Леонард Эйлер и его работы по механике

«Благородство, величие и возвышенность делают наши деяния и начинания достойными удивления и превосходными»
Г. Галилей.

Среди ученых всех времен и народов в области точного естествознания Леонарду Эйлеру принадлежит одно из первых мест. Как писал Д. Дидро: «Они (Бернулли, Эйлер, Даламбер, Лагранж) поставят Геркулесовы столбы. ...Труды их будут жить в грядущих веках, подобно египетским пирамидам, которые своими испещренными иероглифами громадами пробуждают в нас ужасающую мысль о могуществе и богатствах людей, воздвигших их» (Д. Дидро, Мысли об объяснении природы. Собр. соч., т. I, 1935, стр. 302).

Эйлер обладал изумительной трудоспособностью и гениальным дарованием.

В настоящее время выяснено, что за свою творческую жизнь он написал более 800 работ по различным разделам математики, механики, физики, астрономии и техники. В изданиях только Петербургской Академии наук им было опубликовано около 600 работ. В Собрании сочинений Эйлера «Opera omnia», которое издается с 1911 года, уже вышел 41 том, это издание еще не закончено. Предположено к изданию еще 30 томов. Его «Письма к одной немецкой принцессе» (1768—1772) являются серьезным философским произведением.


Леонард Эйлер (1707—1783)

Леонард Эйлер (1707—1783)

Работы по механике публиковались Эйлером с 1728 года. Среди этих работ: «Механика, или Наука о движении в аналитическом изложении» (2 тома — 980 стр., издано в Петербурге в 1736 г.); «Морская наука, или Трактат о строении кораблей и управлении ими» (2 тома — 978 стр., издано в Петербурге в 1749 г.); «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума либо минимума» (480 стр., издано в Женеве в 1744 г.); «Теория движения твердых тел» (520 стр., издано в Ростоке в 1765 г.); «Новая теория движения Луны» (790 стр., издано в Петербурге в 1772 г.); Итоговые статьи по гидромеханике (512 стр., изданы в Петербурге в 1768—1772 гг.) — представляют фундаментальные исследования, излагающие наиболее важные результаты, достигнутые предыдущим ходом развития науки и открывающие новые пути дальнейшего изучения различных разделов механики.

Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 года в швейцарском городе Базеле в семье пастора. Он получил начальное домашнее воспитание под руководством своего отца Павла Эйлера (1670—1745), человека, широко образованного и любившего математику. Осенью 1720 года Л. Эйлер был принят на философский факультет Базельского университета, который закончил в 1723 году.

С октября 1723 года он, следуя желаниям отца, записался на старший теологический факультет, где много занимался изучением древних языков. Но любимой наукой Эйлера была математика. В Базельском университете он, следуя своим стремлениям, стал посещать лекции по математике знаменитого Иоганна Бернулли (1667—1748). И Бернулли обратил внимание на успехи Эйлера, порекомендовал читать самостоятельно «труднейшие математические книги» и разрешил посещать его по субботам на дому для бесед по различным вопросам математики, разъясняя трудности, встречавшиеся при самостоятельном чтении классиков науки. «Отец, видя, что в сыне говорит то, что сильнее всякого желания быть послушным, сильнее самой его воли и, может быть, его собственного понимания, видя, что от геометрии уже более ничто не может его оторвать, отступился от своих планов, и Эйлер, с согласия уже отца, с удвоенным жаром устремился к математическим наукам» (Н. Н. Лузин, Эйлер, Журнал «Социалистическая реконструкция и наука», 1933, № 8, стр. 4).

Бывая регулярно в доме И. Бернулли, Эйлер близко сошелся с его сыновьями Николаем и Даниилом Бернулли, которые в 1725 году были приглашены академиками в Петербургскую Академию наук.

Благодаря хлопотам братьев Бернулли в 1726 году девятнадцатилетний Эйлер получил приглашение в Петербург. В записях академической канцелярии от 17 декабря 1726 года можно прочесть: «По указу Ея императорского величества велено Эйлеру быть при Академии. И оному надлежит послать на проезд денег сто тридцать рублев, через профессора Даниеля Бернулли».

В 1727 году Леонард Эйлер прибыл в Петербург и был зачислен адъюнктом по высшей математике. Вот что писал он позднее в автобиографии об этом периоде своей жизни: «Мое содержание составляло 300 рублей при готовой квартире с отоплением и освещением, и так как я имел склонность исключительно к математическим знаниям, то я был зачислен адъюнктом высшей математики; предположение же приспособить меня к занятиям медициною было совершенно оставлено. При этом мне было разрешено присутствовать в академических заседаниях и докладывать там мои работы, которые тогда же помещались в академических Комментариях».

По существу дела, приехав в Россию, Эйлер активно начал исполнять в полном объеме обязанности, возлагавшиеся на членов Петербургской Академии наук, от которых устав, утвержденный Петром I, требовал: «все то, что уже в науках учинено — свидетельствовать; что к исправлению и размножению оных потребно— производить; что каждый в таком случае изобрел — сообщать и Секретарю вручать; о всех декувертах, которые свидетельствованию и апробации их поданы будут имеют они непристрастное рассуждение чинить: сиречь истинны ли оные, великой ли или малой пользы суть и известны ли оные были прежде сего или нет».

В 1733 году после отъезда из Петербурга Даниила Бернулли Эйлер был назначен академиком по высшей математике. В 1741 году он принял приглашение прусского короля Фридриха II и переехал в Берлин. Эйлер снова вернулся в Россию в 1766 году (Возвращению Эйлера в Петербург предшествовала длительная дипломатическая переписка. Все условия, выставленные Эйлером, были приняты Екатериной II, которая писала 6 января 1766 года графу Воронцову: «Я уверена, что моя Академия возродится из пепла от такого важного приобретения, и заранее поздравляю себя с тем, что возвратила России великого человека» и активно работал в Петербургской Академии до последнего дня своей жизни. Он умер 7/18 сентября 1783 года.

