Уравнения движения точки переменной массы в общем случае

Второй основополагающей работой И. В. Мещерского по динамике точки переменной массы является его монография «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», которая была опубликована в 1904 году в «Известиях Петроград­ского политехнического института». Как было указано, дифферен­циальное уравнение движения точки переменной массы, иссле­дованное в магистерской диссертации Мещерского, дает описание движения точки или для случая отделения частиц 2015-10-18 07-02-39 Скриншот экрана, или для случая присоединения частиц 2015-10-18 07-04-42 Скриншот экрана.

В настоящее время можно указать большой класс задач, когда в процессе движения тела происходит не только отделение, но и одновременно присоединение их. Так, например, в простейшем прямоточном воздушно-реактивном двигателе частицы воздуха присоединяются к движущемуся телу из атмосферы и затем от­брасываются вместе с продуктами горения из сопла реактивно­го двигателя. Газотурбинные реактивные двигатели, получившие весьма широкое применение на современных самолетах, точно так же берут частицы воздуха из атмосферы (частицы воз­духа присоединяются к самолету, увеличивая его массу), а затем отбрасывают их с большой скоростью вместе с газообразными продуктами горения. Если на вращающийся вал наматывается цепь, тогда масса вала увеличивается; при сматывании цепи с вала его масса уменьшается; когда оба процесса происходят од­новременно, мы будем иметь общий случай вращения тела пере­менной массы. В динамике гибкой нерастяжимой нити имеется большой класс движений, когда кривая, форму которой имеет нить, перемещается в пространстве поступательно, не меняя своей конфигурации, а сама нить движется вдоль этой кривой; иначе говоря, нить как бы движется в жесткой гладкой нематериальной трубочке, которая в общем случае перемещается поступательно в пространстве. Если поступательного перемещения нет, тогда нить, скользя продольно, остается как бы в состоянии покоя (кажу­щийся покой). Фиксируя определенный участок нити (трубочки), мы можем процесс продольного скольжения нити рассматривать как одновременно происходящие присоединение и отделение ча­стиц.

Задачи механики, связанные с изучением движения тел, мас­са которых изменяется в результате одновременно происходящих процессов присоединения и отделения частиц, можно для весьма большого числа случаев охватить единой теорией, основания ко­торой формулируются с той же степенью точности, как и законы движения тел постоянной массы. Такую единую теорию и создал Мещерский в своей работе 1904 года. Дифференциальное век­торное уравнение движения точки переменной массы в случае одновременного присоединения и отделения частиц можно по­лучить весьма просто, если постулировать справедливость зако­на независимого действия сил для импульсивных сил, обуслов­ленных контактным взаимодействием при отделении (присоедине­нии) частиц к основной точке, движение которой мы желаем изу­чить. Как было показано, реактивная сила при отделении части­цы dMбудет:

2015-10-18 07-10-53 Скриншот экрана (1)

где 2015-10-18 04-01-44 Скриншот экрана — абсолютная скорость отделяющейся частицы;

2015-10-18 04-01-09 Скриншот экрана — скорость точки переменной массы и

2015-10-18 03-54-52 Скриншот экрана — относительная скорость отделяющейся частицы.

Аналогичные рассуждения дают «тормозящую» силу в случае присоединения частицы с массой dM2  в виде [см. формулу (4) - здесь]:

2015-10-18 07-15-17 Скриншот экрана (2)

где 2015-10-18 04-27-45 Скриншот экрана — абсолютная скорость присоединяющейся частицы dM2

a 2015-10-18 04-28-42 Скриншот экрана— относительная скорость этой частицы.

Пусть равнодействующая внешних сил, действующих на точ­ку переменной массы, будет 2015-10-18 07-16-50 Скриншот экрана, тогда дифференциальное уравне­ние движения точки можно написать в виде

2015-10-18 07-17-34 Скриншот экрана

и

2015-10-18 07-19-18 Скриншот экрана (3)

где М— масса точки в данный момент времени.

Если проекции скорости точки обозначить через 2015-10-18 07-20-31 Скриншот экрана,а проекции абсолютных скоростей 2015-10-18 07-21-19 Скриншот экрана обозначить через α1, β1, γ1, α2, β2, γ2 соответственно, тогда, проектируя (3) на декартовы оси координат Ох, Оу, Oz, мы получим обобщенные уравнения Мещерского:

2015-10-18 07-26-30 Скриншот экрана (4)

Очень важный частный случай уравнения (3) получится, если допустить, что движение точки переменной массы прямоли­нейно, секундные расход и «приход» массы одинаковы, т. е.2015-10-18 07-27-38 Скриншот экрана и относительные скорости 2015-10-18 03-54-52 Скриншот экрана и 2015-10-18 04-28-42 Скриншот экрана известны и коллинеарны 2015-10-18 04-01-09 Скриншот экрана.

Тогда из векторного уравнения (3) будем иметь:

2015-10-18 07-30-12 Скриншот экрана (5)

где Fτ— проекция равнодействующей внешних сил на направ­ление движения точки. Уравнение (5) получило широкое при­менение в современных теориях воздушно-реактивных двигате­лей; к сожалению, авторы этих теорий редко ссылаются на оригинальную работу Мещерского 1904 года.