Фигуры равновесия вращающейся жидкости

В разработку проблемы  фигур равновесия вра­щающейся жидкости основной вклад внес русский ученый А. М. Ляпунов.

Ньютон показал, что под влиянием центробежных сил и взаимного притяжения своих частиц однородная жид­кость при малой угловой скорости принимает форму сжа­того эллипсоида вращения. Вопрос о форме, принимае­мой равномерно вращающейся вокруг неподвижной оси жидкой массой, все частицы которой взаимно притяги­ваются по закону Ньютона, приобрел весьма важное зна­чение при исследовании проблем космогонии.

В XVIII—XIX вв. при решении этой проблемы исхо­дили из гипотезы о том, что на некоторой стадии раз­вития небесные тела были жидкими.

А. Клеро показал, что если скорость вращения жидкой массы очень мала, то за поверхности уровня с достаточной степенью точности могут быть приняты поверхности эллипсоидов вращения. Но этот результат справедлив лишь в первом приближении, а теория Клеро не позволяла найти более высокие приближения. Затем А. Лежандр и П. Лаплас предложили методы, которые позволяли находить последовательные приближения.

В 1829 г. Пуассон отметил, что результаты Лежанд­ра и Лапласа также оставляют желать много лучшего, поскольку не был исследован вопрос, будут ли сходя­щимися ряды, к которым приводят их методы. Создав­шаяся ситуация и побудила Ляпунова продолжить ис­следования.

Ляпунов в отличие от Лежандра, Лапласа и Пуассона не пользовался разложением в ряд, а рас­смотрел уравнения задачи (из которых первое является уравнением Клеро) при весьма общих предположениях о законе распределения плотности вращающейся жидкой массы.

Ляпунов сначала занялся исследованием вопроса об устойчивости эллипсоидных форм равновесия вращаю­щейся жидкости; этой проблеме посвящена была его магистерская диссертация (1884). В этой работе он ввел определение понятия устойчивости вращающейся жидко­сти.

Он доказал, что признак устойчивости системы, об­ладающей конечным числом степеней свободы (теорема Лагранжа—Дирихле), не может быть безоговорочно перенесен на случай движения жидкости, имеющей бесконеч­ное число степеней свободы. Далее он установил доста­точный критерий устойчивости фигур равновесия и по­казал, что эллипсоид вращения является устойчивой фи­гурой равновесия, если его эксцентриситет не превышает некоторой, определенной Ляпуновым, величины. В частно­сти, он дал полный разбор вопроса об устойчивости не­которых ранее известных фигур равновесия, так назы­ваемых эллипсоидов Маклорена и Якоби.

В 1901 г. Ляпунов, преодолев огромные математиче­ские трудности и разработав ряд аналитических методов, выполнил строгое исследование вопроса о существовании новых фигур равновесия жидкости, равномерно вращаю­щейся вокруг некоторой оси, если частицы жидкости вза­имно притягиваются по закону Ньютона.

Основной результат исследования Ляпунова таков: при наложении определенных требований на плотность жид­кости для всех значений угловой скорости вращения, не превосходящих некоторого определенного предела, су­ществует фигура равновесия вращающейся массы неодно­родной жидкости, находящейся в поле своего собствен­ного тяготения.

Эти работы вызвали длительную дискуссию Ляпунова с английским ученым Дж. Дарвином (1845—1912) по вопросу о фигурах равновесия, которые А. Пуанкаре наз­вал грушевидными.

Дарвин отстаивал устойчивость этих фигур и на этом построил гипотезу развития двойных звезд. Ляпунов опроверг мнение Дарвина и опубликовал ряд замечательных работ, в которых дал безукоризненное математическое доказательство своего утверждения. Та­ким образом, возникшая полемика закончилась победой русского ученого. Еще через несколько лет, в 1917 г., Дж. Джинс обнаружил ошибку в вычислениях Дарвина, приведшую к неверному выводу об устойчивости груше­видных фигур.

Труды Ляпунова по фигурам равновесия вращающей­ся жидкости до сих пор остаются непревзойденными. Все работы отечественных и зарубежных ученых по этой проблеме, выполненные после смерти Ляпунова, в той или иной степени основаны на его идеях и методах.