Эйлер был тесно связан с реальными запросами развивающегося хозяйства России XVIII века. Он был экспертом по устройству пильных машин, пожарных насосов; вместе с Д. Бернулли составлял соображения о поднятии большого колокола в Москве; участвовал в комиссии по рассмотрению одноарочного моста через Неву (проект Кулибина); вел работы в комиссии о мерах и весах; консультировал строителей морских судов и много работал по составлению географических карт России по поручениям Географического департамента.
2. В области теоретической механики Л. Эйлер является родоначальником аналитического метода исследования реальных задач. Достоинства нового метода были подтверждены Эйлером крупнейшими оригинальными научными открытиями: разработкой теории несвободного движения точки, созданием теории движения твердого тела, точной формулировкой меры устойчивости равновесия плавающих тел, открытием основных методов и уравнений гидромеханики идеальной жидкости, точными расчетами баллистических траекторий в сопротивляющейся среде, а также созданием теории движения Луны.

В предисловии к своей книге «Механика, или Наука о движении в аналитическом изложении»  Эйлер указывает, что наиболее значительными произведениями мировой литературы по теоретической механике XVII и XVIII веков являются «Статика» Вариньона, «Форономия» Германа (Герман (1678—1733)—швейцарский математик. В 1725 году был приглашен академиком Петербургской академии наук. Его наиболее известное сочинение по механике называется: «Форономия, или о силах и движениях твердых и жидких тел». Оно было напечатано в лейпцигском журнале «Acta eruditorum», 1716) и «Начала» Ньютона. Однако, как пишет Эйлер, изучению и пониманию произведений Германа и Ньютона мешает то обстоятельство, что все доказательства приведены в этих сочинениях «по обычаю древних при помощи синтетически геометрических доказательств» без применения математического анализа, «благодаря которому только и можно достигнуть полного понимания этих вещей». «Если анализ где-либо и необходим, так это особенно относится к механике». Если читатель даже хорошо понял какое-либо положение, доказанное геометрически, то стоит немного изменить условия задачи, как самостоятельное исследование становится трудным, требующим особой проницательности и остроумия.

«Это как раз случилось со мной, — пишет Эйлер, — когда я начал знакомиться с «Принципами» Ньютона и «Форономией» Германа; хотя мне казалось, что я достаточно ясно понял решение многих задач, однако задач, чуть отступающих от них, я уже решить не мог. И вот тогда-то я попытался, насколько умел, выделить анализ из этого синтетического метода и те же предложения для собственной пользы проработать аналитически; благодаря этому я значительно лучше понял суть вопроса» (Л. Эйлер, Основы динамики точки, ОНТИ, 1938, стр, 34).

Заслуга Эйлера состояла в том, что, правильно оценив преимущества дифференциального и интегрального исчислений, а также вариационного исчисления, как методов наиболее адекватных сущности задач механики, он подвергнул аналитическому исследованию как задачи уже решенные, так и разрешил большое число новых проблем. «При этих занятиях я не только встретился с целым рядом вопросов, ранее совершенно не затронутых, которые я удачно разрешил, но я нашел много новых методов, благодаря которым не только механика, но и самый анализ, по-видимому, в значительной степени обогатился. Таким образом, и возникло это сочинение о движении, в котором я изложил аналитическим методом и в удобном порядке как то, что я нашел у других в их работах о движении тел, так и то, что я получил в результате своих размышлений».

До работ Эйлера теоретическая механика была наукой для избранных, а механические задачи — средством для испытания тонкости и глубины ума.

Если решенная задача была важна для практических приложений, то обычно давались рецепты, как полученное решение следует использовать. Даже небольшие отклонения от полученного результата при несущественных видоизменениях условий были трудно объяснимы, а новые решения казались особой удачей, случайным счастьем, сверхчеловеческим прозрением, ибо не был найден общий метод, который подчиняет человеческому уму сразу широчайший класс явлений. Хотя анализ бесконечно малых был открыт до Эйлера, а решения некоторых задач в «Principia» Ньютона позволяют утверждать, что Ньютон хорошо знал преимущества нового метода для исследований механического движения, исторически именно Эйлеру принадлежит честь всестороннего раскрытия человечеству подлинного могущества этого великого открытия. Эйлер показал механике широкую дорогу быстрого прогресса.

Основными законами динамики точки Эйлер считает закон инерции, закон независимого действия сил и второй закон Ньютона.

Закон инерции Эйлер дает в следующих двух аксиомах:
1) абсолютно покоящееся тело, если оно не подвержено каким-либо влияниям извне, будет оставаться в состоянии покоя вечно;
2) тело, находящееся в абсолютном движении, если оно не подвергается какому-либо внешнему воздействию, будет продолжать двигаться равномерно в том же самом направлении.

Справедливость этих аксиом Эйлер подтверждает рассуждениями, исходящими из принципа достаточного основания. Рассматривая бесконечно малый элемент тела, Эйлер говорит, что для такого элемента нет никакого основания, в силу которого он начал бы двигаться в каком-либо направлении, будучи вначале в покое, или начал бы изменять имеющуюся скорость в каком-либо направлении, двигаясь прямолинейно и равномерно, ибо при отсутствии внешних сил с равным основанием можно предположить возникновение изменения в данном направлении и ему прямо противоположном.

«Прежде всего тело не терпит никакого изменения в направлении своего движения, так как нет никакого основания, почему бы от него отклонялось скорее в одну сторону, чем в другую; следовательно, как достоверно то, что покоящееся тело сохраняет свое состояние покоя, так столь же достоверно и то, что тело движущееся сохраняет свое направление.

Что же касается, дальше, скорости, то, если бы она не оставалась постоянно одной и той же, она должна была бы либо увеличиться, либо уменьшиться. Однако ни того, ни другого нельзя утверждать без противоречия здравому смыслу. В самом деле, если бы скорость увеличилась или уменьшилась, то это должно было бы произойти согласно определенному закону, но каков этот закон — этого нельзя себе никак представить, так как ни один закон не имеет за собой каких-либо преимуществ перед другими».

