«Аналитическая механика» Лагранжа

В развитии механики появление в 1788 г. «Аналити­ческой механики» Лагранжа (1736—1813) было выдаю­щимся событием. В 1813—1815 гг. этот труд вышел вто­рым, дополненным изданием и с тех пор несколько раз в течение XIX столетия переиздавался с дополнениями и примечаниями других ученых. Русский перевод, в двух томах, появился в 1950 г.

Жозефу Лагранжу принадлежат многие выдающиеся работы по механике. С его именем, до первого издания «Аналитической механики», связаны исследования о задаче трех тел, о применении в механике принципа наи­меньшего действия, о задаче вращения твердого тела вокруг неподвижной точки («гироскоп Лагранжа»), по теории волн на поверхности жидкости и др.

Как в этот период, так и после первого издания свое­го трактата Лагранж занимался небесной механикой и по­лучил в этой области немало важных результатов: по расчету орбит планет и комет, по общим методам решения уравнений, определяющих движение тел Солнечной систе­мы. В «Аналитическую механику» включены многие за­мечательные достижения Лагранжа, но она вошла бы в историю нашей науки даже без них, благодаря ориги­нальности системы изложения и единству метода, исполь­зованного ее автором.

В предисловии к первому изданию Лагранж с полным основанием писал, что «существует уже много трактатов по механике, но план настоящего трактата является совершенно новым. Я поставил себе целью свести теорию механики и методы решения свя­занных с нею задач к общим формулам, простое разви­тие которых дает все уравнения, необходимые для реше­ния каждой задачи». И с законным удовлетворением Лаг­ранж добавил к этому: «Я надеюсь, что способ, каким я постарался этого достичь, не оставляет желать чего-либо лучшего».

Поэтому особенно поучительно познакомиться с тем, на основе каких исходных положений и какими средствами Лагранж создал стройную систему своей (ана­литической) механики.

Сам Лагранж характеризовал свои методы таким обра­зом: они «не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгебраических операций, подчиненных планомерному и од­нообразному ходу. Все, любящие анализ, с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благо­дарны за то, что этим путем я расширил область его применения». Эта характеристика, если принять ее безо­говорочно, означает, что аналитическая механика Лаг­ранжа является ветвью анализа, что она — механика, ли­шенная «механических рассуждений», так как в ней ука­заны общие методы для составления уравнений любой задачи механики, после чего решение становится чисто математической проблемой.

Изданием в 1736 г. «Механики» Лагранж заложил основы аналитической механики, которой затем много занимались он сам, Клеро, Даламбер, Д. Бернулли и дру­гие ученые XVIII в. Но у Эйлера задачи механики, хотя и решаются средствами анализа бесконечно малых, одна­ко каждая сводится к решению уравнений по-своему. Кроме того, сочинение Эйлера 1736 г.— это механика материальной точки. В своих дальнейших трудах Эйлер и другие ученые развили динамику твердого тела.

Лагранж охватил механику си­стемы материальных точек и тел и создал единообразный и общий метод сведения механических задач к ре­шению соответствующих математических задач. Но ясно, что при этом ему приходилось исходить из каких-то фи­зических, экспериментальных положений.

Каковы эти положения? И насколько общими являются методы Лагран­жа, действительно ли они охватывают все задачи меха­ники?

Ответы на эти вопросы познакомят нас с тем, что действительно можно назвать механикой Лагранжа. Эта механика делится на две части: статику и динамику.

Статика у Лагранжа основана на принципе виртуальных (возможных) скоростей. «Под виртуальной скоростью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тот момент, когда рав­новесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тело факти­чески получило бы в первое мгновение своего движе­ния». Принцип виртуальных скоростей формулируется так: «Если какая-либо система любого числа тел, или то­чек, на каждую из которых действуют любые силы, нахо­дится в равновесии и, если этой системе сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка прой­дет бесконечно малый путь, представляющий ее вирту­альную скорость, то сумма сил, помноженных каждая соответственно на путь, проходимый по направлению силы точкой, в которой она приложена, будет всегда равна нулю, если малые пути, проходимые в направлении сил, считать положительными, а проходимые в противополож­ном направлении, считать отрицательными».

Вводя этот принцип, Лагранж ссылался на данные опыта. Он указывал на общий закон равновесия машин: отношение сил друг к другу обратно отношению скоро­стей точек, к которым они приложены, причем скорости должны измеряться в направлении сил. Это положение, взятое в общем виде, и составляет принцип виртуаль­ных скоростей, который «можно рассматривать как своего рода аксиому механики». Впрочем, Лагранж дал и два доказательства принципа виртуальных скоростей, но, ра­зумеется, эти доказательства состоят в том, что этот принцип сводится к другим положениям статики. Наибо­лее известно доказательство, приведенное во втором изда­нии «Аналитической механики». Оно основано на «прин­ципе блоков». Считая последний принцип вполне нагляд­ным, Лагранж рассматривал его как естественное основа­ние для принципа виртуальных скоростей.

