Статика. «Механические проблемы»

К эпохе античности относится выделение статики в особую теоретическую дисциплину, которую древние на­зывали «искусством взвешивать» и ставили рядом с ариф­метикой («искусством считать»).

Статика принадлежала к тем естественнонаучным дисциплинам, которые в Древней Греции подвергались наибольшей математизации. Ярким примером этого может служить статика Архимеда, созданная по образцу геомет­рии Евклида.

К античной эпохе восходит зарождение двух направ­лений в статике: кинематического и геометрического.

Первое направление, как видно, возникло из практики пользования простыми механизмами (рычагом, наклонной плоскостью и др.) для передвижения и поднятия грузов. При этом законы равновесия тел изучались путем рас­смотрения того, что происходит при нарушении равнове­сия, например, рассматривали неуравновешенный рычаг, т. е. рычаг в движении. Вывод основных теорем статики в этом случае был связан со скрыто или явно принимае­мыми допущениями из области динамики.

Второе направление развивалось в связи с расчетом равновесия архитектурных конструкций: балок, плит и т. п., подпертых в одной или нескольких точках, а также равновесия подвешенных тяжелых тел, т. е. всевозмож­ных видов весов (но в таких вопросах использовались и кинематические соображения). При исследовании стремились свести задачу к схеме неподвижного и уравнове­шенного рычага. С геометрическим направлением статики связано возникновение понятия центра тяжести.

Начало кинематического направления в статике восхо­дит к «Механическим проблемам» псевдо Аристотеля. Геометрическое направление связано прежде всего с именем Архимеда.

«Механические проблемы» — самое давнее дошедшее до нашего времени античное сочинение собственно по механике. Долгое время оно припысывалось Аристотелю. На самом деле «Механические проблемы» были написаны в начале III в. до н.э. в эллинистическом Египте. На это указывает, например, упоминание о приводящих друг друга в движение бронзовых или железных колесах в святилищах: такие колеса находились в египет­ских храмах.

Трактат состоит из 36 глав и содержит перечисление и описание ряда механизмов: рычага, колодезного журав­ля с противовесом, равноплечих весов, неравноплечих ве­сов — безмена, клещей, клина, топора, кривошипа, вала, колеса, катка, полиспаста, гончарного круга, руля и т. д. Не только задачи, но нередко и их решения даются в форме вопросов, т. е. лишь намечаются или даются пред­положительно.

Центральная тема трактата — принцип рычага, кото­рый автор рассматривает как универсальный принцип статики. Поэтому основным содержанием «Проблем» является описание различных видов рычага, к которым сво­дятся описанные механизмы. Так, например, автор гово­рит: «Почему два человека, неся одинаковую тяжесть на шесте или на чем-либо подобном, испытывают одинако­вую нагрузку только тогда, когда груз находится посре­дине, и испытывают нагрузку тем большую, чем ближе груз к одному из несущих? Не потому ли, что шест при этих условиях становится рычагом, груз — гипомохлием (точкой опоры) и из носильщиков — тот, кто находится ближе к грузу, становится грузомприводимым в движе­ние, а второй грузом, приводящим в движение? Ведь чем дальше этот второй находится от переносимого груза, тем легче он движет и тем более давит книзу на другого, как если бы налегающая тяжесть давила в противоположном направлении и стала гипомохлием. А если груз помещается в середине, то один не оказывается тяжестью для другого и не движет другого, и тот  и другой уравновешиваются взаимно». Здесь мы встречаем следующий  вопрос: «Почему малый руль, привешенный на корме ко­рабля, имеет столь большую силу?.. Быть может, потому, что руль есть рычаг, а рулевой есть то, что приводит его в действие? Стало быть место, где он прикреплен к кораблю, становится точкой опоры, руль в целом — ры­чагом, море — грузом, а рулевой — движущей силой».

Попытка более широкого обобщения сделана уже на первой странице сочинения. «Механические проблемы» начинаются словами: «Удивление вызывают из происходящих сообразно природе те явления, причина которых остается неизвестной, а из происходящих вопреки приро­де те, которые производятся искусством на благо людям... Таковы случаи, когда меньшее одолевает большее и обла­дающее малой силой приводит в движение большие тяже­сти, и вообще почти все те проблемы, которые мы назы­ваем механическими». И несколько далее: «К затруднени­ям подобного рода относятся и вопросы о рычаге, ибо кажется несообразным, что большая тяжесть приводится в движение малой силой, и это при еще большей тяже­сти. Ведь без рычага привести в движение такую тяжесть нельзя, а прибавив тяжесть рычага, можно привести в движение быстрее. Начало причины всего этого заключе­но в круге и недаром: ибо вполне оправдано, если что — либо удивительное происходит от чего-то еще более удиви­тельного. Но наиболее удивительно совместное возникно­вение противоположностей, а круг слагается из таковых. Ведь он сразу же возник из движущегося и покоящегося, чьи природы противоположны друг другу».

