в том, что проекция силы на ось — величина скалярная, а составляющая — величина векторная.

При рассмотрении силы в пространстве приходится проектировать ее на три координатные оси. Установим, как определяются в пространстве проекции и составляющие произвольной силы 2016-06-29 11-31-39 Скриншот экрана, приложенной в точке А.

2016-06-29 11-36-58 Скриншот экрана

Первоначально сила 2016-06-29 11-31-39 Скриншот экрана проектируется на координатные плоскости, например, на плоскость хОу и на плоскость yOz. Эти проекции будем снабжать двумя индексами: проекцию на плоскость хОу обозначим 2016-06-29 11-50-54 Скриншот экрана, а проекцию на плоскость yOz обозначим 2016-06-29 11-51-48 Скриншот экрана.

Проекции сил на координатные плоскости представ­ляют собой векторные величины. Каждую из проекций на координатные плоскости 2016-06-29 11-50-54 Скриншот экранаи 2016-06-29 11-51-48 Скриншот экрана легко спроекти­ровать на две координатные оси, в плоскости которых она лежит. При этом получим три проекции силы 2016-06-29 11-32-25 Скриншот экрана, 2016-06-29 11-33-02 Скриншот экрана и 2016-06-29 11-56-50 Скриншот экрана.

Сила 2016-06-29 11-31-39 Скриншот экрана может быть представлена диагональю прямо­угольного параллелепипеда, построенного на составляющих 2016-06-29 11-32-25 Скриншот экрана, 2016-06-29 11-33-02 Скриншот экрана и  2016-06-29 11-56-50 Скриншот экрана (см.рис. выше), которые по модулю равны соответствующим проек­циям. Следовательно, мо­дуль и направление силы в пространстве определят­ся по формулам:

2016-06-29 12-03-20 Скриншот экрана

Таким образом, в пространстве силу можно разложить на три составляющие по координатным осям

2016-06-29 12-05-21 Скриншот экрана

Проекция силы на ось

Часто геометрическое сложение векторов сил требует сложных и громоздких построений. В таких случаях прибегают к другому методу, где геометрическое построе­ние заменено вычислениями скалярных величин. Дости­гается это проектированием заданных сил на оси прямо­угольной системы координат.

Как известнее из математики, осью называют неограни­ченную прямую линию, которой приписано определенное направление. Проекция вектора на ось является скаляр­ной величиной, которая определяется отрезком оси, отсе­каемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на ось.

Проекция вектора считается положительной (+), если направление от начала проекции к ее концу совпадает с положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной (), если направление от на­чала проекции к ее концу противоположно положитель­ному направлению оси.

Рассмотрим ряд случаев проектирования сил на ось.

  1. Дана сила Р (рис.а), она лежит в одной пло­скости с осью х. Вектор силы составляет с положительным направлением оси острый угол α.

2016-06-24 17-43-26 Скриншот экрана

Чтобы найти величину проекции, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось х, полу­чаем

Рх = ab = Р cos α.

Проекция вектора в данном случае положительна.

2. Дана сила Q (рис. б), которая лежит в одной плоскости с осью х, но ее вектор составляет с положи­тельным направлением оси тупой угол α.

2016-06-24 17-47-44 Скриншот экрана

Проекция силы Q на ось х

Qх = ab = Q cos α,

но

cos a = — cos β.

Так как α > 90°, то cos cos α — отрицательная величина. Выразив cos α через cos β  (β — острый угол), оконча­тельно получим

Qх = — Q cos β

В этом случае проекция силы отрицательна.

Итак, проекция силы на ось координат равна произве­дению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положительным направлением оси.

При определении проекции вектора силы на ось поль­зуются обычно косинусом острого угла, независимо от того, с каким направлением оси — положительным или отрицательным — он образо­ван. Знак проекции легче устанавливать непосредствен­но по чертежу.

Силу, расположенную на плоскости хОу, можно спроек­тировать на две координатные оси Ох и Оу. Рассмотрим рисунок.

2016-06-24 23-42-20 Скриншот экрана

На нем изображена сила Р и ее проекции Рх и Ру. Ввиду того что проекции образуют между собой прямой угол, из прямоугольного треугольника ABC следует:

2016-06-24 23-49-36 Скриншот экрана

Этими формулами можно пользоваться для определения величины и направления силы, когда из­вестны ее проекции на координатные оси. Эти же формулы могут применяться для определения величины и направ­ления любого вектора через его проекции.

Геометрический (графический) метод сложения сил, приложенных в одной точке

Силы называют сходящимися, если их линии действия пересекаются в одной точке.

Различают плоскую систему сходящихся сил, когда линии действия всех данных сил лежат в одной плоскости, и пространственную систему сходящихся сил, когда ли­нии действия сил лежат в разных плоскостях.

На основании следствия из третьей аксиомы, силу можно переносить по линии ее действия. Поэтому сходящиеся силы всегда можно перенести в одну точку, а именно, в точку пересечения их линий действия.

Рассмотрим плоскую систему сходящихся сил. На рис. а приведена такая система сил, линии действия которых пересекаются в точке К.

2016-06-22 14-35-41 Скриншот экрана

Пользуясь указанным следствием из третьей аксиомы, перенесем все силы в точку К. Такой перенос необходим для графического определения равнодействующей заданной системы сил.

Выполнив этот перенос, получим четыре силы Р1 , Р, Р3  и Р4 , приложенные в точке К. Для определения их равнодействующей сложим последовательно все дан­ные силы, используя правило треугольника (рис.б).

2016-06-22 14-39-54 Скриншот экрана

Сложим сначала две силы Р1 и Р2. Из произвольной точки О проведем, сохраняя масштаб и направление, силу Р1. Из конца силы Рпроведем вторую силу Р2. Соединив точку О с концом силы Р2, получим силу R1, равную сумме сил Р1 и Р2,

R= Р+  Р2

Из конца силы R1 проведем третью силу Р3. Соединив точку О с концом силы Р3, получим силу R2, равную сумме сил Р3 и R1. Но R= Р+  Р2, откуда

R= Р+  Р+ Р3

Из конца силы R2 проведем четвертую, последнюю силу Р4. Соединив точку О с концом вектора силы Р4, получим силу R, равную сумме сил R2 и Р4, т. е.

R = R+Р4  = Р+  Р+ Р3 + Р4= ΣРi

Промежуточные векторы R1 и R2 можно не строить, а последовательно, в указанном выше порядке одну за другой отложить все заданные силы и начало первой соединить с концом последней.

Полученная таким образом фигура OABCD (см. рис.б) называется силовым многоугольником. Замы­кающая сторона этого многоугольника представляет со­бой равнодействующую R заданной системы сил, равную их геометрической сумме.

Необходимо обратить внима­ние на то, что равнодействующая сила R всегда направлена от начала первого слагаемого к концу последнего слагаемого. Иными словами, стрелка равнодействующей силы всегда направлена навстречу обходу многоугольника, соответствующему последовательному сложению задан­ных сил (см. рис. б).

Сложение данных сил можно выполнить также, поль­зуясь правилом параллелограмма, но такой способ свя­зан с более громоздкими построениями.

Если при построении силового многоугольника конец последней слагаемой силы совместится с началом первой, равнодействующая R системы сходящихся сил окажется равной нулю. В этом случае система сходящихся сил будет находиться в равновесии.

Замкнутость силового многоугольника данной системы сходящихся сил является геометрическим условием ее равновесия. Таким образом, для уравновешенной системы сходящихся сил вектор равнодействующей обращается в точку.

Иными словами, геометрическое (графическое) условие равновесия системы сходящихся сил — силовой многоугольник должен быть замкнут.