Архив рубрики: Деформация изгиба

Понятие о деформации изгиба

Изгибом называется деформация, при которой ось стержня и все его волокна, т. е. продольные линии, параллельные оси стержня, искривляются под действием внешних сил. Наиболее  простой случай изгиба получается тогда, когда внешние силы будут лежать в плоскости, проходящей через центральную ось стержня, и не дадут проекций на эту ось. Такой случай изгиба называют поперечным изгибом. Различают плоский изгиб и косой.

Плоский изгиб – такой случай, когда изогнутая ось стержня расположена в той же плоскости, в которой действуют внешние силы.

Косой (сложный) изгиб – такой случай изгиба, когда изогнутая ось стержня не лежит в плоскости действия внешних сил.

Работающий на изгиб стержень обычно называют балкой.         

При плоском поперечном изгибе балок в сечении с системой координат у0х могут возникать два внутренних усилия – поперечная сила Qу и изгибающий момент Мх; в дальнейшем для них вводятся обозначения Q и M. Если в сечении или на участке балки поперечная сила отсутствует (Q=0), а изгибающий момент не равен нулю или М – const, то такой изгиб принято называть чистым.

Поперечная сила в каком-либо сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у всех сил (включая опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения.

Изгибающий момент в сечении  балки численно равен алгебраической сумме моментов всех сил (включая и опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения относительно центра тяжести этого сечения, точнее, относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через центр тяжести проведенного сечения.

Сила Q представляет равнодействующую распределенных по сечению внутренних касательных напряжений, а момент Мсумму моментов вокруг центральной оси сечения Х внутренних нормальных напряжений.

Между внутренними усилиями существует дифференциальная зависимость

2014-09-14 19-12-34 Скриншот экрана

которая используется при построении и проверке эпюр Q и M. 

2014-09-14 19-26-54 Скриншот экрана

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений. Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе. Поперечное сечение балки при изгибе искажается. За счет поперечной деформации размеры поперечного сечения в сжатой зоне балки увеличиваются, а в растянутой сжимаются.

Допущения для вывода формул. Нормальные напряжения 

1)  Выполняется гипотеза плоских сечений.

2)  Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений линейные растяжения или сжатия работают.

3)  Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.

4)  Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

5)  Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

6)  Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

При чистом изгибе балки на площадках в ее сечении действуют только нормальные напряжения, определяемые по формуле :

2014-09-14 19-25-23 Скриншот экрана

где у – координата произвольной точки сечения, отчитываемая от нейтральной линии — главной центральной оси х.

Нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю.

Характер эпюр нормальных напряжений для симметричных сечений   относительно нейтральной линии

2014-09-14 19-49-52 Скриншот экрана

Характер эпюр нормальных напряжений для  сечений, не обладающих симметрией относительно нейтральной линии

2014-09-14 19-50-53 Скриншот экрана

Опасными являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии.

Выберем некоторое сечение

2014-09-14 20-00-57 Скриншот экрана

Для любой точки сечения,назовем ее точкой К,  условие прочности балки по нормальным напряжениям имеет вид:

2014-09-14 19-59-05 Скриншот экрана, где н.о. — это нейтральная ось

2014-09-14 20-02-32 Скриншот экрана

это осевой момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси. Его размерность см3, м3. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Условие прочности по нормальным напряжениям: 

2014-09-14 20-05-24 Скриншот экрана Нормальное напряжение равно отношению максимального изгибающего момента к осевому моменту сопротивления сечения относительно нейтральной оси.

Если материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо использовать два условия прочности: для зоны растяжения с допускаемым напряжением на растяжение; для зоны сжатия с допускаемым напряжением на сжатие .

При поперечном изгибе балки на площадках в ее сечении действуют как нормальные, так и касательные напряжения.

В случае изгиба, когда присутствует поперечная сила, сечения не будут плоскими. Они будут искривляться. Но опытные данные показывают, что искривления небольшие, поэтому применяют формулу чистого изгиба для определения нормальных напряжений.

Для определения касательных напряжений используется выражение, называемое в отечественной литературе формулой Д.И.Журавского:2014-09-14 20-10-48 Скриншот экрана, где2014-09-14 20-11-44 Скриншот экрана - это статический момент площади отсеченной части.

Условие прочности по касательным напряжениям:

2014-09-14 20-15-05 Скриншот экрана,  Максимальное касательное напряжение равно отношению: в числителе произведение максимального значения поперечной силы на статический момент площади отсеченной части; в знаменателе произведение осевого момента инерции относительно нейтральной оси на ширину рассматриваемого сечения.