Весьма большое значение при формулировке основных законов механики Эйлер придает непроницаемости. Непроницаемость представляет то свойство тел, в силу которого в одном и том же месте не могут находиться одновременно два или большее количество тел. Это свойство является, по Эйлеру, источником тех сил, которые изменяют состояние тел. «Я бы не поколебался признать в непроницаемости сущность тел», — пишет Эйлер.

Определение массы как количества материи в данном объеме и пропорциональной весу тела принято в механике Эйлера 1736 года. Он пишет: «Массу тела нужно выводить из его веса, и количество материи принимается пропорциональным его весу». Позднее в работе «Теория движения твердых тел» (1765) Эйлер определяет массу как меру инерции тела. «Массой тела, или количеством инерции, называется величина заключенной в теле инерции, вследствие которой тело стремится сохранить свое состояние и противодействовать всякому его изменению». Поэтому, говорит Эйлер: «Массу тела, т. е. количество материи, следует определять не по объему тела, а по величине его инерции, в силу которой оно стремится сохранить свое состояние и противодействует всякому его изменению».

Второй закон Ньютона формулируется Эйлером без введения понятия количества движения. На целом ряде примеров прямолинейных движений материальной точки Эйлер доказывает, что элементарное приращение скорости, которое получает точка за время dt, будет пропорционально произведению действующей силы на этот промежуток времени. Количество материи, входящее в коэффициент пропорциональности, совпадает, по Эйлеру, с силой инерции, или массой точки. «Таким образом, приращение скорости прямо пропорционально действующей силе и промежутку времени и обратно пропорционально силе инерции тела». Если элементарное перемещение при прямолинейном движении обозначить через ds, тогда 2015-05-22 22-08-33 Скриншот экрана и легко получить, что 2015-05-22 22-10-34 Скриншот экрана«Отсюда приращение квадрата скорости пропорционально произведению силы на пройденный отрезочек пути, деленному на массу или силу инерции тельца». Легко видеть, что приведенная формулировка совпадает с теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки в дифференциальной форме. Эйлер придает этой теореме весьма большое значение. Он пишет: «Это предложение охватывает все установленные до сих пор принципы, определяющие природу и все законы движения, если только направление силы совпадает с направлением движения». В дальнейших разделах книги Эйлер показывает, как распространить указанные законы прямолинейного движения точки на случаи криволинейных движений.

При изложении законов движения Эйлер подчеркивает целесообразность изучения сначала движения точки, а затем движения твердого тела. Он пишет: «Подобно тому как в геометрии, в которой излагается измерение тел, изложение обыкновенно начинается с точки, точно так же и движение тел конечной величины не может быть объяснено, пока не будет тщательно исследовано движение точек, из которых, как мы принимаем, составлены тела. Ведь нельзя наблюдать и определить движения тела, имеющего конечную величину, не определив сначала, какое движение имеет каждая его маленькая частичка или точка. Вследствие этого изложение вопроса о движении точек есть основа и главная часть всей механики, на которой основываются все остальные части». Кинематические вопросы в механике точки Эйлера изучаются попутно с решением динамических задач.

Уже в первой большой работе по механике 1736 года Эйлер намечает большой цикл проблем механики, исследованием которых он и занимался всю жизнь.

«Сначала мы будем рассматривать тела бесконечно малые, т. е. те, которые могут рассматриваться как точки. Затем мы приступим к телам, имеющим конечную величину, тем, которые являются твердыми, не позволяя менять своей формы. В-третьих, мы будем говорить о телах гибких. В-четвертых, о тех, которые допускают растяжение и сжатие. В-пятых, мы подвергаем исследованию движение многих разъединенных тел, из которых одни препятствуют другим выполнять свои движения так, как они стремятся это сделать. В-шестых, будет рассматриваться движение жидких тел».

В задачах динамики точки систематическое применение методов интегрирования дифференциальных уравнений движения позволило Эйлеру дать ясные и отчетливые характеристики изучаемых движений в таком виде, что «все это произведение можно прочесть без чьей бы то ни было помощи».

В книге Эйлера систематически применяется запись уравнений движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника. Ряд задач, относящихся к движению точки по плоским кривым, рассмотрен в полярных координатах.

Особо следует отметить главу «Механики», посвященную изучению движения материальной точки под действием центральных сил. Эта глава служит превосходным введением в небесную механику, науку, которую гений Эйлера обогатил выдающимися произведениями.

Механика несвободной точки, подчиненной геометрическим связям, главным образом создана Эйлером, который получил здесь целый ряд выдающихся результатов по дифференциальной геометрии.

В теории движения твердого тела Эйлер нашел формулы для определения проекций скорости какой-либо точки тела на декартовы оси координат в случаях движения около неподвижной оси и неподвижной точки. Эти формулы известны в механике как формулы Эйлера. Соответственно трем степеням свободы твердого тела с неподвижной точкой им были введены так называемые углы Эйлера φ,ψ, θ и получены кинематические формулы, выражающие проекции мгновенной угловой скорости тела на подвижные и неподвижные оси. Рассмотрение динамических уравнений движения в подвижных осях (неизменно связанных с твердым телом) позволило Эйлеру создать наиболее простой метод изучения движения твердого тела, так как относительно подвижных осей моменты инерции тела остаются постоянными во все время движения, и мы всегда можем направления подвижных осей совместить с главными осями инерции тела для данной неподвижной точки. Эйлеру принадлежит решение динамической задачи о движении твердого тела около неподвижной точки в предположении, что равнодействующая внешних сил всегда проходит через эту точку или равна нулю.

Динамические уравнения Эйлера принимают в этом частном случае следующий вид:2015-05-22 22-05-32 Скриншот экрана

Как показал Эйлер, определение закона движения тела, т. е. нахождение углов φ,ψ, θ в функциях времени, сводится к эллиптическим интегралам.

