ГЕНРИХ ГЕРЦ. МЕХАНИКА ГЕРЦА

ГЕНРИХ ГЕРЦ (1857—1894)

ГЕНРИХ ГЕРЦ (1857—1894)

В XVII в. трудами Галилея и Ньютона были заложены принципиальные основы классической механики.

В XVIII и XIX вв. Эйлер, Даламбер, Лагранж, Гамильтон, Якоби, Остроградский, исходя из этих основ, построили великолепное здание аналитической механики и разработали ее мощные математические методы.

Казалось, что механика — этот «рай математических наук», как назвал ее Леонардо да Винчи,— достигла вы­сокой степени совершенства и своей завершенности. Но завершенность эта была лишь кажущейся, ибо в самих основных понятиях и законах механики заключались многочисленные трудности, которые были только временно отодвинуты, а отнюдь не разрешены мощным прогрессом аналитической механики.

Еще до коренного пересмотра физического содержания основных принципов классической механики, осуществлен­ного теорией относительности и квантовой теорией, поя­вился ряд работ, пытавшихся по-новому осмыслить эти принципы. Эти попытки были связаны прежде всего с тем, что наряду с физикой дискретных тел возникла фи­зика континуума поля, потребовавшая критического пере­смотра основ классической механики.

Такой попыткой была, в частности, замечательная книга немецкого физика и механика Генриха Герца «Принципы механики, изложенные в новой связи», которая сыграла важную роль не только в разви­тии классической механики, но и в исторической подго­товке теории относительности Эйнштейна.

Философские основы механики Герца

Предсмертное сочинение Герца «Принципы механики» не ставило целью решение практических задач или разработку методов механики.

Цель этого сочинения — показать, что общие теоремы механики и весь ее математический аппарат мо­гут быть последовательно развиты, исходя из единого принципа.

Герц рассматривает все явления природы как проявления движения материи.

Во введении к своей «Механике» Герц выдвигает в ка­честве ближайшей и важнейшей цели научного познания предвидение полезных будущих открытий и организацию, в соответствии с ними, наших практических и теорети­ческих усилий в настоящем.

В процессе познания, по мнению Герца, исходят из уже накопленного опыта.

Метод же выведения (предвидения) будущего из прошлого состоит в следующем: из накоплен­ного и многократно проверенного в процессе практики опытного материала создаются «внутренние образы» (т. е. понятия) внешних предметов.

К этим «образам» предъявляется следующее основное требование: логически необходимые следствия этих «образов», или понятий, дол­жны являться «образами» естественно необходимых след­ствий свойств внешних предметов. Чтобы это требование могло быть осуществимо, очевидно, должно быть извест­ное согласие между природой и нашим мышлением.

Прак­тика показывает, что такое согласие существует в дейст­вительности. Согласованность, в основе которой лежит общность законов мышления и внешнего мира, объясня­ет, почему логически необходимые следствия правильных научных понятий непременно осуществляются независимо от человека или при его содействии, как только появля­ются все необходимые условия.

Эти основные гносеологические положения Герца вы­ражают его материалистический взгляд на цели и метод научного познания природы. Как естествоиспытатель Герц убежден в объективности природы. Познав объективные закономерности развития внешних предметов, можно соз­нательно ускорить наступление будущего, т. е. использовать объективные законы природы в интересах человека.

Книга Герца «Принципы механики» и ее место в раз­витии механики

Особое место среди вариационных прин­ципов механики, которые должны указать интегралы или функции, имеющие экстремум в действительном движении системы, занимает принцип наименьшего принуждения Гаусса.

Этот принцип является общим началом и может быть выражен одной из самых простых аналитических формулировок, в которой нахождение уравнений движе­ния любой системы, голономной или неголономной, сво­дится к нахождению минимума функции второй степени.

Установление этого принципа, опубликованного Гаус­сом в 1829 г., связано, как он сам указывает, с его работами по способу наименьших квадратов.

