МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ (1801—1861)

МИХАИЛ ВАСИЛЬЕВИЧ ОСТРОГРАДСКИЙ (1801—1861)

За свою почти сорокалетнюю научную деятельность Ми­хаил Васильевич Остроградский (1801 —1861) создал ряд ценных трудов по основным проблемам механики. Ему принадлежат первоклассные исследования по методам интегрирования уравнений аналитической механики и разработке обобщенных принципов статики и динамики.

Многочисленные исследования М.В. Остроградского по механике можно разбить, как это сделал Н. Е. Жу­ковский, на три группы: 1) работы по началу возможных перемещений, 2) работы по дифференциальным уравне­ниям механики и 3) работы по решению частных механических задач.

Наиболее выдающиеся исследования Остроградского относятся к обобщениям основных принципов и методов механики. Он внес существенный вклад в развитие ва­риационных принципов.

Вариационные принципы механи­ки входят в круг вопросов, интересовавших Остроградского в течение всей его жизни. Постоянное возвращение к вариационному исчислению и вариационным принципам механики роднит его с Лагранжем — одним из создателей вариационного исчисления и творцом аналитической меха­ники.

Вариационными прин­ципами механики занимались такие корифеи науки, как Ферма, Мопертюи, Эйлер, Лагранж, Гамильтон.  Новый этап в разработке принципа наименьшего действия связан с именем Лагранжа, который поставил целыо свести динамику к чистому анализу. В работах Лагранжа проблемы механики представляют собой лишь определенный класс задач вариационного ис­числения.

Такой же подход к механике характерен и для Ос­троградского, который рассматривал ее проблемы, как правило, в самом общем виде. Общая постановка вопроса вела, в свою очередь, к изучению вариационного исчисле­ния, в которое как частный случай входит динамика. Поэ­тому мемуар Остроградского «О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров» (1850) при­надлежит в равной мере как механике, так и вариацион­ному исчислению. В силу такого сугубо математического подхода (как у Лагранжа) исследования Остроградского значительно обогатили, развили и углубили понимание вариационных принципов прежде всего с математической точки зрения.

В названном мемуаре Остроградский рассматривает вариационную задачу, в которой подынтегральная функ­ция зависит от произвольного числа неизвестных функций и их производных сколь угодно высокого порядка, и до­казывает, что задача может быть сведена к интегриро­ванию канонических уравнений Гамильтона, которые мож­но рассматривать как такую форму, в которую можно преобразовать любые уравнения, возникающие в вариа­ционной задаче. Это преобразование не требует никаких операций, кроме дифференцирования и алгебраических действий. Заслуга такого обобщения задачи динамики при­надлежит М. В. Остроградскому.

Кроме того, Остроградский ослабил ограничения на связи, всегда считавшиеся до него стационарными, и тем самым существенно обобщил проблему.

В 1850 г. Остроградский опубликовал еще один мемуар, содержащий важные результаты по математической теории уравнений движения,— «Об интегралах общих уравнений динамики» (представлен в 1848 г.). Он пока­зал, что и в более общем случае, когда связи и силовая функция содержат время (этот случай был оставлен в сто­роне Гамильтоном и Якоби), уравнения движения также могут быть преобразованы в гамильтонову форму.

Одним из важных вопросов механики является задача интегрирования уравнений движения, которые составляют вариационный принцип. Разработка теории интегрирова­ния канонических уравнений принадлежит Гамильтону, К. Якоби и Остроградскому.

Эта теория состоит из трех основных этапов. Прежде всего необходимо было найти наиболее простую возмож­ную форму дифференциальных уравнений движения. Та­кой формой оказались канонические уравнения; они полу­чили свое название благодаря замечательному свойству инвариантности относительно некоторых преобразований координат. Термины «канонические уравнения», «канони­ческие преобразования» были введены Якоби.

Следующим этапом является установление общих за­конов подобных преобразований. Так была развита тео­рия канонических преобразований и их инвариантов. От­сюда видно, что существует глубокая внутренняя связь между аналитической динамикой и общей теорией групп преобразований. Впоследствии эта связь была открыта Софусом Ли (1842—1899), и вся теория приняла удиви­тельно стройный и красивый вид: в механику вошли но­вые идеи, характерные для математики конца XIX в.

