Работы по механике С.К. Котельникова

Одним из наиболее образованных русских механиков-теоретиков XVIII века был ученик Леонарда Эйлера, в дальнейшем ординарный академик Семен Кириллович Котельников (1723—1808). С. К. Котельников, сын рядового лейб-гвардии Преображенского полка, учился в хорошо известной школе современника Петра I — Феофана Прокоповича. Феофан Прокопович учредил свою школу преимущественно для бесприютных и детей бедняков и принимал самое живое участие как в образовании, так и в последующей судьбе своих воспитанников. В этой школе изучались: закон божий, грамматика, риторика, логика, история, география, арифметика, геометрия, рисование, языки — русский, латинский и греческий. В 1741 году Котельников поступил в гимназию при Академии наук, а в 1742 году перешел в академический университет. В университете посещал лекции академика Рихмана по физике и математике, а впоследствии, когда избрал себе специальностью физику, слушал лекции у М. В. Ломоносова. «В математических науках Котельников оказывал блестящие успехи, и проф. Рихман отдавал ему преимущество перед другими студентами. С такою же похвалою отзывался и профессор Крузиус об успехах Котельникова в латинском языке и в изучении римских писателей» ( М. И. Сухомлинов, История Российской Академии, вып. III, 1876).

Для усовершенствования в физико-математических науках Котельников в 1751 году был отправлен к Л. Эйлеру, который состоял в то время членом Берлинской Академии наук.

В журнале академической канцелярии 1 марта 1751 года отмечено: «Понеже студент Котельников разными специменами себя оказал, что он под предводительством искусного геометра еще далее в том произойти может, того ради определено: быть ему адъюнктом, и послать его в город Берлин к профессору Эйлеру при рекомендации...» Пробыв некоторое время в Лейпциге, Котельников в 1752 году прибыл к Эйлеру. Эйлер сообщал в письме к Шумахеру: «Сюда благополучно прибыл господин Котельников. Он остался совершенно доволен комнатою, которую мы ему приготовили, обедает он также с нами. Кажется, что он свое время в Лейпциге употреблял с пользою, и я вижу, что в математике он приобрел очень хорошие основания и в короткое время пойдет далее... Сколько заметил, у него прекрасные способности и стало быть я надеюсь, что он мне принесет честь» (П. Пекарский, История императорской Академии наук, т. I. стр. 273).

Когда в 1753 году из Русской Академии наук попросили Эйлера рекомендовать какого-либо ученого для занятия академической кафедры механики, то он ответил: «Еще не имею никаких известий о способном механике и чем далее, тем более сомневаюсь, найдется ли такой, за которого бы мог заслужить признательность. Лучше всего будет заместить это место способным русским... Котельников по своим знаниям и дарованиям гораздо выше ученых вроде Кюна, Керстнера и других, которых Академия хотела вызвать на вакантные места академиков». Ломоносов также поддержал кандидатуру Котельникова, и 14 декабря 1756 года состоялось следующее постановление: «Понеже Академии наук адъюнкт Семен Котельников, будучи при Академии, а потом в чужих краях, преизобрел достаточное знание, так что заслужил звание профессорское; к тому же он состояния честного и трезвого, которого невозможно без того оставить, чтоб не окуражить его, по его достоинству, высочайшее ее императорского величества милостью и для того определено: быть ему экстраординарным профессором высшей математики» (М. И. Сухомлинов, История Российской Академии, вып. III, 1876, стр. 14). В 1760 году С. К. Котельников утверждается ординарным профессором Академии наук, т. е. становится академиком.

В академическом университете Котельников вел интенсивную преподавательскую деятельность, читая лекции по различным отделам математики и механики. Так, в объявлении о лекциях 1757 года мы читаем: «Семен Котельников, высшей математики, экстраординарный профессор, слушателям своим, в простой геометрии и алгебре довольно упражнявшимся, подавать будет наставление о дифференциальных и интегральных выкладках, предложив наперед некоторые основания алгебры и кривых линий, кои могут служить вместо введения к помянутым выкладкам». В объявлении 1766 года: «Семен Котельников профессор высшей математики, по окончании первых оснований механики, продолжать будет по порядку и прочие прикладной математики части, то есть идростатику, идравлику и оптику».