В короткой заметке («Об одном новом общем принципе механики») Гаусс с изумительной ясностью и лаконичностью не только осветил вопросы, связанные с формулируемым им принципом, но также высказал весьма интересные методологические соображения и крат­ко остановился на существовавших тогда принципах ме­ханики.

Рассматривая вопрос о значении принципов меха­ники, он писал: «Если для прогрессивного развития науки и для индивидуального исследования представля­ется более удобным идти от легкого к тому, что кажется более трудным, а от простых законов к более сложным, то, с другой стороны, наш ум, дойдя до более высокой точки зрения, требует обратного движения, в свете кото­рого вся статика представляется ему в качестве частного случая динамики. И упомянутый нами геометр (речь идет о Лагранже), по-видимому, оценил это обратное движение, представляя в качестве преимущества принци­па наименьшего действия возможность охватить одновре­менно законы движения и законы равновесия, если его рассматривать в качестве принципа наибольшей или наи­меньшей живой силы. Но надо признать, что эта мысль является более остроумной, чем верной, так как в этих двух случаях минимум имеет место при совершенно раз­личных условиях». Такая точка зрения Гаусса естествен­но приводит его к формулировке общего принципа меха­ники — принципа наименьшего принуждения.

Строгая формулировка принципа Гаусса такова: для материальной системы со связями без трения, находя­щейся под действием каких угодно сил, естественное дви­жение отличается от всех остальных, совместных со свя­зями, тем, что для него принуждение со стороны связей (так же как и давление на связь) имеет наименьшее значение, если исключить свободное движение.

Глубокое развитие идей Гаусса в связи с идеей Гель­мгольца о кинетическом объяснении всех видов энергии при помощи «скрытых движений» дал в 90-х годах XIX в. Генрих Герц, разработавший принцип прямейшего пути.

Познавательная ценность этого принципа состоит в том, что он сводит задачи механики к проблеме гео­дезических линий, коренным образом геометризует клас­сическую динамику.

Во введении к «Принципам механики» Герц характери­зует существующие картины механических процессов. Он считает, что до середины XIX в. полным объяснением явлений природы считалось сведение этих явлений к бес­численным, действующим на расстоянии силам между ато­мами материи. Но в конце XIX в., под влиянием резко возросшего значения принципа сохранения энергии, физи­ка стала предпочитать рассматривать «относящиеся к ее области явления как превращения одной формы энергии в другую и считать своей конечной целью сведение яв­лений к законам превращения энергии». Тогда в ме­ханике понятие силы уступает место понятию энергии. Однако если картина, основанная на силе, была построе­на, «то о второй картине этого, разумеется, сказать нельзя».

По мнению Герца, при этом исходят из четырех неза­висимых друг от друга основных понятий, отношения меж­ду которыми должны составить содержание механики.

Два из них, по Герцу, носят математический характер — про­странство и время; два других — масса и энергия — вво­дятся как две физические сущности, являющиеся опреде­ленными неуничтожаемыми количествами.

Из анализа ре­зультатов опыта выводится следствие, что энергию можно разделить на две части, одна из которых зависит только от скорости изменения обобщенных координат, а другая — от самих координат. Здесь связаны между собой понятия пространства, массы и энергии. Для того же, чтобы свя­зать все четыре понятия, а вместе с тем и течение во времени, воспользуемся одним из интегральных принци­пов обыкновенной механики, пользующихся понятием энергии. «Какой из принципов мы используем, практиче­ски безразлично; можно воспользоваться принципом Га­мильтона, что мы имеем полное право сделать», писал Герц.

В каком отношении эта картина находится к картине классической механики? Прежде всего она охватывает значительно больше особенностей движения, чем класси­ческая, основанная на понятии силы.

Основные понятия этой картины могут быть связаны принципом Гамильтона, смысл которого Герц усматрива­ет в том, что разность между кинетической и потенциаль­ной энергией должна быть возможна малой на протяжении всего времени движения.

