КАРЛ ГУСТАВ ЯКОБИ

КАРЛ ЯКОБИ (1804—1851)

КАРЛ ЯКОБИ (1804—1851)

Карл Густав Якоби (1804—1851) — один из крупнейших немецких математиков и механиков первой половины XIX в.

Он был профессором математики сначала в Кенигсбергском, а затем в Берлинском университете. В 1829 г. Якоби был избран членом-корреспондентом, а в 1836 г. действительным членом Берлинской академии наук. За свои выдающиеся научные заслуги он был из­бран членом многих зарубежных академий наук. Русские ученые одними из первых оценили огромное значение его исследований по математике и механике. Официальное выражение этого нашло в избрании его уже в 1830 г. членом-корреспондентом Петербургской академии наук; три года спустя (в 1833 г.) ему было присвоено звание почетного члена Петербургской академии наук. Следует отметить, что Карл Якоби живейшим образом интересо­вался деятельностью Петербургской академии наук. Ук­реплению связей К. Г. Якоби с русскими научными кру­гами, в частности с М. В. Остроградским, благоприятство­вал личный момент: его брат Мориц, крупный физик, известный в России как Борис Семенович Якоби, был русским академиком (с 1837 г.)

Якоби является одним  из создателей теории эллиптиче­ских функций, ему принадлежат крупные достижения в области теории чисел, линейной алгебры, интегрального исчисления, теории дифференциальных уравнений, вариационного исчисления. Он ввел в математику функциональ­ные определители, которые часто называют в его честь «якобианами».

Основной труд Якоби по механике — его замечатель­ные «Лекции по динамике», выполненные в 1842—1843 гг. и изданные его учеником А. Клебшем (1839—1894) пос­ле смерти Якоби в 1866 г. Эти лекции представляют собой развитие классической аналитической механики Лагранжа и содержат много новых идей как по матема­тике (теория дифференциальных уравнений в частных про­изводных, вычисление геодезических линий на эллипсо­иде), так и по механике.

Исходным моментом исследований Якоби по механике является принцип Гамильтона — Остроградского, предло­женный в первоначальной форме ирландским механиком и математиком У. Р. Гамильтоном и в окончательной форме — русским ученым М. В. Остроградским.

В своих «Лекциях» Якоби значительно развил теорию канонических уравнений Гамильтона, существенно рас­ширив класс механических систем, к которым она применима. Изложив принцип Гамильтона и выведя канони­ческие уравнения для любых механических систем, обла­дающих силовой функцией, в которую может входить время, Якоби применяет к этим уравнениям теорему С. Пуассона, открытую им в связи с другими задачами механики.

В дальнейшем Якоби находит много различных случа­ев получения интегралов уравнений движения. Например, рассматривая системы с силовой функцией, Якоби пока­зывает, что в случае, когда можно выбрать такие обоб­щенные координаты qi, что силовая функция не зависит от координаты qS, а живая сила зависит от нее, мож­но получить интеграл данной системы уравнений в виде р = const (при этом говорят, что координата qцикли­ческая) |

Важнейший результат К. Якоби — его теорема о том, что канонические уравнения являются уравнениями ха­рактеристик некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, т. е. интегральные поверхности указанного уравнения в частных производных состоят из интегральных кривых системы канонических уравнений, определяющих движение механической системы. Тем самым интегрирование канонических уравнений сводится к разысканию полного интеграла уравнений в частных производных.

Дальнейшее обобщение метода Гамильтона — Якоби было осуществлено М. В. Остроградским.