Архимед


АРХИМЕД (ок. 287—212 до н. э.)

АРХИМЕД (ок. 287—212 до н. э.)

  Архимед — подлинный основатель теоретической ста­тики и гидростатики.

Уже на самых первых этапах научной деятельности, по-видимому, механика интересовала Архимеда больше всего, причем переход к теоретическим обобщениям шел от чисто прикладных вопросов. Но и позже, помимо тео­ретических исследований в области математики, физики и механики, Архимед занимался вопросами прикладной механики, в частности, в связи с потребностями обороны его родного города Сиракузы. Он обогатил античную тех­нику большим количеством замечательных изобретений.

Древние авторы приписывали Архимеду изобретение так называемой улитки — водяного винта, служившего для поливки полей в Египте (правильнее говорить в этом случае об его усовершенствовании). Рассказывают также, что при помощи механических приспособлений Архимед передвигал по суше тяжело нагруженный корабль сиракузского тирана Гиерона. Свидетельства древних расхо­дятся в том, каковы были эти приспособления, одни го­ворят о рычаге, другие — о полиспасте, третьи — о зубчатых колесах, четвертые — о колесах, т. е. указывают поч­ти все так называемые простые машины. Во время осады Сиракуз римлянами, по рассказу Плутарха (в биографии Марцелла), жители города применяли для обороны воен­ные машины, сооруженные по указаниям Архимеда: ору­дия, метавшие снаряды, поворотные краны («клювы»), низвергавшие огромные камни на вражеские корабли, привязанные к цепям железные лапы, которые захваты­вали нос корабля и ставили корабль вертикально на корму.

Из сочинений Архимеда, посвященных механике, до нас дошли трактаты в двух книгах «О равновесии плос­ких фигур, или о центрах тяжести плоских фигур», трак­тат «О плавающих телах» также в двух книгах и «Эфод, или послание к Эратосфену о механических теоремах».

Первыми сочинениями Архимеда по механике были «Книга опор» и «О весах». Поскольку они до нас не дошли, об их содержании можно судить лишь по ссылкам в более поздних работах Герона и Паппа, а также по комментариям Евтокия и Симпликия. Анализ упомяну­тых сочинений показывает, что во время их написания Архимед еще не знал, что вес тела можно считать скон­центрированным в его центре тяжести, хотя и пользо­вался последним понятием. Понятие о центре тяжести появилось у Архимеда в итоге практического изучения распределения груза между опорами. Рассматривая давление балки на опоры, Архимед приходит, правда, к не­верным результатам, но отсюда он перешел к одноопорной балке — рычагу. Эти ранние работы интересны тем, что в них, кроме понятия центра тяжести, появляется и понятие центра момента. Папп приводит следующее определение Архимеда для центра тяжести: «Центром тяжести некоторого тела называется некоторая расположенная внутри него точка, обладающая тем свойством, что если за нее (мысленно) подвесить тяжелое тело, то оно останется в покое и сохранит первоначальное положе­ние». Из комментария Евтокия известно определение центра момента. «Архимед называет центром момента плоской фигуры точку, при подвешивании за которую фигура остается параллельной горизонту; центром мо­мента двух или более плоских фигур он называет точку подвеса рычага, остающегося параллельным горизонту, если прикрепить к его концам указанные фигуры».

Теория центра тяжести с точки зрения практиче­ской механики, возможно, была развита в дошедшей до нас в виде отдельных фрагментов книге «О рычагах». Математическое изложение теории центра тяжести, оче­видно, впервые приведено также в не дошедшем до нас трактате «О равновесии», значительно большем по объе­му, чем «О равновесии плоских фигур».

В первой книге трактата «О равновесии плоских фи­гур» изложена теория равновесия рычага. Однако этот трактат имеет гораздо более важное значение: это осно­вы общей теории равновесия, построенной на системе ак­сиом.

Исходя из действительных и простейших фактов опы­та, Архимед сумел обобщить эмпирический материал тех­ники и привести его с помощью математики в научную систему.

Теория рычага основана на следующих предпосылках, которые Архимед считает очевидными:

«1. Равные тяжести на равных длинах уравновешива­ются, на неравных же длинах не уравновешиваются, но перевешивают тяжести на большей длине.

 2. Если при равновесии тяжестей на каких-нибудь длинах к одной из тяжестей будет что-нибудь прибавле­но, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, к которой было прибавлено.

 3. Точно так же, если от одной из тяжестей будет отнято что-нибудь, то они не будут уравновешиваться, но перевесит та тяжесть, от которой не было отнято.

4.  При совмещении друг с другом равных и подобных плоских фигур совместятся друг с другом и их центры тяжести.

 5. У неравных же, но подобных фигур центры тяже­сти будут подобно же расположены.

