Аналитическая механика системы точек и твердых тел до начала Великой Отечественной войны

В  Советском Союзе в довоенный период развивались вариационные методы, велась работа по построению аналитической механики в новых переменных (групповых, неголономных). В этих исследованиях сказывалось влияние геометрических тра­диций, идущих от Н. И. Лобачевского (1792—1856). Они складывались в новое своеобразное направление, возник­шее первоначально в Казани, затем в Москве (школа Н. Г. Четаева).

Рассмотрим некоторые направления ис­следований в области неголономной механики.

На основе разработанной дифференциальной геометрии неголономных многообразий можно получить уравнения движения механической системы. Эти уравнения были выведены советским ученым В. В. Вагнером в локальных координатах.

Следующим этапом было решение двух вопросов: о допустимых траекториях неголономной механи­ческой системы и о методах интеграции ее уравнений движения.

Ответ на первый вопрос таков; всегда суще­ствует такая траектория в неголономном многообразии, которая соединяет любые две его точки. В порядке ответа на второй вопрос было показано, что всегда возможен такой выбор локальных координат, который принципи­ально упрощает интеграцию уравнений движения. На­пример, в случае инерциального движения система ло­кальных координат может быть выбрана так, что все пер­вые интегралы задачи получаются из условия постоянст­ва компонентов скорости в этой системе.

Эти результаты не остались без применения к тради­ционным задачам механики.

В. В. Вагнер успешно иссле­довал такими методами задачу С. А. Чаплыгина о плос­ком неголономном движении, изучал свойства фазового пространства в эйлеровом случае движения твердого тела вокруг неподвижной точки, рассмотрел и новые задачи неголономной механики.

В. В. Добронравов подробно рас­смотрел вопрос о применении неголономных координат и последовательно провел все построение аналитической ме­ханики в этих координатах. Ряд основных результатов прежней теории остался в силе, некоторые из них оказа­лись верными только с известными ограничениями. Такие ограничения выделяют классы механических систем, име­ющие определенный интерес.

К рассматриваемому направлению относятся многочис­ленные работы, в которых либо исследуются возможности обобщения результатов и методов голономной механики на неголономные системы, либо методы неголономной ме­ханики применяются для углубленного исследования голономных систем. Значительное внимание было уделено анализу понятия виртуального перемещения и вопросу об условиях перестановочности операций виртуального и действительного перемещений.

В значительной мере смыкаются с неголономной меха­никой важные исследования Н. Г. Четаева (1902—1959), связанные с применением и обобщением вариационного принципа Гаусса.

В 1932—1933 гг. в небольшой статье «О принципе Гаус­са» Четаев обобщил понятие о возможных перемещениях, что позволило устранить противоречие между принципом Гаусса и принципом Даламбера — Лагранжа, возникшее в аналитической механике при переходе от исследований линейных неголономных систем к нелинейным неголономным системам.

Вместе с тем Четаев обобщил понятие освобождения материальных систем от связей, лежащее в основе прин­ципа Гаусса.

Четаев высказал новую точку зрения на освобождение материальных систем, понимая под осво­бождением системы всякое ее преобразование, подчиняю­щееся определенному математическому алгоритму. В даль­нейших работах Н. Г. Четаева и его школы с этой точки зрения был рассмотрен широкий круг вопросов. Укажем в качестве примера работы Н. Г. Четаева и Т. Н. Пожарицкого о механических системах с неидеальными свя­зями. Эти исследования находят применение в теории автоматического регулирования.

Основополагающими работами в области аналитической механики являются исследования советских ученых по уравнениям динамики в групповых переменных. В 1927— 1928 гг. Четаев вывел уравнения Пуанкаре в новой, ка­нонической форме и обобщил их на случай нестационар­ных связей. Эти результаты были им развиты в 1941 г. Было показано, писал Четаев, что «весьма интересная мысль Пуанкаре о применении групп Ли в динамике может быть развита на случай зависимых переменных, когда группа возможных перемещений интранзитивна».