3. В теории упругости Эйлеру принадлежит решение задачи об изгибе стержня (колонны), находящегося под действием силы, направленной по оси недеформированного стержня (сжимающей силы) при различных условиях закрепления его концов. Результаты исследований Эйлера по этому вопросу вошли теперь во все учебники по сопротивлению материалов. Теория продольного изгиба стержней (теория упругих кривых) рассматривалась Эйлером в пяти мемуарах (1744; 1759; 1780), три из которых были опубликованы в трудах Петербургской Академии. В мемуаре 1744 года получена знаменитая формула Эйлера для определения критической нагрузки стержня с шарнирно закрепленными концами в виде:

2015-05-22 21-34-14 Скриншот экрана
где Pкр—критическая нагрузка, I — длина стержня, Е — модуль упругости, J — момент инерции сечения относительно центральной оси, перпендикулярной к плоскости изгиба.

Эйлеру принадлежит также решение задачи о продольном изгибе стержня переменного сечения и задачи о продольном изгибе стержня с шарнирно закрепленными концами под действием собственного веса.

Как указывает проф. Е. Л. Николаи, ряд результатов Эйлера по теории продольного изгиба стержней переоткрывался в XIX и XX столетиях (например, в работах Гринхилла и Мизеса), причем полученные формулы для прогиба стержня и величины критической нагрузки менее точны, чем оригинальные соотношения, найденные Эйлером за сто и более лет раньше.

4. Существенный интерес для развития общих методов теоретической механики имеет фундаментальный труд Эйлера «Корабельная наука», опубликованный в Петербурге в 1749 году. В этом исследовании Эйлера впервые дается строгое определение устойчивости и неустойчивости положений равновесия и вводится количественная характеристика устойчивого равновесия. «Корабельная наука» Эйлера состоит из двух частей. В первой части рассматриваются вопросы теории равновесия и устойчивости возможных положений равновесия плавающих тел вообще; во второй результаты созданной теории устойчивости прилагаются к изучению устойчивости корабля и изучению влияния на изменение устойчивости некоторых конструктивных параметров и геометрической формы корабля. В кратком реферате своего труда, написанном для президента Петербургской Академии наук, Эйлер утверждает:
«Сие о равновесии тел на воде плавающих знание уже от времен Архимедовых известно, которое в корабельной науке хотя весьма полезно, однако к познанию равновесного положения, которого корабли требуют, отнюдь недовольно. Ибо корабль волнами и от других причин беспрестанно из равновесного положения сбивается; для того весьма нужно знать, может ли он в помянутое положение прийти обратно сам собою; а паче всего потребно определить точно, коль великою силою оное возвращение быть должно». Далее Эйлер приводит пример конуса, который может быть или в устойчивом положении равновесия, когда стоит на основании, или в неустойчивом, когда поставлен на вершину. «В обоих случаях, — пишет Эйлер, — конус находится в равновесии, однако между обоими равновесиями есть превеликая разность; для того, что первое непоколебимо, другое весьма к падению склонно. Подобная точно разность находится в телах, которые на воде лежат: ибо иные толь крепко стоят в равновесии, что хотя от оного и склонены будут, однако всегда в оное обратно приходят, а в иных противное примечается, например: палка ежели в воду перпендикулярно воткнута будет, хотя в самую кротчайшую тишину и постоять может, однако от самого малейшего движения упадает».

В главе третьей первого тома «Корабельной науки» Эйлер доказывает следующую теорему:
«Устойчивость, с которой тело, плавающее в воде, упорствует в положении равновесия, должна оцениваться величиной момента восстанавливающей силы, когда тело будет наклонено из положения равновесия на данный бесконечно малый угол».

При доказательстве этой теоремы Эйлер рассматривает только устойчивые положения равновесия, считая, что при нейтральном или неустойчивом положении устойчивость будет нулевой или отрицательной. Причиной восстановления устойчивого равновесия является момент от сил давления воды, который при малых отклонениях пропорционален углу поворота. «Следовательно, чем меньше будет при одном и том же угле поворота различных тел названный момент восстановления, тем больше будет сила восстановления, а вследствие того же будет больше и та сила упорствования в положении равновесия, которую я называю устойчивостью. Вследствие всего этого устойчивость, с которой плавающее в воде тело упорствует в положении равновесия, должна быть оцениваема величиной момента восстанавливающей силы, когда тело будет отклонено из положения равновесия на бесконечно малый угол».

Эйлер очень хорошо понимал значение введенной им характеристики устойчивости для «построения и нагрузки судов» и считал, что исследования различных случаев устойчивости должны приводить к полезным правилам для кораблестроителей. «Правда корабельные мастера чрез долгое искусство так строить корабли научились, что оные довольное количество устойчивости по большей части имеют, хотя в том самом немало ошибаются; однакож искусством того показать и точно определить не могут, от чего кораблю придается устойчивость».

«Корабельная наука» Эйлера оказалась достаточно трудной для понимания кораблестроителей, хотя многие чувствовали ее важность. В 1773 году на французском языке вышла книга Эйлера «Полная теория конструкции и маневра кораблей, приспособленная к уровню изучающих навигацию». Эта книга являлась популярным изложением «Корабельной науки». Она имела большой успех и в короткое время была переведена на английский, русский и итальянский языки.

Работами Эйлера по теории корабля начинается по существу строгая теория устойчивости положений равновесия механических систем.

5. Наиболее важной работой Эйлера по небесной механике является «Новая теория движения Луны». Сокращенный перевод этого сочинения был выполнен академиком А. Н. Крыловым; книга на русском языке издана Академией наук СССР в 1934 году. Точное знание положения Луны относительно «неподвижных» звезд позволяет мореплавателям определять долготу места так же точно, как наблюдение Полярной звезды в северном полушарии позволяет находить широту места. В XVIII столетии, когда не существовало прецизионных хронометров и радиосигналов точного времени, знание положения Луны на небе давало мореплавателям знание всеобщего (например, гринвичского) времени, а следовательно, знание долготы места.

Движение Луны является достаточно сложным потому, что орбита Луны определяется в основном действием двух сил притяжения к движущимся в пространстве центрам Земли и Солнца. Таким образом, теория движения Луны приводит к задаче «трех тел».