Как результат научной и педагогической работы С. К. Котельникова появился его труд «Книга, содержащая в себе учение о равновесии и движении тел». В этой книге излагаются основные законы движения, хотя главное содержание книги посвящено статике. Поясняя цели и задачи книги, автор пишет: «Некоторые разделили ее (механику) на две части и каждую продали особливо; одну назвали Статикою, другую Механикою (В те времена очень часто динамику называли механикой). В статику включили одно только учение о действии сил, поколику они с тяжелыми телами в равновесии; а в механику — одно чистое учение о движении тел. Но как все тела из покоя переходят к движению, а из движения к покою, то сии оба учения также совокуплены между собою союзом, что одного без другого понять не всегда удобно можно, и одна наука другой подает великую помощь, где которая из них потребуется. Чего ради я и принял заполезно совокупить обе сии науки и предложить вместе» (Л. Эйлер говорит: «Итак, движение и покой противоположны друг другу только по названию, но не по существу дела... Движение отличается от покоя не в большей мере, чем одно движение от другого». См. его «Основы динамики точки», переведенные на русский язык в 1938 г.).

В построении и содержании книги ясно можно проследить влияние фундаментальных работ Л. Эйлера по динамике точки и динамике твердого тела. К чести Котельникова, следует сказать, что высокий математический уровень работ Л. Эйлера был ему вполне доступен, и, по нашему мнению, книга С. К. Котельникова является наиболее оригинальной и наиболее высокой по научному уровню среди других работ по механике, опубликованных в России в XVIII веке.

Книга Котельникова, излагающая «учение о движении и равновесии тел», состоит из 15 глав:
«1. О первых основаниях сего учения.
2. О количестве движения, и о сравнении путей, пройденных телами.
3. О махинах вообще.
4. О действии сил на одну точку, когда она в равновесии.
5. О центре сил, в одной точке действующих.
6. О действии сил на прямую линею.
7. О центре тягости, и о центре сил, действующих на прямую линею.
8. О действии сил на кривую линею.
9. Содержащая приклад доказанных выше оснований, а особливо разрешения сил.
10. О действии сил на точку, прилежащую к твердой и неподвижной линее.
И. О простых махинах, служащих к составлению сложных.
12. О крепости тел.
13. О крепости столпов.
14. О трении в махинах.
15. В прибавление ко главе 9 (к § 166)».

С.Котельникова "Учение о движении и равновесии тел" (1774 г.)

Титульный лист книги С.Котельникова «Учение о движении и равновесии тел» (1774 г.)

В главе 1 излагаются основные определения и аксиомы, многие из них почти дословно совпадают с эйлеровыми. Глава вторая посвящена простейшим выводам из закона количества движения для тел, двигающихся поступательно прямолинейно и равномерно. В этой главе интересно отметить чисто ньютонианское утверждение: «Тягости тел содержатся между собою, как количества в них материи».
Для пояснения Котельников пишет: «По многочисленным
опытам известно, что падающие тела вниз перпендикулярно своею тягостию перелетают в равные времена равные пространства, исключив сопротивление воздуха. Ибо в пустом от воздуха месте и свинец, и легкое перо в одно время падают, почему заключается, что все падающие тела имеют одинаковую скорость. Следовательно, моменты или количества движения содержатся между собою, как количества материи. Но как силы, производящие движения, пропорциональны количествам движений; следовательно, в сем случае будут оные силы содержаться между собою, как количества материй. А силы, производящие в телах движение, суть самые тягости тел, чего ради тягости тел количествам материй оных тел пропорциональны; то есть тягости тел содержатся между собою, как количества материй».

В «Присовокуплении первом» отрицается влияние геометрической формы тела на величину силы тяжести. «...Тело переменяет свою тягость, когда убудет или прибудет в нем количества материи. Чего ради переменою фигуры тягость тела не переменится, ежели в количестве материи никакой перемены нет».

Все остальные 12 глав отводятся изложению законов равновесия материальных тел и рассмотрению простых машин: рычага, ворота, блока, зубчатых колес, наклонной плоскости, клина и винта. Доказательства, относящиеся к равновесию простых машин, основываются на простейшей формулировке принципа возможных перемещений (часто называемого «золотым правилом» механики). Автор формулирует его так: «Во всякой махине произведение из движимой ею тягости и скорости движения тягости равно произведению из действующей махиною силы и скорости силы». Доказательство, основанное на динамических соображениях, очень просто и наглядно. Котельников говорит: «Понеже в махине сила и тягость должны быть равны. А количество движения тягости равно тягости, помноженной на ея скорость, количество движения силы равно оной силе, которой мера есть также тягость, помноженной также на ея скорость: чего ради ежели тягость положить = Р, скорость ея = v, силу = Q, скорость ея =w, то будет Р • v = Q • w».