В динамике Лагранж исходит из двух законов: закона инерции и закона сложения движений (по правилу па­раллелограмма). Второй закон механики Ньютона Лаг­ранж как бы выводит из этих двух следующим образом. В равномерно-ускоренном движении существует постоян­ное отношение между скоростями и временами. Это от­ношение принимается за меру ускоряющей силы, непре­рывно действующей на тело,— ведь эта сила может быть измерена только по такому ее действию. В общем же случае, «каковы бы ни были движение тела и закон его ускорения, но согласно природе дифференциального ис­числения мы можем признать постоянным действие каж­дой ускоряющей силы в течение бесконечно малого вре­мени; таким образом всегда можно определить величину силы, действующей на тело в любое мгновение, если выз­ванную в это мгновение скорость сравнить с продолжи­тельностью этого мгновения...». Эту схему перехода от равномерно-ускоренного движения (Галилей) к общему случаю Лагранж связывает с именем Гюйгенса, построив­шего теорию центробежных сил. Ньютон, по Лагранжу, обобщил эту теорию Гюйгенса на все кривые линии и тем дополнил учение о неравномерных движениях и об ускоряющих силах, способных их вызвать. Сам Ньютон постоянно пользовался геометрическим методом, но «в настоящее время это учение сводится лишь к нескольким очень простым дифференциальным формулам».

Аналитическая динамика Лагранжа основана на общей формуле, которую сейчас называют уравнением Даламбе­ра — Лагранжа, или общим уравнением динамики. «Разви­тие этой формулы, если при этом принять во внимание условия, зависящие от природы системы, дает все урав­нения, необходимые для определения движения каждого тела, после этого остается только эти уравнения интег­рировать, что является уже задачей анализа».

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лаг­ранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений ста­тики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа пер­вого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консер­вативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин: кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весь­ма общи: их можно использовать для разных физиче­ских систем, если состояние таких систем характеризует­ся значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа вто­рого рода имеют определенную структуру с математиче­ской точки зрения. Поэтому задача их решения (интег­рирования) в общем виде является достаточно определен­ной, чтобы исследовать ее чисто математически.

Знамени­тый физик Максвелл имел все основания писать в своем «Трактате об электричестве и магнетизме», касаясь значе­ния «Аналитической механики» Лагранжа: «Так как благодаря созданию математической теории динамики развитие идей и методов чистой математики сделало возможным выявление многих истин, которые нельзя было бы открыть, не обучившись математике, то если мы хотим создать динамическую теорию других наук, мы должны воспринять и эти динамические исти­ны, и математические методы.

Формулируя идеи и термины любой науки, имеющей дело, как наука об электричестве, с силами и с их дей­ствиями, мы должны постоянно иметь в виду идеи, яв­ляющиеся достоянием основной науки — динамики, что­бы мы могли с самого начала развития науки избежать противоречий с тем, что уже установлено, а также для того, чтобы с уточнением наших взглядов принятый на­ми язык нам помогал, а не мешал».

Принципом наименьшего действия Лагранж много за­нимался в первые годы своей научной деятельности, в свя­зи с работами по вариационному исчислению. При систематическом изложении механики этот принцип отходит у Лагранжа на второй план. Все же существенно было то, что Лагранж формулировал этот принцип с полной определенностью как чисто механическую теорему, спра­ведливую при соблюдении определенных условий.

Эта формулировка такова: при движении любой системы тел, находящихся под действием взаимных сил притяжения, или сил, направленных к неподвижным центрам и про­порциональных каким-либо функциям расстояний, кри­вые, описываемые различными телами, а равно их ско­рости необходимо таковы, что сумма произведений от­дельных масс на интеграл скорости, умноженной на эле­мент кривой, является максимумом или минимумом — при условии, что первые и последние точки каждой кривой рассматриваются как заданные.

Эта формулировка, как видим, приводит к уже зна­комой нам записи: обращается в нуль вариация суммы величин вида m ∫ vds ,

где m — масса одной из точек системы, v— ее скорость, ds— элемент пути, или, иначе говоря, бесконечно малый отрезок траектории точки m. К этому Лагранж добавля­ет, что ds = v dt (dt обозначает тот бесконечно малый промежуток времени, в течение которого точка m про­ходит путь ds), поэтому вместо m ∫ vds можно написать m ∫ v2dt или mv2dt. Тут под знаком интеграла мы видим (удвоенную) живую силу точки, а так как нам надо взять сумму таких величин для всей рассматриваемой механической системы, то в итоге под знаком интеграла окажется (удвоенная) живая сила всей системы в любое мгновение.

Таким образом, говорит Лагранж, рассматри­ваемый принцип сводится собственно к тому, что сумма живых сил всех тел от момента, когда они выходят из заданных точек, до того момента, когда они приходят в другие заданные точки, является максимумом или мини­мумом. Следовательно, этот принцип можно было бы с большим основанием назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы.

По мнению Лагранжа, такая формулировка имела бы то преимущество, что она была бы общей как для дви­жения, так и для равновесия, поскольку в статике Лаг­ранж доказывал, что при прохождении положения рав­новесия живая сила системы бывает наибольшей или наименьшей. С формулировкой Лагранжа были связаны некоторые неясности, на которые, в частности, обратил внимание М. В. Остроградский.

Лагранжу принадлежат также многочисленные работы по механике сплошной среды. В «Аналитической меха­нике» немало места уделено гидростатике, гидродинами­ке, теории упругости. В этих разделах Лагранж систе­матизировал все результаты, полученные им и его пред­шественниками. В теории упругости Лагранж не располагал общими уравнениями (они были выведены позже, в 20-е годы XIX в.) и рассматривал равновесие и ко­лебания около положения равновесия упругих тел одномерных или двумерных — типа нити, струны, мембраны. В гидродинамике Лагранж оперировал уравнениями для идеальной жидкости (т. е. совершенно лишенной внутрен­него трения), выведенными до него Эйлером.

Математические трудности тут оказались настолько большими, что в общем случае Лагранж мог предложить только приближенный способ решения уравнения движения. Понадобилось немало времени, чтобы с помощью новых математических методов добиться дальнейших ре­зультатов там, где вынужден был остановиться такой гениальный ученый, как Лагранж.