Хотя этот закон и не является простым по форме, все же он в одном-единствениом определении однозначно вос­производит все естественные превращения энергии из одной формы в другую и тем самым позволяет полностью предвидеть будущее развитие физических явлений (по крайней мере обратимых). Однако принцип Гамильтона в обычной его форме не охватывает движение систем с неголономными связями.

Герц выдвигает третью систему принципов механики, которая отличается от первых двух главным образом тем, что она пытается исходить только из трех независимых основных представлений: времени, пространства и массы.

Герц ссылается при этом на Г. Кирхгофа (1824— 1887), который в своем курсе механики еще раньше отметил, что эти три независимые друг от друга понятия необходимы, но также и достаточны для развития меха­ники. Вместо понятия силы и энергии, исключаемых Гер­цем из основных понятий, он вводит представление о скрытых связях, скрытых массах и скрытых движениях.

Основной закон, связывающий фундаментальные поня­тия пространства, времени и массы воедино, Герц выражает в форме, представляющей весьма тесную аналогию с обыч­ным законом инерции: «Каждое естественное движение самостоятельной материальной системы состоит в том, что система движется с постоянной скоростью по одному из своих прямейших путей».

Это положение объединяет закон инерции и принцип наименьшего принуждения Гаусса в одно единое утвер­ждение.

Прямым путем Герц называет такой, для которого все его элементы имеют одинаковое направление, а кривым — такой, когда направление его элементов изменяется. В ка­честве критерия кривизны, как и в геометрии точки, вво­дится скорость изменения направления при изменении положения.

Из всех возможных путей, в тех случаях когда движение системы ограничено связями, выделяются некоторые, обладающие особенно простыми свойствами. Это прежде всего пути, которые во всех положениях ис­кривлены так незначительно, как это только возможно. Именно их Герц называет прямейшими путями системы. Затем идут пути кратчайшие.

При известных условиях понятия прямейших и кратчайших путей совпадают: «Это соотношение,— говорит Герц,— будет нам вполне понятно, если мы вспомним теорию поверхностей... Перечисление и систематизация всех возникающих при этом соотношений относится к геометрии системы точек... Так как сис­тема n точек выражает 3n многообразие движения, ко­торое, однако, может быть уменьшено связями системы до любого произвольного числа, то в результате возни­кает большое число аналогий с геометрией многомерного пространства, причем эти аналогии заходят отчасти так да­леко, что те же самые положения и обозначения могут иметь место как здесь, так и там».

Смысл такого метода изложения, по мнению Герца, состоит прежде всего в том, что он устраняет искусст­венное разделение механики точки и механики системы, позволяя рассматривать любое движение как движение системы. Кроме того, такой геометризованный метод вы­ражения «ярко оттеняет тот факт, что метод изложения Гамильтона скрывает свои корни не в особых физических основах механики, как это обычно принимают, но что он, собственно говоря, является чисто геометрическим методом, который может быть обоснован и развит совершенно независимо от механики и который не находится с ней в более тесной связи, чем любое другое используемое механикой геометрическое познание» . Это нашло свое выражение в аналогиях, которые обнаружены при сопо­ставлении идей Гамильтона в механике и геометрии многомерного пространства.

Герц доказывает, что для голономных систем каждый прямейший путь есть геодезический, и наоборот, причем геодезическим путем материальной системы он называет путь, длина которого между двумя любыми положениями отличается лишь на бесконечно малую величину высше­го порядка от длины любого другого бесконечно близ­кого соседнего пути между теми же положениями (в неголономных системах это не имеет места).

Кратчайший путь между двумя положениями есть гео­дезический, но геодезический путь не есть обязательно кратчайший, хотя он всегда есть кратчайший между любы­ми двумя достаточно близкими соседними его положени­ями, находящимися на конечном удалении друг от друга.