Глава 5 посвящена простейшим частным задачам теории потенциала. Решены задачи о притяжении внешней точки однородными диском, сферической оболочкой, шаром и отрезком в предположении, что для любых точечных масс сила притяжения определяется законом Ньютона.

Следует отметить в этой главе следующую более трудную задачу: «Вопрос VII. Ежели точка А будет притягаема ко всем точкам кривой линеи ВМ, силами пропорциональными какой-либо функции своих расстояний от пункта А, найти среднее направление и равнодеющую силу».

Из частных задач на равновесие большое число их относится к равновесию нитей. Так, например, в главе 9 (стр. 73—100) предлагаются следующие вопросы: «Вопрос XXIV. Ежели
цепь или веревка повешена будет за концы С и D и сделает выгиб CAD своею тягостию; спрашивается, какую кривую линию сделает оный выгиб. Вопрос XXVI. Ежели направления сил, которыми повешенная нить AM оттягивается, будут по линее МС к неподвижной точке С, и величина оных сил изобразится функциею оныя прямая линея МС; спрашивается, какая та будет кривая линея, которую выгиб нити делает».

Определив, что форма равновесия нити в однородном поле сил тяжести есть цепная линия, Котельников замечает: «Сия линея называется catenaria или funicularia, то есть происшедшая от цепи или веревки. Способ начертить оную хотя и не принадлежит сюда, а больше до геометрии, однако для удовольствия читателя приложу. Оный способ есть следующий, а изобретатель оного есть Лейбниц, славный оный философ и математик».

В заключение этого отдела (стр. 90 книги) Котельников указывает на практические приложения теории равновесия нитей: «Приложенные по сие место вопросы могут быть полезны во многих случаях. Например, можно исследовать наперед сколько натянуть можно в каком случае цепь или канат, и как далеко его длина простираться может, чтобы не порвался он от собственной своей тягости: такожде ежели бы понадобилось, где сделать висячий мост, то можно наперед вычислить, есть ли возможность и какая должна быть крепость в связках частей, и как велик будет вгиб, чтобы ходить или ездить удобно было. При сем должно знать крепость союза в частях разных металлов, дерев и других материй». Далее в книге приводится таблица предельных нагрузок для проволок, деревянных брусьев и канатов, которые, очевидно, получены экспериментально.

В механике Котельникова приведены решения некоторых задач, относящихся к строительной практике, например: «§ 165. Вопрос XXVII. Какая должна быть толстота стен, чтобы на оных поставить свод толстоты данной»; «§ 295. Вопрос IV. Определить крепость столпа везде одинаковой толщины, чтобы от налегающей тягости не погнулся».

При решении задач о равновесии нити, изгибе колонны и др. Котельников со знанием дела, весьма умело применяет дифференциальное и интегральное исчисление, решает дифференциальные уравнения и обнаруживает обстоятельное знакомство с трудами Эйлера, Лейбница, Вольфа, Мушенброка и др. В частности, из опытов Мушенброка заимствован ряд таблиц по испытанию различных металлов и пород дерева на растяжение, изгиб и сжатие.

Отметим, в главе 12, посвященной изучению «крепости тел», очень интересное «Мнение», что «всякое тело твердое состоит из волокон, соединенных между собою по длине своей....» «Сие доказывают дерева, которые колются и щепляются вдоль на весьма тонкие волокна. Мне случилось видеть при опытах о замораживании жидких тел, что воздухом разбило цилиндр из самого твердого дерева на столь тонкие волокна, что оные своею тонкостию может не превышали, но, конечно, сравниться могли с самою тонкою нитью, чего бы никогда человеческие руки не могли сделать, ибо сие дерево на тонкие щепины не колется. Оный цилиндр был сделан из буксового дерева. О металлах известно, что вытягиваются весьма тонко, что может то же мнение и о металлах быть принято».

В 14 главе книги рассматриваются законы трения скольжения. «Все те, которые старалися испытать трение, доказывают, что оное не зависит ни от величины тела, ни от фигуры, ниже от пространства трущихся взаимно поверхностей; но единственно от силы, которою тела прижимаются. Амонтон утверждает, что трение тела, движущегося на ровной горизонтальной поверхности, всегда равно третией доле той силы, которою прижимается к горизонтальной площади; но испытатели трения в опытах своих находят несогласие; ибо поверхности тел принимают разные степени гладкости, по прилежанию и искусству художников; да и самые приемы в делании оных могут произвести сию небольшую разность. Однако, можно на том положиться верно, что трение не больше 1/3 и не меньше ¼ помянутой силы».