Якоби показал, что существует такое каноническое пре­образование, которое приводит исходные уравнения к но­вым, легко интегрируемым уравнениям. Таким образом, задача прямого интегрирования канонических уравнений заменяется другой математической задачей: найти вид соответствующего канонического преобразования. Наконец, остается задача интегрирования канонических уравнений. Оказалось, что интегрирование этих уравнений равно­сильно интегрированию уравнения в частных производ­ных так называемого уравнения Гамильтона — Якоби.

В разработку всей этой теории существенный вклад внес М. В. Остроградский. В исследованиях по уравне­ниям динамики он дал каноническую форму уравнений динамики и установил теоремы о характеристической функции, принимая связи системы зависящими от вре­мени. В работах этого цикла, независимо от Гамильтона и Якоби, он развивает также и теорию того уравнения в частных производных, которое обычно называется урав­нением Гамильтона — Якоби.

Независимо от Гамильтона и Якоби Остроградский доказал, что задача определения интегралов канонических уравнений эквивалентна нахож­дению полного интеграла некоторого дифференциального уравнения в частных производных. Все искомые интегра­лы канонических уравнений можно найти дифференциро­ванием полного интеграла уравнения в частных произ­водных.

«По своей ясности,— писал Н. Е. Жуковский,— рас­сматриваемый мемуар Остроградского («Об интегралах общих уравнений динамики») являлся по тогдаш­нему времени весьма ценным изложением теории интег­рирования уравнений динамики и может с успехом слу­жить для лекционных целей и в настоящее время».

Остроградский придавал большое значение изучению величин, инвариантных относительно преобразований ко­ординат. Он отмечает свойство инвариантности канониче­ских уравнений и дает этому факту совершенно правиль­ное объяснение: причина заключается в том, что само движение не зависит от выбора системы координат.

Работы Остроградского по механике являются осново­полагающими. Их значение состоит еще в том, что они послужили источником для ряда дальнейших исследова­ний по выяснению основ вариационных принципов меха­ники.

В мемуаре «О дифференциальных уравнениях, отно­сящихся к задаче изопериметров», а затем в письме к московскому профессору Н. Д. Брашману, напечатанном в 1866 г., Остроградский высказал сомнение в справед­ливости принципа наименьшего действия Лагранжа.

Ос­новные возражения Остроградского сводятся к следующе­му. Для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проб­лему. Остроградский же замечает, что в принципе наи­меньшего действия переменные связаны законом живых сил и не являются поэтому независимыми, в отличие от переменных обыкновенной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчинены некоторому условию и не могут быть совершенно произволь­ными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа у Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственную формулировку: в случае консервативной сис­темы действительная траектория движения между двумя точками обладает тем свойством, что преобразование урав­нений движения приводит к условию:

∫(Т  + U) dt = minimum,

где U— потенциальная функция, Т — кинетическая энер­гия системы. И, обратно, из минимальности интеграла можно получить уравнения движения.

Принцип Остроградского очевидным образом отличается от принципа наименьшего действия Лагранжа, в котором экстремума достигаетTdt.

После опубликования письма Остроградского к Брашману вопрос о справедливости принципов Лагранжа и Гамильтона — Остроградского вызвал живейшее обсужде­ние в русской математической литературе. В начале усилия были направлены именно на то, чтобы доказать ложность принципа Лагранжа, хотя Брашман, по свиде­тельству Н. Е. Жуковского, и признавался, что когда он размышляет об этом вопросе утром, то ему кажется, что прав Лагранж, а когда размышляет вечером,— что прав Остроградский.

Н. Д. Брашман (1796—1866) и И. И. Рахманинов (1826—1897) обнаружили противоречие у Лагранжа, и вопрос казался разрешенным. Однако, как показал М. И. Талызин (1819—1869), это противоре­чие доказывает только,, что знак вариации означает у Лагранжа неизохронную вариацию. Талызин же показал, что в принципе наименьшего действия время варьиру­ется, а не варьируется одна из координат.

Сравниваемые движения могут быть различными. В слу­чае изохронной вариации выполняется условие, что срав­ниваемые движения должны быть равновременны; двига­ясь по различным траекториям, точка из одного положе­ния в другое должна всегда приходить в одно и то же время, т. е. δ= 0. В случае, когда допускаются изоэнергетические вариации, на сравниваемых траекториях система должна иметь одну и ту же энергию: Т — U = const.