Необходимым и достаточным аналитическим условием геодезического пути является требование, чтобы интеграл между какими-либо двумя положениями пути имел вариацию, равную нулю, причем вариации должны исчезать на пределах интеграла и вариации координат и их диф­ференциалы удовлетворять уравнениям — условия сис­темы. Исчезновение вариации интеграла не есть, однако, достаточное условие того, чтобы путь между конечными положениями был кратчайшим; для этого необходимо, что­бы его вторая вариация была существенно положитель­ной. Для достаточно близких соседних положений пути это условие всегда выполняется.

Уже из этого изложения можно видеть две особенно­сти механики Герца, связанные с тем, что в исходных предпосылках он ограничивается тремя, а не четырьмя (как это имеет место у Ньютона и Гамильтона) поняти­ями.

Во-первых, отсутствие среди основных понятий по­нятия силы (или энергии), что приводит к усложнению изложения и не дает простого пути для решения конк­ретных задач. Во-вторых, особо важная роль, отводяща­яся геометрическим образам. Если первая особенность ог­раничивала практическое значение его механики, то вто­рая была чрезвычайно важным этапом на пути синтеза аналитического и геометрического аспектов механики.

Затем Герц доказывает теорему, в которой выражена, по существу говоря, глубокая связь его механики с гео­метрической оптикой и теоремой Бельтрами — Липшица.

Теорема Герца гласит: если построить во всех положе­ниях некоторой поверхности прямейшие пути (а, следо­вательно, в случае голономной системы — геодезические), перпендикулярные к этой поверхности, и отложить вдоль этих путей равные длины, то получим новую поверхность, которая будет пересекать эти прямейшие пути также перпендикулярно.

Таким образом, в самой сердцевине механики Герца за­ключаются геометрические соотношения, которые связы­вают ее с общей теорией поверхностей. Пространственные формы механического движения материальных тел играют поэтому у Герца основную роль.

Естественно возникает вопрос об отношении принци­па Герца к принципу наименьшего действия Эйлера — Лагранжа в его классической форме и в форме, кото­рую придал ему Якоби, и к принципу Гамильтона.

Герц посвятил этому вопросу несколько разделов своей книги. Так как в голономной системе прямейший путь между двумя достаточно близкими положениями является одновременно кратчайшим, то естественный путь такой системы между указанными положениями короче, чем ка­кой-нибудь другой возможный путь между теми же положениями. Эта теорема сразу приводит к принципу наи­меньшего действия в форме Якоби. Согласно обычному пониманию механики, отмечает Герц, приведенная тео­рема представляет собой частный случай теоремы Якоби, а именно случай, когда силы отсутствуют.

Однако, «по нашему мнению, наоборот, предпосылки полной теоремы Якоби следует считать более узкими, а теорема Якоби является специальной формой выражения нашей теоре­мы». Такая точка зрения Герца основана на том, что Якоби для получения своего выражения принципа наи­меньшего действия должен был воспользоваться законом сохранения энергии, чтобы с его помощью исключить вре­мя, в то время как принцип Герца совершенно не зависит от этого закона. Кроме того, выражение Якоби, в отличие от принципа Герца, справедливо лишь для голономных систем.

Легко показать далее, следуя Герцу, что естественное движение свободной голономной системы переводит си­стему из данного начального в достаточно близкое конеч­ное положение за более короткое время, чем какое-либо другое возможное движение с одинаковым постоянным значением энергии, так как в этом случае энергия и ско­рость одинаковы, и время перехода пропорционально дли­не пути. В этом случае интеграл по времени от энергии равен произведению данного постоянного значения энер­гии на промежуток времени перехода. Таким образом, получается принцип наименьшего действия Эйле­ра — Лагранжа. Отношение этого принципа к принципу Герца такое же, как принципа наименьшего действия в форме Якоби.

Аналогичные рассуждения могут быть приведены и для принципа Гамильтона.