 6. Если величины уравновешиваются на каких-нибудь длинах, то на тех же самых длинах будут уравновеши­ваться и равные им.

 7. Во всякой фигуре, периметр которой везде выпукл в одну и ту же сторону, центр тяжести должен находить­ся внутри фигуры».

Заметим, что когда Архимед говорит о действии на ры­чаг подвешенных грузов (тяжестей), он основывается на свойствах центра тяжести, понятие которого считает известным; это также говорит в пользу предположения о том, что этот трактат был не первым его механическим сочинением.

В частности, предполагается, что центр тяжести тела, свободно висящего на нити, располагается на линии нити и что подвешенные тела действуют на рычаг в точке подвеса весом, сосредоточенным в центре тяжести. В после­дующих доказательствах Архимед имеет дело лишь с ве­сами тел и их центрами тяжести.

Далее Архимед доказывает семь теорем, первые три из которых разъясняют смысл сформулированных выше предпосылок. Так, теорема III гласит: «Неравные тяже­сти будут уравновешиваться на неравных длинах, причем большая тяжесть на меньшей длине».

В теореме IV определяется центр тяжести системы двух тел: «Если две равные величины не имеют одного и того же центра тяжести, то для величины, составленной из обеих этих величин, центром тяжести будет середина пря­мой, соединяющей центры тяжести этих величин».

В теореме V Архимед применяет этот метод к систе­ме трех тел, расположенных так, что центр тяжести сред­него из них находится в середине отрезка, соединяюще­го центры тяжести крайних. Согласно этой теореме центр тяжести такой «составной величины» совпадает с центром тяжести среднего тела.

Особо можно выделить теоремы VI и VII, в которых формулируется и доказывается основной закон рычага.

Теорема VI формулируется следующим образом: «Соиз­меримые величины уравновешиваются на длинах, которые обратно пропорциональны их тяжестям».

В теореме VII закон равновесия рычага распространяется на случай несоизмеримых фигур. В теореме I второй книги трактата этот закон распространяется на слу­чай криволинейных квадрируемых фигур.

Помимо вышеуказанных принципов, Архимед пользуется в ходе доказательств еще одним, который, однако, в числе исходных предпосылок явно не фигурирует. Этот принцип можно сформулировать следующим образом: равновесие рычага не нарушится, если груз, подвешен­ный в точке А рычага, заменить двумя равными грузами половинного веса, точки подвеса которых расположены симметрично относительно точки подвеса замещаемого груза. Это положение мы будем называть принципом замещения. Хотя в ходе доказательств принцип замещения Архимед применяет с достаточной отчетливостью, однако он оградил бы свое сочинение от упреков самых требова­тельных критиков, если бы вставил его в число своих исходных предпосылок.

Заметим также, что аксиомы Архимеда являются пер­вым существенным шагом в развитии понятия момента силы. Архимед с достаточной ясностью отмечает, что действие подвешенного груза на рычаг пропорционально его весу и расстоянию точки подвеса от точки опоры рычага.  Оставалось лишь найти форму этой зависимости — и Архимед ее нашел. Он доказал, что действие подвешенного груза  на рычаг прямо пропорционально величине груза и расстоянию точки приложения от неподвижной опоры рычага.

«Вникнув в сущность архимедовых аксиом,— писал академик А. Н. Крылов,— мы видим, что он ввел здесь новый элемент, производящий движение, именно произведение силы на ее расстояние до точки опоры,— то, что было впоследствии названо моментом силы и что произ­водит вращательное движение тела». Первая книга трактата «О равновесии плоских фигур» заканчивается определением центров тяжести параллелограмма, треугольника и трапеции.

Во второй книге трактата Архимед переходит к опре­делению центров тяжести фигур, образуемых при пересе­чении параболы прямой. Доказывается ряд теорем (предложений) например: «Если две площади, ограниченные (каждая) прямой и параболой и могущие быть приложен­ными к заданной прямой, не имеют одного и того же центра тяжести, то для величины, составленной из них обеих, центр тяжести будет на прямой, соединяющей их центры тяжести, причем вышеупомянутую прямую он разделит та­ким образом, что ее отрезки будут обратно пропорцио­нальны этим площадям».

«У всякого сегмента, ограниченного прямой и парабо­лой, центр тяжести делит диаметр сегмента так, что при­лежащий к вершине сегмента отрезок в полтора раза больше отрезка у основания».

Эти предложения тесно связаны с работами Архимеда по геометрии. Примером применения теоретических поло­жений механики к геометрии может также служить опре­деление площади сегмента параболы, основанное на зако­не рычага и теоремах о центре тяжести плоских фигур, которое приведено в математическом сочинении Архиме­да «Квадратура параболы». О тесной связи методов меха­ники и математики в творчестве Архимеда свидетельст­вует «Эфод, или послание к Эратосфену о механических теоремах». В этом произведении механика рассматрива­ется как средство решения геометрических задач. Прав­да, Архимед не считал механический метод строгим, он рассматривал его как удобный прием для получения неко­торых геометрических результатов, которым после этого надлежало дать строгое геометрическое доказательство.