Для уяснения смысла принципа Лагранжа большое зна­чение имели работы профессора Московского университе­та Ф. А. Слудского (1841 — 1897). Он показал в своих статьях, что Остроградским высказан новый вариацион­ный принцип и что оба принципа — Лагранжа и Острог­радского одинаково справедливы:                                               «Выражения  начала наименьшего действия, данные этими учеными, суть вы­ражения двух различных общих свойств движения».

Таким образом, Слудский и Талызин показали, что принцип наименьшего действия Лагранжа и принцип Га­мильтона — Остроградского существенно различны. В последнем принципе точке действительной траектории соот­ветствует точка на варьированной траектории, причем обе точки проходятся в один и тот же момент времени, т. е. вариации координат изохронны и время не варьируется. В случае же принципа Лагранжа используются изоэнергетические вариации, справедлив закон живых сил Т — U =const, и время должно варьироваться.

В работах русских ученых всесторонне исследована первая вариация интеграла действия: Д. К. Бобылев ис­пользовал при исследовании метод произвольных постоянных, И. И. Сомов привлек криволинейные координаты, И. Д. Соколов отметил специфические особенности приме­нения метода неопределенных множителей для получения уравнений движения, возникающие в силу особого харак­тера условного уравнения Т — U =const; Г. К. Суслов обобщил принцип Гамильтона — Остроградского на случай неголономных связей.

Русские ученые исследовали также вопрос о том, при каких условиях действительно имеет место минимум; при­менение теории второй вариации к механике, ее модификация и детальная разработка были даны в работах И. Д. Соколова, В. П. Ермакова, Г. К. Суслова, Д. К. Бо­былева. Принципу наименьшего действия посвятил две статьи Н. Е. Жуковский.

Все эти работы показывали, что русская механика всту­пила в пору своей зрелости, начало которой было поло­жено исследованиями Остроградского. В работах русских ученых был решен комплекс вопросов о характере вари­ации в принципе наименьшего действия в форме Лагранжа и о методе вывода из него уравнений движения меха­ники. Глубоко изучена была также строгая математиче­ская форма самого принципа наименьшего действия и его связь с уравнениями движения. Выяснение этих вопросов было необходимо для того, чтобы принцип наименьшего действия стал не только безупречным основанием анали­тической механики, но и мощным методом исследования в различных областях физики.

Действительно, роль принципа Гамильтона — Остро­градского в дальнейшем развитии физико-математических наук оказалась весьма значительной. Теперь трудно ука­зать такую область механики, физики, где мы не встрети­лись бы в той или иной форме с применением принципа Гамильтона — Остроградского.

Из других важных трудов Остроградского по механи­ке следует отметить его исследование о принципе возмож­ных перемещений «Общие соображения относительно мо­ментов сил» (1834 г., опубликовано в 1838 г.). Эта работа значительно расширила область применения прин­ципа возможных перемещений, распространила его на так называемые освобождающие (или неудерживающие) связи.

Исследования Остроградского по принципу возможных перемещений являются непосредственным продолжением работ Лагранжа и обобщением его идей. Так считал и сам Остроградский, писавший: «Лагранж не удовлетво­рился тем, что вывел следствия из принципа И. Бернул­ли, но расширил и обобщил самый принцип и приложил его к решению труднейших вопросов равновесия и дви­жения систем. Затем вопрос сочли исчерпанным и пола­гали, что ничего нельзя уже прибавить к теориям, установленным Лагранжем. Однако, продолжает Остро­градский, принцип виртуальных скоростей еще шире, чем предполагал сам Лагранж, который, как и Бернулли, счи­тал, что для равновесия системы необходимо, чтобы пол­ный момент, т. е. сумма моментов всех сил, был равен нулю для всех перемещений, которым может быть подвер­жена система.

Под моментом сил Остроградский подразумевал работу сил. Итак, здесь ученый развивает мысль о распростра­нении метода возможных перемещений на системы с освобождающими связями, поставив условием равновесия требование, чтобы полный момент сил был равен нулю или меньше нуля. Этот же метод был применен Остроградским для вывода дифференциальных уравнений дви­жения, причем эти уравнения были выведены Остроград­ским и для случая голономных освобождающих связей, и для дифференциальных (неголономных) связей линей­ного вида.