К исследованиям Четаева примыкают интересные рабо­ты советских ученых — М. Ш. Аминова и А. А. Богояв­ленского.

Еще одно направление, в котором развивались иссле­дования по аналитической механике,— применение поня­тия теоретически устойчивых движений к исследованию действительных движений механики.

Основные работы и здесь принадлежат Н. Г. Четаеву, который высказал и развил идею о возможности создания аналитической ме­ханики на основе отбора истинных состояний движения из всех возможных движений, обладающих устойчивостью того или иного характера. Эта идея была развита Четаевым в работах 1931—1945 гг.

Сформулировав задачу об устойчивости механических систем, Четаев дает строгое доказательство того, что для невозмущенных движений в случав их устойчивости в первом приближении урав­нения Пуанкаре в вариациях будут иметь лишь нулевые характеристические числа. Если невозмущенное движение устойчиво, то соответствующие уравнения в вариациях приводятся к системе уравнений с постоянными коэффи­циентами.

В механике твердого тела в мировой науке на первый план выдвигались вопросы, связанные с гироскопией. Со­ветская механика была представлена в этой области А. Н. Крыловым и большой группой ученых, сформиро­вавшихся уже в советское время (В. В. Булгаков, А. Ю. Ищлинский и др.).

Ссылаясь на достижения в годы Великой Отечественной войны и на блестящие успе­хи в мирное время в освоении космического пространст­ва, можно считать неоспоримым, что как гироскопическая техника, так и подкреплявшая ее теория уже тогда за­нимали то выдающееся положение, которое они сохраня­ют по сей день. Это верно и для такой почти сливаю­щейся с математикой области, как теория динамических систем. Благодаря работам Московской математической школы по качественной теории дифференциальных урав­нений в СССР были быстро освоены новые топологиче­ские методы исследования, и в 30-е годы советские уче­ные создали ряд выдающихся работ по общей теории динамических систем.

В теории устойчивости тоже тесно переплетаются раз­работка общих математических методов и исследование более конкретных механических проблем. Задачи, выдви­гаемые различными областями техники, заставили занять­ся, помимо статической, и динамической устойчивостью не только в рамках аналитической механики неизменяе­мых систем, но и в теории упругости, в механике жид­костей и газов.

Потребовалось применение более строгих математических методов, поэтому были широко использо­ваны замечательные результаты Ляпунова и началось дальнейшее развитие его методов.

Оказалось целесообраз­ным применение в различных вопросах разных характеристик устойчивости. Формируется новая научная школа, разрабатывающая этот обширный цикл вопросов. В нее входят и специалисты по небесной механике, для кото­рых устойчивость по Ляпунову, т. е. по отношению к возмущениям начальных данных, имеет особо важное зна­чение (Московская школа — Н. Д. Моисеев, Г. Н. Дубошин, Н. Ф. Рейн и др.), и ученые, занимавшиеся общими методами аналитической механики и теории дифференци­альных уравнений (Казанская школа — Н. Г. Четаев, Г. В. Каменков, И. Г. Малкин, К. П. Персидский и др.).

Особенно бурно и широко развивалась теория колеба­ний, в которой методы Ляпунова тоже нашли плодотвор­ное применение.

Нелинейные колебания, изучение кото­рых стало первоочередной задачей к началу 20-х годов, стали в сущности предметом новой научной дисциплины, получившей название нели­нейной механики.

Уже к началу 30-х годов советская механика занимает в этой области ведущее положение благодаря трудам школы Л. И. Мандельштама (1879— 1944), Н. Д. Папалекси (1880—1947), А. А. Андронова (1901—1952), широко применявшей методы Ляпунова и Пуанкаре, и трудам Н. М. Крылова (1879—1955) и Н. Н. Боголюбова, использовавших главным образом асимптотические методы, родственные методам небесной механики. Развитие современной теории нелинейных ко­лебаний в ряде других стран, например в США, нача­лось с изучения переводных трудов советских ученых.