Основная часть рассуждений автора сводится к тому, чтобы показать, что один и тот же груз движется тем быстрее, чем дальше он находится от точки опоры рыча­га, т. е. плечо рычага описывает тем большую дугу, чем оно длиннее.

«Многое удивительное происходит с движениями кру­гов от того, что на одной и той же линии, проведен­ной из центра, ни одна точка не движется с равной ско­ростью, но всегда более далекая от неподвижного конца движется быстрее....»

Круговое движение точки рассматривается как состоя­щее из двух движений: тангенциального «сообразно природе» и центростремительного «вопреки природе», которое отклоняет точку от ее естественного прямого пути; откло­няющее движение «вопреки природе» в большом круге меньше, чем в малом. Поэтому за один и тот же проме­жуток времени точка, более удаленная от центра круга, будет двигаться быстрее и опишет большую дугу, чем менее удаленная.

Далее автор переходит к рассмотрению общего закона рычага, показывая, что равновесие грузов Р1 и Р2 на его концах зависит от скоростей v1 и v2, которые грузы получают при перемещении концов. Свойство рыча­га связывается со свойством коромысла весов. Весы рас­сматриваются как прямой равноплечий рычаг первого рода.

Это подтверждает предположение, что закон рычага, по всей вероятности, был практически осознан прежде всего при взвешивании грузов на коромысловых весах (безменах).

«Почему малые силы, как уже было сказано вначале, движут при помощи рычага большие грузы, несмотря на прибавление веса рычага? Ведь легче двигать меньшую тяжесть, а она меньше без рычага. Не оттого ли, что причиной является рычаг, который представляет собой коромысло весов, имеющее веревку снизу и разделенное на неравные части? В самом деле, точка опоры рычага становится здесь заменой веревки, поскольку и та и дру­гая остаются неподвижными в качестве центра. А так как под действием разных тяжестей быстрее движется большая линия, проведенная из центра (в рычаге же имеются три вещи: точка опоры, веревка и центр, во-первых, и во-вто­рых, и в-третьих, две тяжести — движущая и движимая), то поэтому приводимая в движение тяжесть так относит­ся к приводящей в движение, как одна длина к другой, но в обратном отношении; ведь всегда, чем дальше она отходит от точки опоры, тем быстрее движется. Причи­на же заключается в сказанном раньше: дальше уходя­щая из центра описывает больший круг. Таким образом, при одной и той же силе движущая тяжесть, дальше отстоящая от точки опоры, пройдет больше».

Таким образом, если груз А закреплен на конце рыча­га, то вращать этот груз тем легче, чем дальше от точки опоры движущий груз В. Этот факт автор «Механических проблем» связывает с тем, что движущий груз, укреп­ленный на большом плече, будет иметь большую скорость v по отношению к движимому, а следовательно, и боль­ший путь.

Большинство остальных глав трактата посвящено при­менению правила рычага и решению разнообразных тех­нических задач. Рассматриваются действие гребного весла и руля, действия колес тачки и колесницы, военных ме­тательных машин, условия равновесия тяжелой балки на одной опоре (плечо носильщика) и т. д.

Большой интерес вызывают соображения автора «Ме­ханических проблем» о сложении движений. Можно ду­мать, что принцип параллелограмма скоростей и переме­щений как в форме сложения, так и в форме разложе­ния движений был известен древним ученым в достаточ­но развитом виде. В «Механических проблемах» говорит­ся: «Большая линия в равное время описывает больший круг, ибо наружный круг больше внутреннего. Причина этого заключается в том, что линия, описывающая круг, перемещается двумя движениями. Итак, когда она пере­мещается при определенном соотношении между обоими, она движется необходимо по прямой, и эта прямая ста­новится диагональю той фигуры, которая образуется из линий, сочетаемых в указанном соотношении».

Анализ способа построения касательной к спирали в книге Архимеда «О спиралях» говорит о том, что Архимеду также был известен закон сложения скоростей. Наконец, вся эллинистическая астрономия при описании движений небесных тел основывается на правилах сложе­ния круговых движений.