Герц рассматривает, наконец, вопрос о том, в какой степени телеологические умозаключения на самом деле связаны с этими принципами. По его мнению, такая связь не вытекает с необходимостью из рассмотрения яко­бы будущих целей движения. Более того, представление о таком телеологизме даже недопустимо. То, что «такое понимание этих принципов не необходимо вытекает из того, что свойства естественного движения, являющиеся как бы проявлениями цели, на самом деле устанавли­ваются нами как необходимые следствия закона (принципа Герца), в котором не содержится ни­какого выражения предвидения будущего». Недопусти­мость же такого представления вытекает из того, что «если бы природа действительно имела цель достигать кратчайшего пути, наименьшей затраты энергии, кратчай­шего времени, то невозможно было бы понять, как могут существовать системы, в которых эта цель хотя и дости­жима, но природа постоянно терпит неудачу».

Таким образом, Герц со своих материалистических по­зиций полностью отвергает какие-либо телеологические домыслы, связываемые без должного обоснования с рассматриваемыми принципами.

Выведя далее Гамильтонову характеристическую и главную функции, Герц отмечает, что в них, по его мне­нию, «содержится только слегка завуалированный про­стой смысл прямейшего расстояния...»

Принцип Герца был бы просто частным случаем прин­ципа Гаусса, если бы он не заменил силы, действующие на систему, связями ее с другими системами, находящимися с ней во взаимодействии. Этим самым Герц как бы изучал только свободные системы. Для своего гео­метрического рассмотрения Герц должен был считать все массы как кратные некоторой условной единичной массе.

Зоммерфельд справедливо отметил, что «Механика Гер­ца построена в высшей степени увлекательно и последо­вательно, но в силу сложности замены сил связями ока­залась малоплодотворной».

Понятие «силы» в механике Герца

Механику Герца часто называют «механикой без силы». Понятие силы, хотя и вводится Герцем, однако оно не является основ­ным, исходным понятием его механики. В этом состоит преж­де всего резкое отличие механики Герца от обычного ее из­ложения.

Сложность понятия силы в классической меха­нике, абсолютизация его многими крайними ньютонианцами и заманчивая возможность объяснить силу движением некоторых (хотя бы и скрытых) масс привели многих физиков второй половины XIX в. к попыткам пересмот­реть смысл и место понятия силы в системе механики.

Важнейшим стимулом в этом отношении было развитие континуарной физики поля, в первую очередь электромагнитного.

Классическое понятие силы, которое возникло из изуче­ния непосредственного контакта (удара) двух масс, по­степенно стало рассматриваться не как выражение взаи­модействия тел в процессе движения, а как нечто не зависящее от движения материи. Физика поля, напротив того, по самому своему характеру подсказывала возмож­ность рассматривать силу как вторичное понятие, выра­жающее взаимодействие среды (эфира) и весовых тел.

В том же направлении влияло и введение Гельмголь­цем понятия скрытых масс и скрытых движений для от­несения не специфического, не укладывающегося в рам­ки обычной механики характера тепловых процессов. Естественно поэтому было попытаться отказаться в меха­нике от сложного понятия силы как исходного понятия, положив в основу взаимодействие скрытых и наблюдае­мых масс.

Принципиально эта концепция была прогрес­сивной, так как стремилась выразить все основные по­нятия механики через движение масс, рассматриваемое как исходный пункт. Но в силу исторической ограничен­ности физики XIX в. в этой концепции характер и пове­дение скрытых объектов рассматривались как чисто ме­ханический комплекс взаимодействий. Кроме того, скры­тые массы оставались скрытыми, непознаваемыми элемен­тами этой картины, что неизбежно приводило к агностическим выводам.

Герц был не первым ученым, разрабатывавшим во вто­рой половине XIX в. «механику без силы». До него это в наиболее отчетливой форме пытался сделать Кирхгоф, который не отвергал совершенно понятие силы, а только отказывал ему в первичности. Однако всесторонне развил и последовательно изложил эту точку зрения только Герц.

