Связь между прикладными задачами и теоретическими обобщениями в русской механике второй половины XIX — начале XX вв. получила также яркое выражение в работах по теории упругости и сопротивлению мате­риалов.

Развитие теории упругости в России тесно связано прежде всего с именем М. В. Остроградского, который опубликовал две статьи о малых колебаниях неограни­ченной изотропной упругой среды при данном начальном ее возмущении: «Об интегрировании уравнений в част­ных дифференциалах, относящихся к малым колебаниям упругой среды» (1831) и «Мемуар об интегрировании уравнений в частных дифференциалах, относящихся к ма­лым колебаниям упругих тел» (1833).

После М. В. Остроградского большой вклад в дальней­шее развитие теории упругости и сопротивления мате­риалов внесли его ученики Д. И. Журавский, Г. Е. Паукер, а также А. В. Гадолин, X. С. Головин, В. Л. Кирпичев, Ф. С. Ясинский и многие другие.

Д. И. Журавский (1821—1891) — воспитанник Инсти­тута инженеров путей сообщения и сам инженер по специальности был основоположником русской школы мостостроения. В работе «О мостах раскосной системы Гау» (СПб., 1855—1856) он первый дал теорию расчета мостовых ферм и формулу для расчета балок на изгиб при наличии скалывающих напряжений в них.

Крупнейшие иностранные ученые-механики, в том чис­ле Сен-Венан, отметили значение работ Журавского по теории изгиба. В ряде курсов вывод, полученный Журав­ским, называется теоремой Журавского.

Позднее, во вто­рой половине XIX — начале XX в. среди русских мосто­строителей особо выделялись профессора Н. А. Белелюбский (1845—1922) и Л. Д. Проскуряков (1858—1926).

Белелюбский построил первую в России лабораторию по испытанию материалов и провел большие работы по оп­ределению механических характеристик цемента и бетона.

Проскуряков первым в России начал применять фер­мы с треугольной решеткой.

Профессор Инженерной академии и почетный член Петербургской академии наук Г. Е. Паукер (1822—1889), создатель первоклассных военных и портовых сооруже­ний и большого числа гражданских зданий, автор перво­го в России курса «Строительной механики» (СПб., 1891), произвел ряд исследований по расчету сводов и глубины залегания мостовых опор. В 1849 г. он опубли­ковал большую работу «О проверке устойчивости цилин­дрических сводов».

С именем профессора Артиллерийской академии ака­демика А.В. Гадолина (1828—1892) связаны многочисленные усовершенствования в артилле­рии.

Разработкой прикладных вопросов теории упругости занимался военный инженер X. С. Головин (1844— 1904). В работе «Одна из задач статики упругого тела» (1880) он впервые дал расчет арки методами теории упругости. В этой работе Головин рассматривает плоскую задачу об изгибе бруса, на внешнем радиусе которого приложены силы, распределенные по определенному за­кону, а на внутреннем радиусе внешние силы отсутствуют.

Большие заслуги в развитии механики и сопротивле­ния материалов имеет В. Л. Кирпичев (1845—1913), обу­чавшийся в Михайловской артиллерийской академии и в ней же начавший в 1868 г. преподавательскую дея­тельность.

В 1885 г. он был поставлен во главе вновь учрежден­ного Харьковского технологического института, а в 1898 г.— Киевского политехнического института; в орга­низации этих институтов он принял активное участие. В Петербургском политехническом институте, где он пре­подавал с 1903 г., Кирпичев создал лабораторию при­кладной механики, где под его руководством проводились научные исследования, в частности, изучение деформаций оптическим методом.

Кирпичев написал ряд учебников, среди них «Сопротивление материалов» (СПб., 1884), «Основания графической статики» (СПб., 1902) и широко известные «Беседы о механике» (СПб., 1907).

Значительный вклад в развитие теории упругости, со­противления материалов, статики сооружений внес Ф. С. Ясинский (1856—1899). Большая часть научных исследований Ясинского связана с его инженерной дея­тельностью. В 1893 г. он опубликовал большую работу «Опыт развития теории продольного изгиба». Он разраба­тывал также теорию устойчивости упругих стержней.