Эйлер пишет: «Без сомнения, наибольшая трудность сводится к решению знаменитейшей задачи о движении трех взаимно притягивающихся тел; полное ее решение оказывается превосходящим силы анализа, несмотря на величайшие усилия геометров. Все, что ими достигнуто, ограничивается развитием весьма частных случаев, причем их отнюдь не удалось разрешить в общем виде, а лишь привести к приближениям, и до сих пор нет никого, кто мог бы похвалиться, что обладает решением этого вопроса».

Успех решения, предложенного Эйлером, был обусловлен удачным выбором декартовых координат, определяющих положение Луны, и тем, что масса Солнца велика по сравнению с массами Земли и Луны, а «расстояние до Солнца как бы бесконечно больше расстояния от Земли до Луны». Если бы двух последних «обстоятельств не было, то, наверное, все наши усилия в этом исследовании оказались бы совершенно тщетными».

Исходя из основных уравнений динамики точки, Эйлер получает три нелинейных дифференциальных уравнения относительно координат Луны х, у, z, в правые части которых входит ряд слагаемых, зависящих от малых параметров. Приближенный метод решения этих уравнений, развитый Эйлером, позволял довести решение до числа и составить астрономические таблицы для Луны с точностью 0,5 дуговой минуты, что вполне удовлетворяло практику мореплавания того времени.

Как указывает академик Крылов, дифференциальные уравнения, рассмотренные в «Новой теории движения Луны», представляют «весьма общий случай уравнений нелинейных колебаний, причем требуется найти не только вынужденные колебания, но и свободные, и в нахождении этих последних, главным образом их частоты или периода, и заключается вся трудность».

Уравнения, рассмотренные Эйлером, являются столь общими, что изучение методов их интегрирования является актуальным для современной теории нелинейных колебаний.

6. Эйлер является основоположником гидромеханики идеальной жидкости. Он дал математически безупречное изложение основных теорем гидроаэростатики в форме, весьма близкой к современной, и разработал два метода изучения движения идеальной жидкости. Первый метод позволяет указать, что происходит в определенные моменты времени в некоторой фиксированной точке пространства, с какими скоростями и ускорениями проходят через эту точку различные частицы текущей жидкости. Этот метод, называемый во всех современных курсах гидродинамики методом Эйлера, был им впервые детально изложен в работе «Общие принципы движения жидкостей» опубликованной в трудах Берлинской Академии наук. Рассматривая элементарный параллелепипед с гранями dx, dy, dz, Эйлер находит, что ускорения частицы жидкости с массой р dx dy dz, где р— плотность жидкости, вдоль координатных осей Оx. Оу, Оz будут:2015-05-22 21-18-52 Скриншот экрана

где u. v, w— суть проекции вектора скорости на оси координат.

Ускоряющие силы (по Эйлеру, это силы, отнесенные к единице массы) вдоль соответствующих координатных осей будут соответственно:2015-05-22 21-23-43 Скриншот экрана

В параграфе XXI упомянутой работы Эйлер пишет: «Итак, нам нужно приравнять эти ускоряющие силы и действительные ускорения, которые мы только что нашли, и мы получим три следующих уравнения:

2015-05-22 21-30-27 Скриншот экрана

Если мы присоединим к этим трем уравнениям, во-первых, то, которое нам дано рассмотрением неразрывности жидкости:2015-05-22 21-09-15 Скриншот экрана

и, наконец, то, которое дает связь между давлением р, плотностью ρ и другим свойством Т (температурой), которое влияет на давление р, помимо плотности ρ, мы будем иметь пять уравнений, которые заключают в себе всю теорию движения жидкости».

В этой же работе Эйлер вводит понятие потенциала скоростей Ф и получает для случая несжимаемой жидкости дифференциальное уравнение, которому этот потенциал удовлетворяет. Это уравнение имеет вид:2015-05-22 18-44-06 Скриншот экрана

Таким образом, уравнение, которое все мы в настоящее время называем уравнением Лапласа, является открытием Леонарда Эйлера.

Пользуясь понятием потенциала скоростей, Эйлер находит для жидкости с постоянной плотностью интеграл гидродинамических уравнений в следующей форме:2015-05-22 18-39-36 Скриншот экрана

где U — потенциал внешних сил, V2=u2+v2+w2, а С(t), — некоторая функция времени, определяемая по начальным данным. Обычно в учебниках называют этот интеграл гидродинамических уравнений «интегралом Лагранжа», но его следует называть «интегралом Эйлера», так как к моменту опубликования работы Эйлера об общих принципах движения жидкости (1757) Лагранж (1736—1813) еще не имел каких-либо работ по гидродинамике.

Второй метод изучения движения идеальной жидкости дан Эйлером в работе «О принципах движения жидкости», опубликованной в Петербурге в 1770 году. В этом методе аналогично тому, как это делается в задачах динамики точки, рассматривается, что происходит с элементарной частицей жидкости с течением времени, какую траекторию частица описывает под действием внешних и внутренних сил, какие скорости и ускорения она имеет. Этот метод обычно неправильно называют методом Лагранжа, а уравнения, полученные этим методом, — уравнениями гидродинамики в форме Лагранжа. В самом деле, в главе VI указанной работы и названной Эйлером «De motn fluidorum ex statu initiali definiendo» получены основные дифференциальные уравнения гидродинамики и уравнение неразрывности в так называемых «переменных Лагранжа» значительно ранее соответствующих работ Лагранжа .

Уравнение непрерывности дано Эйлером  в том изящном виде, который приводится теперь во всех современных курсах гидродинамики, а именно:2015-05-22 18-34-01 Скриншот экрана

В примечаниях к книге английского баллистика Робинса «Новые начала артиллерии» Эйлер впервые дал доказательство теоремы, известной под названием «парадокса Даламбера» и утверждающей, что при безотрывном обтекании тела произвольной формы идеальной несжимаемой жидкостью результирующая сил гидродинамического воздействия потока на тело будет равна нулю. Доказательство основано на применении теоремы о количестве движения и близко к излагаемым в современных учебниках по гидродинамике. Более правильно результат этой теоремы называть «парадоксом Эйлера», тем более что физическая суть этого парадокса понималась Эйлером глубоко и отчетливо. Он, в частности, указывал, что наличие сил сопротивления давления в реальных задачах объясняется отрывом струй.