Физическая картина возникновения сил трения скольжения изложена Котельниковым достаточно ясно. «Трение примечается всегда, ежели одно тело должно движимо быть на другом волоком, как бы поверхности оных гладки ни были. Ибо сообщенное телу движение вскоре прекращается без возобновления. Чем меньше трение, тем меньше и силы надобно для подвижения тела на ровной горизонтальной поверхности. И конечно, можно бы самое тяжелое тело, самою малою двигнуть силою, ежели бы не было трения. ...Материалы, из которых делаются махины, как-то: дерева и металлы, не могут столь гладко быть вышлифованы, чтобы на поверхностях оных никаких не осталося неравностей. Оставшиеся после полировки неравности задевают, когда одно тело о другое трется, и тем причиняют в движении препятствие, что для преодоления его требуется немалая сила. Чего ради художники, которые трудятся в соделании махин, прилагают всевозможное старание выработать части махин глаже, чтобы уменьшить трение» .

Подробная разработка Котельниковым вопросов статики обусловлена его личными научными интересами. Он опубликовал несколько работ по механике в трудах Петербургской Академии, наиболее важная из которых носит название: «О равновесии сил, приложенных к телам».

В основу этой работы положен динамический принцип Мопертюи — Лагранжа, пользуясь которым Котельников формулирует следующий принцип равновесия для точки: «Сумма действия всех сил, приложенная к точке, должна быть минимальной, если силы находятся в равновесии».

Преподавательская и научная деятельность Котельникова проходила под значительным влиянием Эйлера, который в 1766 году снова возвратился в Петербург. При изложении основных принципов механики Котельников во многом следует Эйлеру и его симпатии находятся на стороне картезианцев. И Эйлер, и Котельников придают исключительное значение непроницаемости, т. е. тому свойству тел, «в силу которого в одном и том же месте не могут находиться одновременно два или большее количество тел». «Это свойство, — говорит Эйлер, — я бы не поколебался признать за сущность тел». Этим же свойством Эйлер и Котельников объясняют возникновение сил.

«Возникают ли силы из непроницаемости или из чего-нибудь другого? Если допустить, что они произошли из чего-нибудь иного, то их возникновения, по крайней мере мысленно, можно было бы избежать, и тогда получилось бы, что при наличии непроницаемости не наступило бы никакого изменения состояния и, следовательно, тела должны были бы пройти одно сквозь другое. Так как последнее противоречит условию, то остается принять, что рассматриваемые силы вызваны непроницаемостью» (Л. Эйлер, Основы динамики точки, 1938, стр. 336). Такое объяснение механического взаимодействия, которого придерживался и Котельников, исходит из отрицания пустого пространства Ньютона. С. К. Котельников — первый представитель кинетического обоснования механики среди ученых-механиков России.

Исследования Эйлера и интенсивная преподавательская деятельность Котельникова привели к тому, что уровень преподавания механики и развития механических знаний в России к концу XVIII столетия стал сравним с уровнем западноевропейским.

Так, например, если взять широко известную в те годы за рубежом механику Фергюссона («Механика» Фергюссона была переведена на русский язык Л. Собакиным и издана в Петербурге в 1787 году), содержащую «лекции о разных предметах, касающихся до механики, гидравлики и гидростатики, как-то: о материи и ее свойствах, о центральных силах, о механических силах, о мельницах, о кранах, о тележных колесах, о машине колотить сваи, и о гидравлических и гидростатических машинах вообще»,, то научный уровень этого учебника значительно ниже книги Котельникова.

С. К. Котельниковым, кроме «Механики», были изданы еще следующие работы: «Арифметика, или первые основания математических наук» (1763), «Молодой геодет, или первые основания геодезии» (1765)—и ряд речей по общим вопросам науки. Котельников много работал и как профессор и как общественный деятель. Он первый публичный лектор Академии наук по чистой и прикладной математике, он заведующий гидрографическим департаментом, директор гимназии при Академии наук. В морском шляхетном кадетском корпусе Котельников обучал математическим и навигационным наукам. К концу своей жизни Котельников много занимался лингвистикой, принимая активное участие в составлении словаря русского языка.