В начале своей научной деятельности теорией упру­гости занимался В. А. Стеклов (1864—1926).

Вопросы устойчивости упругих систем приобрели в XX в. огромное значение для различных областей техни­ки, поэтому многие русские ученые занимались реше­нием связанных с этой проблемой задач. Важные резуль­таты были получены С. П. Тимошенко, кото­рый до 1919 г. преподавал в Петербургском и Киевском политехнических институтах. До отъезда из России (в 1920 г.) Тимошенко написал много работ по теории устойчивости стержней, пластин, оболочек. За исследова­ние «Об устойчивости упругих систем» (1910) Тимошенко был удостоен премии имени Д. И. Журавского. В этой, а также некоторых других работах Тимошенко развил прием исследования, сходный с приближенным методом Рэлея — Ритца для определения частот колебаний в упругих системах.

Помимо большого числа научных ис­следований, Тимошенко опубликовал замечательные ру­ководства по сопротивлению материалов (1911) и теории упругости (1914), которыми до сих пор пользуются в высших учебных заведениях.

Оригинальный приближенный метод интегрирования дифференциальных уравнений теории упругости был раз­работан профессором Петербургского политехнического института и Морской академии И. Г. Бубновым (1872— 1919). Впервые этот метод Бубнов описал в 1911 г. в от­зыве на только что упомянутое сочинение Тимошенко, представленное на премию имени Журавского. Затем Бубнов использовал свой метод для решения задач на устойчивость пластин, важных в расчетах обшивки ко­рабельного корпуса. Такие задачи разобраны в известном курсе Бубнова «Строительная механика корабля» (СПб., 1912).

Бубнову, как и А. Н. Крылову, принадлежат очень большие заслуги в теории и практике кораблестрое­ния. В частности, он явился в России пионером строи­тельства подводных лодок, первая из которых была спу­щена на воду в 1903 г.

Дальнейшее развитие метод Бубнова получил в тру­дах Б. Г. Галеркина (1871—1945), прежде всего в статье «Стержни и пластинки» (1915).

Метод Бубнова—Галер­кина, представляющий собой широкое обобщение метода Рэлея — Ритца, получил большое распространение и при­меняется теперь также к ряду задач вариационного ис­числения, функционального анализа и математической физики.

В связи с потребностями кораблестроения теорией уп­ругости занимался и А. Н. Крылов. В частности, ему принадлежит (1905) подробное исследование вынужден­ных колебаний стержней постоянного сечения с помощью метода, который Пуассон применил в случае свободных колебаний.

Целый ряд задач теории упругости — по устойчивости стержней и пластин, вибрациям стержней и дисков и пр.— решил в 1911—1913 гг. профессор Горного и металлургического института в Екатеринославе (ныне Днепро­петровск) А. Н. Дынник (1876—1950).

К 1914 г. относится начало работ по теории упруго­сти Л. С. Лейбензона — прежде всего по устойчивости упругого равновесия длинных сжатых стержней с пер­воначальным кручением около прямолинейной оси стер­жня, а затем по устойчивости сферической и цилиндри­ческой оболочек. Практическое значение первой задачи ясно из того, что всем известные теперь сетчатые башни системы В. Г. Шухова составлены из закрученных пря­молинейных образующих.

Исследованиями в области теории упругости занимался в начале XX в. и С. А. Чаплыгин. К 1900 г. относятся его рукописи «Деформация в двух измерениях» и «Давление жесткого штампа на упругое основание», которые впервые были напечатаны лишь в 1950 г. В этих статьях Чаплыгин разработал метод решения плоской задачи теории упругости, основанный на применении теории функ­ций комплексного переменного.

Аналогичный метод ре­шения плоской задачи теории упругости был разработан Г. В. Колосовым, который в 1909 г. опубликовал весьма важную работу «Об одном приложении теории функций комплексного переменного к плоской задаче математической теории упругости», где установлены формулы, выра­жающие компоненты тензора напряжений и вектора сме­щения через две функции комплексного переменного, аналитические в области, занимаемой упругой средой.

В 1916 г. метод Колосова был применен к тепловым на­пряжениям в плоской задаче теории упругости Н. И. Мусхелишвили.