Существенный вклад внесен Эйлером в решение основной задачи внешней баллистики. Детальное рассмотрение законов движения, траекторий и скоростей точек, движущихся по баллистическим кривым в однородном поле силы тяжести при законе сопротивления вида  Q =kv2 или Q=k1v2 +k2v4 впервые осуществлено Эйлером. Эти результаты вошли сейчас во все руководства по внешней баллистике.
7. Остановимся кратко на работах Эйлера, связанных с созданием общих методов вариационного исчисления. Эти методы широко применяются в современной механике, и нам кажется, что в ряде новых разделов (механика тел переменной массы, теория автоматического регулирования и др.) этим методом предстоит плодотворное будущее.

В своих работах по вариационному исчислению Эйлер исходил из конкретных задач механики. Вариационным задачам или более обще — экстремальным задачам — Эйлер придавал необычайно широкое значение. Он писал: «Так как все явления природы следуют какому-нибудь закону максимума или минимума, то нет никакого сомнения, что и для кривых линий, которые описывают брошенные тела, если на них действуют какие-нибудь силы, имеет место какое-то свойство максимума или минимума.

...Подлежит рассмотрению главным образом эффект, происходящий от действующих сил; и так как он состоит в порожденном ими движении тела, то представляется сообразным с истиной, что это самое движение, или, точнее, совокупность всех движений, присущих брошенному телу, должна быть минимумом. Хотя может показаться, что это заключение недостаточно обосновано, однако если я покажу, что оно согласуется с истиной, уже известной a priori, то оно приобретет такой вес, что все сомнения, которые могли бы относительно его возникнуть, совершенно исчезнут. Более того, когда его истинность будет доказана, легче будет проникнуть в скрытые законы природы и конечные причины и подкрепить это утверждение убедительнейшими соображениями» .

В другой главе Эйлер пишет: «Уже давно все выдающиеся геометры признали, что метод, изложенный в этой книге, не только весьма полезен в самом анализе, но и в решении физических задач оказывает величайшую помощь.

Действительно, так как здание всего мира совершенно и возведено премудрым творцом, то в мире не происходит ничего, в чем не был бы виден смысл какого-нибудь максимума или минимума, поэтому нет никакого сомнения, что все явления мира с таким же успехом можно определить из причин конечных при помощи метода максимумов и минимумов, как и из самых причин производящих. Повсюду существуют столь яркие проявления этой истины, что для ее подтверждения нам нет нужды в многочисленных примерах; скорее надо будет направить усилия на то, чтобы в каждой области физических вопросов отыскать ту величину, которая принимает наибольшее или наименьшее значение: исследование, принадлежащее, по-видимому, скорее к философии, чем к математике. Итак, открыто два пути для познания явлений природы: один — через производящие причины, который обычно называют прямым методом, другой —  через конечные причины — и математик с равным успехом пользуется обоими».

Как известно из современных курсов вариационного исчисления, необходимое условие того, что функция у = у(х) дает экстремум интегралу (функционалу)2015-05-22 23-24-30 Скриншот экрана
состоит в том, что функция у = у(х) должна удовлетворять дифференциальному уравнению вида:

2015-05-22 23-25-27 Скриншот экрана
которое называют уравнением Эйлера.

Создание общей теории, охватывающей задачи на экстремум функционалов, является бесспорной заслугой Эйлера, который, исходя из известных решений частных задач о брахистохроне и отыскании кривой заданной длины, отделяющей от прямой максимальную площадь, дал этим результатам весьма общее и широкое толкование, положив тем самым начало новой научной дисциплине. Интересно отметить, что вывод уравнения Эйлера, дающего необходимое условие экстремума, получен методом замены кривой многоугольником с последующим переходом к пределу; развитие этого приема в XX веке привело к так называемым прямым методам вариационного исчисления. Вариационные задачи на условный экстремум (класса изопериметрических) были исследованы Эйлером с исчерпывающей полнотой.

8. Эйлеру принадлежит достаточно ясная и строгая формулировка интегрального принципа механики — принципа наименьшего действия. Правда, доказательство этого принципа построено на рассмотрении ряда частных задач, начиная с простейших, и современного читателя едва ли может удовлетворить. Но по сравнению с чисто качественными, мистически окрашенными суждениями Мопертюи формулировка Эйлера была значительным шагом вперед. Мы приведем здесь сначала рассмотрение простейшей частной задачи, решение которой, исходя из принципа наименьшего действия, совпадает с ранее известными решениями, полученными другими методами.

Пусть масса тела равна М, а его скорость равна v; тогда количество движения будет Mv, а будучи умножено на ds, даст так называемое действие или «совокупное движение тела на промежутке ds. «Теперь я утверждаю, — пишет Эйлер, — что линия, описываемая телом, будет такова, что среди всех других линий, содержащихся между теми же пределами, у нее будет минимум ∫Mvds, или так как М = const, то  ∫vds = minimum».

Учитывая, что ds = vdt, будем иметь:
М ∫ vds — J Mv2dt = 2 ∫T dt= minimum,
где T — кинетическая энергия тела. Таким образом, «для кривой, описываемой брошенным телом, сумма всех живых сил, находящихся в теле, в отдельные моменты времени будет наименьшей».

Высказанное здесь Эйлером утверждение есть не что иное, как принцип наименьшего действия в применении к простейшей задаче.
Если на тело силы не действуют, тогда v = const и, следовательно,
∫ds=s = minimum.

«Этот путь сам будет наименьшим среди всех, заключенных между теми же пределами, а значит, прямолинейным, совершенно так, как требуют первые основания механики». Далее Эйлер пишет: «Этот случай я привожу не потому, чтобы я думал подтвердить им мой принцип: тот же самый прямолинейный путь получился бы, какую бы я ни взял другую функцию от v вместо скорости  v, но, начиная с простейших случаев, лучше будет понять смысл этого согласия» .