В работах «О мгновенных перемещениях систем, под­чиненных переменным условиям» (1838) и «О принципе виртуальных скоростей и о силе инерции» (1841 г., опуб­ликовано в 1842 г.) Остроградский дал строгое доказа­тельство формулы, выражающей принцип возможных пе­ремещений, для случая нестационарных связей. Во вто­рой работе указаны некоторые неточности, допущенные Пуассоном в курсе механики.

Лагранж в «Аналитической механике» рассмотрел мно­гие вопросы этой науки, но одна интересная задача тео­рии удара была оставлена им в стороне; частный случай ее был изучен вскоре Л. Карно. В мемуаре «К общей теории удара» (1854 г., опубликовано в 1857 г.) Остро­градский исследовал удар систем в предположении, что возникшие в момент удара связи сохраняются и после него. Он распространил здесь принцип возможных пере­мещений на явление неупругого удара и получил основ­ную формулу аналитической теории удара, из которой легко получается ряд теорем, решение упомянутой зада­чи и, в частности, обобщение одной теоремы Карно.

М. В. Остроградский читал лекции по аналитической механике. Курс, читанный им в Институте инженеров путей сообщения, был литографирован в 1834 г. По сло­вам коллеги Остроградского, известного математика В. Я. Буняковского, выход этого сочинения ожидался с нетерпением. Позднее, в 1852 г., вышли в литографиче­ском издании лекции по аналитической механике, читан­ные Остроградским в Главном педагогическом институте.

Эти лекции Остроградского, составленные на основе классических работ Лагранжа, а также новейших работ Фурье (1768—1830), С. Пуассона (1781—1840), Гамильтона и самого лектора, имели большое значение для распространения физико-математических наук в России. Изложение Остроградского во многом оригинально. Он искал в механике наиболее простых и общих принципов, позволяю­щих доказывать ее теоремы наиболее изящно, кратко и просто.

Выдающийся советский ученый, академик Алексей Ни­колаевич Крылов в своем предисловии к новому изданию этих лекций говорил о богатстве их содержания и своеобразии изложения. В докладе Президиуму АН СССР Крылов писал: «Эта книга не только будет служить не­которым памятником знаменитому ученому, но принесет большую пользу как пособие для вузов и втузов».

Остроградскому принадлежат не только общие теоре­тические труды широкого охвата, но и работы, содержа­щие решения конкретных частных задач механики, возникших в технической практике того времени. Особого упоминания заслуживает серия его работ по баллистике, предпринятая по заданию русского артиллерийского ве­домства. Плодом этих занятий явились два его мемуара в этой области: «Заметка о движении сферического сна­ряда в сопротивляющейся среде» и «Мемуар о движении сферического снаряда в воздухе» (1840 г., опубликовано в 1841 г.), а также «Таблицы для облегчения вычисления траектории тела в сопротивляющейся среде» (1839 г., опубликовано в 1841 г.).

В первых двух работах Остро­градский исследовал актуальный для артиллерии того времени вопрос о движении центра тяжести, о вращении сферического снаряда, геометрический центр которого не совпадает с центром тяжести. Здесь был сделан сущест­венный шаг вперед по сравнению с несколько более ран­ними исследованиями Пуассона, который изучил движе­ние сферических снарядов в допущении, что эти два цент­ра совпадают. Формулы Пуассона получаются из формул Остроградского как частные случаи.

Третье  сочинение «Таблицы для облегчения вычисления траектории тела в сопротивляющейся среде» заключает в себе вычисленные Остроградским таблицы функции

2016-01-03 17-31-21 Скриншот экрана, которая играет весьма важную роль в баллистике.

Эти работы послужили одной из основ для создания во второй половине XIX в. русской школы баллистики, блестящими представителями которой впоследствии явились П. Л. Че­бышев, Н. В. Майевский, В. Н. Шкляревич, Н. А. Забудский и др.

В последние годы жизни М. В. Остроградский дважды прочитал курс баллистики в Артиллерийской академии. Труды Остроградского по баллистике и по небесной механике привели его к открытию важных формул в области приб­лиженных вычислений.