Методы Мещерского для изучения движения точки переменной массы

Магистерская диссертация И. В Мещерского (фото с экземпляра, подаренного автором Н. Е. Жуковскому).

Магистерская диссертация И. В Мещерского (фото с экземпляра, подаренного автором Н. Е. Жуковскому).

Дадим краткую характеристику новых методов изучения движения точки переменной массы, предложенных Мещерским в его работе «Динамика точки переменной массы». В этой рабо­те Мещерский подверг особо тщательному анализу тот случай движения точки переменной массы, когда относительная скорость отбрасываемых частиц равна нулю. Исходное уравнение в этом случае будет совпадать со вторым законом Ньютона. Если для такого класса задач допустить, что равнодействующая внешних сил пропорциональна массе точки, то мы получим, что результи­рующее ускорение точки не зависит от закона изменения массы. Таким образом, «при действии сил, равнодействующая которых пропорциональна массе точки, точка переменной массы, по како­му бы закону ее масса ни изменялась при отсутствии ударов, дви­жется так же, как движется точка постоянной массы при дей­ствии тех же сил и при тех же начальных данных».

Мещерский подверг обстоятельному исследованию движение точки переменной массы под действием центральных сил, зало­жив тем самым основы небесной механики тел переменной мас­сы. Если закон изменения массы точки известен, то для исследо­вания геометрических, кинематических и динамических характе­ристик движения весьма плодотворным оказался метод отобра­жения движения, впервые предложенный Мещерским. Идея ме­тода состоит в следующем: находятся такие преобразования пе­ременных реальной задачи к новым переменным в некотором вспомогательном пространстве, при которых в этом новом про­странстве уравнения движения точки переменной массы перехо­дят в уравнения движения «отображенной» точки постоянной массы. Между элементами движения вспомогательной точки в преобразованном («искаженном») пространстве и элементами движения реальной точки формулами преобразования устанав­ливается простое соответствие.

Проиллюстрируем этот метод на следующей задаче: опреде­лить движение точки, притягиваемой к началу координат силой, пропорциональной массе точки и обратно пропорциональной квадрату расстояния от выбранного начала, предполагая, что масса точки увеличивается по закону:

2015-10-18 04-50-38 Скриншот экрана и абсолютная скорость присоединяющихся частиц равна нулю.

Векторное уравнение движения точки можно написать в виде

2015-10-18 05-17-03 Скриншот экрана (1)

Так как в этом случае траектория точки есть плоская кривая, то, располагая оси Ох и Оу в этой плоскости и проектируя на эти оси уравнение (1), получим следующие два скалярных уравнения:

2015-10-18 05-19-59 Скриншот экрана (2)

где

2015-10-18 05-21-06 Скриншот экрана

Введем новые переменные ξ, η, τ, положив

2015-10-18 05-22-41 Скриншот экрана

Уравнения отображенного движения во вспомогательном про­странстве ( ξ, η) с новым временем  τ будут:

2015-10-18 05-24-23 Скриншот экрана (3)

где

2015-10-18 05-25-28 Скриншот экрана

Уравнения (3) суть уравнения движения точки постоянной массы под действием центральной силы, и интегралы этих урав­нений изучены достаточно подробно. Зная решения уравнений (3), формулы преобразования координат и времени, легко най­ти все характеристические свойства движения точки переменной массы.

В задачах небесной механики Мещерский первый рассмотрел ряд частных законов изменения массы, полагая

2015-10-18 05-27-27 Скриншот экрана

где α и β — некоторые постоянные.

Эти предположения Мещерского, сделанные из чисто теоре­тических соображений, были подвергнуты обстоятельной провер­ке в большом числе работ крупнейших астрономов, получили хорошее подтверждение, и сейчас эти гипотезы носят в литера­туре по небесной механике название «законов Мещерского».

Приведем еще один из результатов Мещерского, относящийся к исследованию движения комет. «Пусть, например, рассматри­вается движение кометы при приближении ее к перигелию, до­пуская, что масса кометы уменьшается и может быть выражена некоторой функцией расстояния кометы от Солнца; тогда урав­нения движения интегрируются в квадратурах, если предполо­жить, что скорость центра инерции отделяющихся частиц или равна нулю, или направлена по одной прямой со скоростью ко­меты, причем отношение этих скоростей есть или величина постоянная, или некоторая функция расстояния между кометой и Солнцем».

