Методы приближенных вычислений

Большой цикл работ А. Н. Крылова относится к разработ­ке методов приближенных вычислений, особенно методов чис­ленного интегрирования обыкновенных дифференциальных урав­нений. В одной из своих статей Алексей Николаевич указывает, что «при производстве всяких численных вычислений надо руководствоваться правилом: точность вычисления должна соответ­ствовать точности данных и той практической потребности, для которой вычисление производится. Этим правилом надо руковод­ствоваться и при численном интегрировании уравнений; соблюдение его значительно сберегает труд и время».

Первое издание его книги «Приближенные вычисления» вы­шло в 1911 году, четвертое — в 1949 году. В русской литературе эта книга является выдающейся. С поразительной ясностью и полнотой излагает Алексей Николаевич весьма обширный мате­риал, начиная с указаний пользования таблицами логарифмов и общих приемов приближенных вычислений и кончая подробным исследованием различных способов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В большинстве глав Алексей Николаевич после критической оценки существую­щих методов численного решения вопросов дает свой собствен­ный метод, преимущества которого иллюстрируются многочис­ленными примерами. Укажем, что в мировой литературе по при­ближенным вычислениям метод Адамса-Штермера с дополнениями А. Н. Крылова является наиболее точным и экономным.

Трудно переоценить влияние этого сочинения Крылова на весь культурный облик наших проектных организаций и вычисли­тельных бюро. Все научные работники в области механики дол­жны всегда помнить указания А. Н. Крылова о том, что «мера и число должны лежать в основе всякого дела». Получение же числа без знания методов приближенных вычислений ведет к ма­лопродуктивной, утомительной работе, характеризующей не сущ­ность дела, а некультурность выполняющего эту работу. В совре­менных математических исследованиях доминирующее значение уделяется вопросам установления основных понятий, аксиом, до­казательствам существования. Часто теоретическая возможность получения результата каким-либо процессом отождествляется с практической возможностью достижения этого результата. Как известно всем механикам, это далеко не одно и то же. Состав­ленный Крыловым «...курс лекций о приближенных вычислениях и имеет целью показать: действительно применимые практиче­ские приемы и способы вычисления корней численных уравнений, вычисления определенных интегралов, пользования тригономет­рическими рядами и приближенного решения дифференциальных уравнений». Проработав книгу А. Н. Крылова, можно вполне овладеть практически эффективными методами числовых рас­четов.

Две статьи Крылова, опубликованные в 1931—1933 годах, до­полняют его курс анализом приближенного решения векового уравнения и уравнения колебаний специального типа. Решением векового уравнения занимались знаменитейшие математики XVIII и XIX столетий. Достаточно указать Лагранжа, Лапла­са, Леверье и Якоби. Эти математики доказали много теорем, относящихся к детерминантам, но кратчайший метод вычисле­ния детерминантов достаточно высокого порядка этими исследо­ваниями все же не был установлен. Главное неудобство векового уравнения для системы с k-степенями свободы состоит в том, что члены вида (аi1—λ2i) стоят по диагонали детерминанта. При развертывании такого детерминанта приходится пользоваться методом Леверье или методом Якоби, сильно усложняющимися при увеличении порядка детерминанта. А. Н. Крылов, пользуясь некоторыми соображениями профессора Коркина, представляет вековое уравнение в таком виде, что члены (аi1— λ2i) располага­ются только в одном первом столбце определителя, все же осталь­ные элементы этого определителя — известные постоянные, опре­деляемые условиями задачи. Получение векового уравнения в численном виде становится значительно проще, так как детерми­нант легко разлагается по элементам первого столбца.

В целом ряде технических задач приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями вида:

y" + n2y + α f (y) + γ F (y') = 0,                           (5)

где n2 — заданная постоянная, f (y), F (y')— известные целые функции, определяемые физическими условиями задачи, числа α, γ —суть достаточно малые постоянные параметры. А. Н. Кры­лов развивает подробную теорию интегрирования уравнения (5), обращая особое внимание на случаи, когда или α = 0 или γ = 0. Основная идея интегрирования заключается в разложении ис­комой функции и величины nв ряды по степеням малых пара­метров. Так, например, для случая γ=0 разложения до членов порядка k относительно α будет:

2015-10-17 06-51-37 Скриншот экрана

Этот метод имеет существенное преимущество перед други­ми методами, так как в решении члены с множителями t навер­няка исключены. Примеры, просчитанные Алексеем Николаеви­чем, показывают, что его метод гораздо эффективнее других ведет к цели.

А. Н. Крылов является автором книги «О некоторых диффе­ренциальных уравнениях математической физики, имеющих приложения в технических вопросах». Содержание книги по­священо главным образом изложению методов интегрирования дифференциальных уравнений, предложенных классиками мате­матики: Коши, Пуассоном и Фурье. Для них «главная цель со­стояла в нахождении решения, а не в безукоризненно строгом его обосновании и не в доказательстве его существования в общем случае...» Крылов же «...имел в виду дать слушателям, озна­комив их с трудами великих авторов, образцы решений могущих встретиться в их практике вопросов и выяснить возможность и всеобщность тех явлений, которые известны под общим названи­ем «резонанса».

В книге изложены наиболее важные и эффективные с точки зрения приложений методы математической физики: первый и второй методы Пуассона, приложения теории функций комплекс­ного переменного к интегрированию линейных дифференциаль­ных уравнений, метод Коши, метод  Даламбера и метод Фурье.

Теория проиллюстрирована прекрасно подобранными примера­ми из самых различных отделов техники. Здесь и колебания струны при разных граничных условиях, и задача о распрост­ранении тепла в пруте, и поперечные колебания упругого стержня, и радиальные колебания полого цилиндра. На всем изложении лежит печать большого мастера. Самые трудные вопросы теории дифференциальных уравнений в частных произ­водных Алексей Николаевич сумел изложить строго научно и совершенно доступно инженерам.

При изложении величайших дости­жений математики А. Н. Крылов умеет показать «почву», из ко­торой эти методы и приемы выросли. Связь с жизнью народа, связь с техникой и промышленностью устанавливается на образ­цах самых жизненных и плодотворных методов. Прикладное зна­чение математических методов — применимость их в самых раз­нообразных областях техники — вот руководящая идея матема­тических воззрений А. Н. Крылова. Живости и наглядности из­ложения существенно помогают примеры из технической практи­ки всего мира. Образный, простой язык, чисто русский юмор, какая-то торжественность и величавость стиля делают чтение ра­бот Алексея Николаевича особенно интересным. Это как бы бесе­да с большим человеком нашей эпохи, много видевшим и по-свое­му воспринявшим многоликую жизнь, приблизившим теоретиче­скую механику к реальным нуждам развивающейся русской промышленности.