Рассмотрев еще ряд частных задач механики и доказав «согласие установленного здесь принципа с истиной», Эйлер разделяет все задачи механики на два класса. Пользуясь современной терминологией, можно сказать, что движения первого класса происходят под действием сил, имеющих потенциал; движения второго класса это «те случаи движения брошенных тел, когда скорость тела не определяется одним только местом его пребывания; это бывает, либо если центры, к которым стремится тело, будут подвижны, либо если движение происходит в сопротивляющейся среде».

Для движений в потенциальных силовых полях Эйлер доказывает, что результаты, вытекающие из принципа наименьшего действия, согласуются с полученными непосредственно из уравнений движения. «Итак, этот принцип имеет столь широкое значение, что подлежащим изъятию представляется только движение, возмущаемое сопротивлением среды; ...Таким образом, если устранить всякое сопротивление движению брошенных тел, то всегда будет иметь место это постоянное свойство, что сумма всех элементарных движений будет наименьшей».

Из приведенных высказываний Эйлера следует, что содержание принципа наименьшего действия он понимал почти в современной формулировке. Последующие изыскания показали только необходимость более строгого рассмотрения геометрических свойств семейства допустимых кривых, так как для изоэнергетических траекторий сравнения вариации будут неизохронными.

9. Академик Пекарский так воссоздает образ Эйлера в своей «Истории Академии наук» : «У Эйлера было великое искусство не выставлять на показ своей учености, скрывать свое превосходство и быть на уровне всех и каждого. Всегда ровное расположение духа, веселость кроткая и естественная, некоторая насмешливость с примесью добродушия, разговор наивный и шутливый — все это делало беседу с ним столько же приятною, сколько и привлекательною. Чрезвычайная живость иногда была причиною, что он легко раздражался, но гнев проходил у него так же быстро, как появлялся, и он ни на кого не досадовал долго».

Работы Эйлера по механике открыли новые пути для этой науки, и их влияние на последующее развитие механики было весьма существенным. Следует отметить, что все наиболее известные русские механики XVIII века: С. К. Котельников, С. Е. Гурьев, М. Е. Головин и др. — были учениками Эйлера. Учебники по механике Котельникова и Гурьева написаны в принципиальном отношении под значительным воздействием основных работ Эйлера.

В многовековой истории науки Эйлер является чудесным и необъяснимым явлением по своей поразительной трудоспособности и гениальному дарованию аналитика, благодаря которым он оставил такое колоссальное научное наследство, такое обилие новых глубоких мыслей, методов, открытий, что трудно среднему человеку все написанное им прочесть и понять, хотя изложение Эйлера до наших дней является образцом ясности, точности и последовательности.

В течение всей своей творческой жизни, начиная с 1728 по 1783 год, ежегодно в трудах Петербургской Академии он помещал по нескольку мемуаров. После своей смерти он оставил в подготовленном для печати виде около 250 статей, которые публиковались в академических изданиях в продолжение более 40 лет.
Среди этих работ Эйлера нет ни одной, в которой не содержалось бы какого-нибудь нового открытия или нового метода исследования. Многие из этих открытий и методов прочно вошли в научную литературу с именем Эйлера. Так, например, во всех курсах современного математического анализа мы найдем формулы, выражающие тригонометрические функции через показательные; эти формулы называются формулами Эйлера.

Хорошо известна и широко используется теорема Эйлера об однородных функциях. В университетских курсах анализа изучаются бета- и гамма-функции, введенные Эйлером. В дифференциальной геометрии мы пользуемся формулами Эйлера для радиусов кривизны нормальных сечений поверхности в данной точке и его же формулами для главных радиусов кривизны поверхностей.

В теории дифференциальных уравнений широко используется метод интегрирования обыкновенных линейных дифференциальных уравнений — метод подстановок Эйлера и изучаются классы дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных), впервые обследованные в работах Эйлера.

Эйлер много сделал для разъяснения сути теоремы о кинетическом моменте, показав плодотворность ее применения в задачах динамики твердого тела. В современной технической литературе мы используем турбинное уравнение Эйлера и формулу Эйлера для сил на концах приводного ремня, охватывающего цилиндрический шероховатый вал с заданным коэффициентом трения. Ряд результатов, полученных впервые Эйлером, излагается в учебниках и монографиях как открытия других авторов. Так, систематическое применение естественного трехгранника в задачах механики и геометрии приписывается различным авторам (Дарбу, Резалю и др.); преобразования прикосновения в теории уравнений с частными производными известны как преобразования Лежандра, а методы интегрирования дифференциального уравнения колеблющейся струны целиком отдаются Даламберу и Фурье, хотя здесь Эйлером получен целый ряд первоклассных новых результатов. При решении дифференциальных уравнений первого порядка Эйлер даёт метод характеристик. Он же открыл цилиндрические функции, известные как функции Бесселя. Совершенно правильно профессор Ф. И. Франкль (Ф. И. Франкль, Об исследованиях Л. Эйлера в области теории уравнений в частных производных. Историко-математические исследования, вып. VII, стр. 596—624) называет Эйлера основоположником теории уравнений в частных производных.

Проницательный ум Эйлера видел и понимал, какой тончайший инструмент дает человечеству анализ бесконечно малых, как удивительно гибко и точно может передать он в логически безупречной символике сущность процессов, как могуч и разносторонен становится ученый, овладевший этим методом.

Непрерывно совершенствуя новый инструмент познания, открывая и обосновывая новые математические методы, Эйлер решал необозримое количество частных задач, с удовлетворением убеждаясь, что такое содружество «правил и примеров» совершенствует теорию не меньше, чем формально логические исследования над математическими объектами.

Иногда он ошибался. Но стремление найти истину было для него высшим смыслом всей жизни, и он возвращался к ряду научных проблем многократно, исправляя ранее написанное, дополняя открытое новыми доказательствами, отметая то, что оказалось ложным.