Путь к исключению понятия силы подсказывает уже сама механика Галилея — Ньютона. Рядом с собственно силами, являющимися причинами изменения состояния движения, эта механика поставила другой вид сил, а именно силы условий связи системы, ограничивающие степени свободы движения последней. Направление этих сил определяется чисто геометрическими условиями, а ве­личина остается, строго говоря, неизвестной.

Элементарная механика в обычном изложении смеши­вает эти два вида сил, рассматривая силы условий как собственно силы, величина которых вначале неизвестна. Она сводит, следовательно, силы ограничения движения к собственно силам. Однако уже в аналитической меха­нике различие этих сил выступает очень резко, гораздо резче, чем в элементарной механике. В уравнениях ана­литической механики силы условий движения имеют сов­сем другой вид, чем собственно силы, будучи определены только геометрическими условиями движения.

Герц поставил перед собой задачу, обратную той, ко­торую так или иначе решает элементарная механика: нельзя ли все собственно силы свести к силам ограни­чения движения? Возможно, что вообще все наблюдаемые изменения скорости, которые не требуются как будто с точки зрения геометрических связей, вызваны на самом деле не силами, а именно какими-то, может быть, еще не исследованными, геометрическими связями. Сама сила есть лишь способ описания этих связей, применимый при известных допущениях, но отнюдь не являющийся необхо­димым для однозначного и ясного научного познания мира.

Понятие о силе как о причине замедления или ускорения в механике Г. Герца исчезает бесследно. Сила, с точки зрения Герца, является только мерой переноса или взаимопреобразования движения между «прямо связанными» система­ми. Загадочная потенциальная энергия консервативных систем обычной механики оказывается обычной кинети­ческой энергией скрытых материальных систем. В основе действий, наблюдаемых между удаленными телами (на­пример, планетами) лежит материальный процесс, про­текающий в скрытых материальных системах, связываю­щих обычные или «наблюдаемые» системы.

Механика Герца представляет в высшей степени ясную, математически обоснованную картину механики.

Единст­венным недостатком этой картины является ее иллюзор­ность. Герц доказал лишь, что скрытые или адиабатически-циклические системы, дополняющие обычную систему до свободной, обладают всеми свойствами обычных консер­вативных систем. Но отсюда еще не следует, что реальные консервативные системы являются такими, какими они представляются в механике Герца.

Носителем скрытых циклических систем, по мнению Герца, является мировой эфир, но так как скрытым си­стемам Герц приписывает общепринятые свойства меха­нических движений, то эфир в механике Герца имеет характер чисто механической системы; частицам эфира приписываются свойства обычной инертной материи, обычные механические движения и кинетическая энер­гия, движения частиц эфира подчиняются законам клас­сической механики и т. д.

Главный недостаток механики Герца не в ее конкрет­ных механических конструкциях, а в универсализации развитой им интерпретации сил. Утверждение Герца, что мнимое действие сил на расстоянии сводится исключитель­но к процессам механического движения в наполняющей пространство среде, между мельчайшими частицами кото­рой существуют неподвижные связи, было опровергнуто последующим развитием физики и прежде всего механи­кой Эйнштейна.

Механическая теория эфира, на которой основана система Герца, оказалась несостоятельной.

Однако в некоторых важных идеях теории относитель­ности и механики Герца имеется много общего. В тео­рии относительности движение планет вокруг Солнца объ­ясняется без привлечения действующих сил при помощи представления об инерции как о фундаментальном свой­стве тел. Планеты движутся аналогично телам в механи­ке Герца по кратчайшим линиям в римановом простран­стве. В этом отношении отличие теории относительности от механики Герца состоит в том, что в первой материальные движущиеся тела определяют метрику пространства — времени, его геометрию, в то время как у Герца такое дви­жение определяется кинематическими условиями, созда­ваемыми скрытыми массами системы.

Несмотря на всю историческую ограниченность, свя­занную с механической картиной мира, механика Гер­ца сыграла значительную роль в развитии одной из ос­новных проблем физики — проблемы пространственно- временной формы движения материи.