Мещерский первый поставил и частично исследовал задачи следующего типа: найти закон изменения массы точки, при кото­ром она под действием заданных внешних сил описывает задан­ную траекторию. Эти задачи Мещерский называет обратными. Мы приведем здесь общее решение класса обратных задач для прямолинейных траекторий. Рассмотрим для определенности вертикальный подъем точки переменной массы в однородном по­ле силы тяжести и в среде, сопротивление которой пропорционально квадрату скорости.

Уравнение движения точки будет иметь вид:

2015-10-18 05-33-59 Скриншот экрана (4)

Дифференциальное уравнение (4) есть линейное неоднородное дифференциальное уравнение относительно М, и его общий ин­теграл можно записать в виде

2015-10-18 05-35-21 Скриншот экрана (5)

где С — постоянная интеграции.

Соотношение (5) позволяет весьма просто рассчитать необ­ходимый закон изменения массы (т. е. режим работы реактивно­го двигателя), если закон движения точки по прямолинейной траектории известен. Как видно из предыдущего, формула (5) легко обобщается на переменное поле тяготения и произвольные законы сопротивления среды. Для иллюстрации приведем два простых примера на определение закона изменения массы по формуле (5), если характеристики движения точки заданы. Пусть ускорение точки, поднимающейся вертикально вверх в од­нородном поле тяготения и при отсутствии сил сопротивления, равно нулю. Требуется найти, как должна изменяться масса точки, чтобы обеспечить такой закон движения. Полагая в (5)

2015-10-18 05-37-20 Скриншот экрана

находим:

2015-10-18 05-38-04 Скриншот экрана (6)

Так как при t=0 М=М0, то окончательно будем иметь:

2015-10-18 05-40-05 Скриншот экрана (7)

Таким образом, движение точки с постоянной скоростью в од­нородном поле тяготения будет иметь место в том случае, когда масса точки изменяется по показательному закону (7).

Если мы хотим обеспечить в однородном поле тяготения рав­ноускоренное движение точки с ускорением, равным а, то из (5) легко находим, что масса должна изменяться по закону:

2015-10-18 05-41-57 Скриншот экрана (8)

Для некоторых частных задач ракетной техники обратный метод Мещерского представляет несомненный интерес.

В магистерской диссертации Мещерского 1897 года впервые было рассмотрено уравнение вертикального подъема ракеты. Но так как в те годы в среде научной интеллигенции интерес к за­дачам теории движения ракет был весьма мал, то Мещерский ограничился при рассмотрении движения ракеты буквально следующим:

«Пусть m обозначает массу ракеты, 2015-10-18 05-44-19 Скриншот экрана—сопротивление воздуха, р— давление газов и w— величину относительной ско­рости, которую имеют сгорающие частицы в момент их отде­ления.

Рассматривая вертикальное движение ракеты до тех пор, по­ка в ней происходит сгорание, мы приходим к следующей задаче.

Определить восходящее вертикальное движение точки пере­менной массы m, на которую, кроме силы тяжести, действует си­ла, вообще говоря, переменной величины р, направленная по вер­тикали вверх, и сопротивление среды 2015-10-18 05-44-19 Скриншот экрана,изменяющееся в зависимости только от скорости точки; при этом предполагается, что геометрическая разность между скоростями отбрасываемой массы и точки направлена по вертикали вниз и равна данной, вообще говоря, переменной величине w.

Направим ось Ох по вертикали вверх, тогда уравнение дви­жения точки будет:

2015-10-18 05-46-36 Скриншот экрана

Если масса m, давление р и скорость w выражены как неко­торые функции времени, то решение задачи, как видно из уравне­ния, приводится к интегрированию дифференциального уравне­ния первого порядка относительно 2015-10-18 05-48-08 Скриншот экрана.Это уравнение будет уравнением Риккати, если сопротивление воздуха принять про­порциональным квадрату скорости».

Теория прямолинейных движений ракет была в значительной степени создана трудами знаменитого деятеля русской науки К. Э. Циолковского, хотя в уравнениях Мещерского было все не­обходимое для создания вполне законченной динамики ракет.

Из основного дифференциального уравнения движения точки переменной массы Мещерский простыми преобразованиями полу­чает следующий вывод: «Всё формулы динамики, которые отно­сятся к движению как свободной, так и несвободной точки постоянной массы, будут иметь место для точки переменной массы, не зависящей от скорости, после того как в этих формулах мы положим массу точки равной единице и равнодействующую за­даваемых сил равною рассчитанной на единицу массы равнодействующей сил задаваемых приложенных к точке переменной массы и силы прибавочной».