Казалось, что нет проблем, которые были бы ему не под силу. Но Эйлер был гений, и вот что он писал в «Новой теории движения Луны»: «Точное и совершенное познание движения Луны, на основании которого можно было бы составить астрономические таблицы, точнейшим образом согласующиеся с истиной, сопряжено с такими существенными и величайшими трудностями, что представляется превосходящим силы человеческого ума». «...Сколько раз в продолжение сорока лет я ни пытался развивать теорию Луны и определять, на основании законов тяготения, ее движение, всякий раз возникали такие трудности,, что мне приходилось прерывать работу и дальнейшее исследование...» «Недавно я вновь стал заниматься этим вопросом, и, по обстоятельном обсуждении всех этих трудностей, я понял, что всю работу надо начать заново на совершенно других основаниях, чтобы достигнуть цели с большим успехом».

Как мы указывали, этот новый подход к решению проблемы движения Луны, потребовавший «громадного труда и утомительных вычислений», таких, что «едва ли существует какой-либо аналитический вопрос, доселе рассмотренный, который потребовал бы столь сложных исследований и столь длинных вычислений», все же не мог удовлетворить Эйлера.

Это постоянное стремление к более высоким вершинам науки, этот терпеливый, ежедневный, настойчивый труд человека внешне спокойного, но одержимого неутомимой жаждой творчества и страстью искателя истины — страстью, горевшей до последних дней жизни, когда он, по выражению Кондорсе, «перестал вычислять и жить», можно, вероятно, сравнить только с творчеством титанов науки Архимеда и Галилея.

Как одно из свидетельств поразительной трудоспособности Эйлера биографы приводят выполненные Эйлером в три дня в 1735 году сложные вычисления астрономических таблиц по заданию Географического департамента, на которые другие академики требовали несколько месяцев. Эта работа была необычайной по напряженности даже для Эйлера. Он заболел «нервной горячкой», потребовавшей нескольких месяцев лечения. «Такая одержимость и напряжение в работе просто не знакомы ученым нашей эпохи; по-видимому, здесь мы имеем непонятный нам случай доведенного до предела нервного напряжения, более которого человеческая природа не может выдержать и за которым начинается уже фактическое разрушение организма».

Следует отметить, что из-за своей всепоглощающей сверхърассудочной страсти к исследованиям Эйлер потерял в 1738 году правый глаз, работая над географическими картами России по заданиям того же Географического департамента. Он писал 21 августа 1740 года академику Гольбаху, который тогда был конференц-секретарем Академии наук: «География мне гибельна. Вы знаете, что я за нее поплатился глазом, а теперь опять нахожусь в подобной опасности. Когда мне сегодня утром прислали часть карт на просмотр, то я тотчас же почувствовал новый припадок, потому что эта работа, требуя всегда рассмотрения одновременно большого пространства, сильнее утомляет зрение, чем простое чтение или одно писание. По этой причине я покорнейше прошу Вас быть ко мне столько добрым, чтобы через усердное ходатайство у г. президента уволить меня от этой работы, которая не только мешает моим обыкновенным занятиям, но и легко может меня сделать совсем неспособным».

В 1771 году Эйлер после удачно проведенной операции по снятию катаракты левого глаза не выдержал положенного времени, начал интенсивно работать и почти совершенно ослеп. В последующие годы он диктовал открываемые новые результаты своим ученикам и помощникам, все увеличивая темп своей творческой работы, не отвлекаясь от нее мелочами жизни.

Интеллектуальная собранность и, по-видимому, строжайшее расписание в работе давали такую производительность научного труда, которая кажется невероятной для сил одного человека. Одаренность, чувство ответственности перед грядущими поколениями ученых и удовлетворение от многочисленных важных открытий создавали у него такой замечательный симбиоз гения и труда, который приводил к непрерывному совершенствованию и развитию этой редкостной личности в истории человеческой культуры.

Характерным для творчества Эйлера является стремление объять предмет исследования в целом, систематизировать имеющиеся знания с единой, преимущественно аналитической точки зрения и, решая новые реальные задачи, выдвигаемые развитием науки и техники, совершенствовать и сам метод математического анализа. В подавляющем большинстве его работ математика есть не только метод исследования, но и нераздельная, неотъемлемая часть науки о реальных формах движения материи. Поэтому Эйлер является не только автором многих чисто математических открытий, но и основоположником новых наук о природе. В самом деле, большие монографии Эйлера заложили основные принципы и исходные уравнения в механике твердого тела, гидродинамике, теории движения Луны, теории устойчивости корабля и других научных дисциплин. Искренний и горячий интерес к научным изысканиям, твердая воля и решительность в преодолении возникающих трудностей, плодотворность новых идей, кристальная ясность изложения вот стиль большинства работ Леонарда Эйлера.

Эйлер обладал обширной памятью; он хорошо знал «лучших писателей древнего мира», древнюю и современную литературу по математике, историю, языки — древние, восточные, европейские, и в том числе русский. По рассказу Фусса,  Эйлер не только мог без ошибки прочитать всю «Энеиду», но и назвать первые и последние стихи на каждой странице того ее издания, которым он сам пользовался.

Конечно, все эти факты лишь внешнее описание того, что видели современники Эйлера и о чем можно догадываться, созерцая с изумлением изданные громадные тома «Opera omnia». Вероятно, мы никогда не познаем механизма человеческого творчества.

На заре развития математического анализа Эйлер первым оценил величайшее могущество нового метода для задач теоретической механики. Теория дифференциальных уравнений и вариационное исчисление есть вполне адекватный математический аппарат для познания сущности большого класса механических движений. Именно поэтому Эйлеру и удалось раздвинуть границы механики до пределов, о которых в те годы ученые даже и не мечтали, исследовать много новых механических задач и получить прямым, ясным и необычайно отчетливым способом классические результаты.

Стихийная творческая сила этого человека, его одержимость научными изысканиями, его напряженный, не прекращавшийся до последнего дня жизни труд являются выдающимися во всей многовековой истории науки. Наверно, о таких людях, как Эйлер, говорил индийский мудрец: «Он — нить, пронизывающая все эти мысли, каждая из которых — жемчужина».