Среди теорем «Эфода» большой интерес представляет лемма о центре тяжести конуса, для доказательства ко­торой Архимед разбивает конус плоскостями, параллельными основанию, на тонкие диски равной высоты. Нахож­дение центра тяжести конуса сводится к нахождению центра тяжести сегмента параболы.

Другим замечательным трудом Архимеда по механике является его более поздний трактат «О плавающих телах». Существует предположение, что это была вообще его последняя работа. Согласно легенде, Архимед при­шел к открытию своего основного гидростатического закона случайно, решая задачу о составе короны, которую царь Гиерон заказал сделать из золота, но подрядчик изготовил из сплава золота и серебра.

Античная легенда рассказывает о повелении Гиерона и о случайном наблюдении Архимеда, принимавшего ванну. В действительности же открытие основного закона гидростатики было итогом многовековых эмпирических наблюдений и целой цепи теоретических размышлений.

Представление о частицах жидкости, выталкиваемых более плотными телами, напоминает теории древних ато­мистов. У Архимеда также находят более правильную и точную формулировку соображения Аристотеля о равновесии и движении тел в различных материальных средах. В основу всех его выводов положена следующая гипотеза: «Предположим, что жидкость имеет такую природу, что из ее частиц, расположенных на одинаковом уровне и прилежащих друг к другу, менее сдавленные выталкиваются более сдавленными, и что каждая из ее частиц сдавливается жидкостью, находящейся над ней по отвесу, если только жидкость не заключена в каком-нибудь сосуде и не сдавливается еще чем-нибудь другим».

В первых двух предложениях трактата Архимед устанавливает шарообразность свободной поверхности воды, окружающей Землю, и совпадение центра этого шара с центром Земли. Опираясь на эти предпосылки и исходя из того, что поверхность жидкости имеет сферическую форму, Архимед доказывает следующие положения:

  1. Тела, равнотяжелые с жидкостью, будучи опущены в эту жидкость, погружаются так, что никакая их часть не выступает над поверхностью жидкости, и не будут двигаться вниз (предложение III).
  2. Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, не погружается целиком, но некоторая часть его остается над поверхностью жидкости (предло­жение IV).
  3. Тело, более легкое, чем жидкость, будучи опущено в эту жидкость, погружается настолько, чтобы объем жид­кости, соответствующий погруженной (части тела), имел вес, равный весу всего тела (предложение V).
  4. Тела, более легкие, чем жидкость, опущенные в эту жидкость насильственно, будут выталкиваться вверх с си­лой, равной тому весу, на который жидкость, имеющая равный объем с телом, будет тяжелее этого тела (пред­ложение VI).
  5. Тела, более тяжелые, чем жидкость, опущенные в эту жидкость, будут погружаться, пока не дойдут до са­мого низа, и в жидкости станут легче на величину веса жидкости в объеме, равном объему погруженного тела (предложение VII).

Далее исследуются вопросы равновесия и устойчивости плавающих тел. Основным методом исследования являет­ся способ возмущения состояния равновесия.

Все положения трактата доказываются с помощью еди­ного приема определения центра тяжести всего тела и выступающей части и центра тяжести объема погружен­ной части тела. Условием равновесия тела является рас­положение этих точек на одной отвесной линии, когда си­ла тяжести и сила гидростатического давления, действуя в противоположные стороны вдоль одной прямой, взаимно уравновешиваются при погружении тела в жидкость. Рав­новесие устойчиво, если при отклонении тела от положе­ния равновесия оно стремится возвратиться в это поло­жение.

Во второй части трактата рассматриваются разнооб­разные случаи равновесия и устойчивости плавающих в жидкости сегментов сферы и параболоида вращения.

«Эта книга,— писал Лагранж,— является одним из пре­краснейших памятников гения Архимеда, она содержит в себе теорию устойчивости плавающих тел, к которой современные ученые прибавили лишь очень немного».

Интересно, что методы, применявшиеся в теории ко­рабля в XVIII в. и позже, имеют немало общего с ар­химедовским методом изучения плавания сегмента пара­болоида. Однако Архимед рассмотрел только частные слу­чаи. не создав общей теории.

Несмотря на замечательные исследования Архимеда по гидростатике, мы встречаем в античной науке и после него весьма смутные, а нередко и ложные представления о гидростатических явлениях.

Правильные представления о давлении внутри жидко­сти были достигнуты лишь в XVI—XVII вв. на основе  работ Галилея, Паскаля и Стевина.