УИЛЬЯМ РОУАН ГАМИЛЬТОН

УИЛЬЯМ РОУАН ГАМИЛЬТОН (1805—1865)

УИЛЬЯМ РОУАН ГАМИЛЬТОН (1805—1865)

Уильям Роуан Гамильтон (1805—1865) был одним из ге­ниальных людей своего времени. Уже в ранние годы он поражал окружающих исключительными, разнообразными способностями. В четырехлетием возрасте он недурно знал географию и свободно читал литературу на англий­ском языке, а восьми лет овладел итальянским и фран­цузским языками, изучал арабский, санскрит и латынь. Особенно большую склонность проявлял юноша к математике.

В 1824 г. Гамильтон поступил в Тринити — колледж Дублинского университета, где успешно изучал матема­тические науки и разрабатывал геометрическую оптику, или теорию лучей. В возрасте 22-х лет молодой ученый бьгл назначен профессором астрономии колледжа св. Ан­дрея Дублинского университета и королевским астроно­мом Ирландии. В течение ряда лет он возглавлял также Дублинскую астрономическую обсерваторию и читал лек­ции по астрономии.

В 1837 г. Гамильтон был избран президентом Ир­ландской академии наук. Научные заслуги его нашли широкое признание во всем мире.

В 1828 г. в «Известиях» Ирландской академии наук Гамильтон опубликовал одну из своих самых знамени­тых работ — «Теорию систем лучей». Исследуя системы оптических лучей, он исходил прежде всего из практи­ческих запросов их применения в оптических приборах.

В третьем добавлении к этому труду ученый на основа­нии сложных математических вычислений предсказал су­ществование нового, до тех пор неизвестного явления — внешней и внутренней конической рефракции в двухос­ных кристаллах. Открытие Гамильтона вызвало огром­ный интерес и впоследствии сравнивалось с открытием планеты Нептун на основе вычислений Леверье.

Руководствуясь идеей оптико-механической аналогии, усматривая ее прежде всего в единой математической форме законов движения лучей и материальных частиц, Гамильтон использует в механике так называемый прин­цип наименьшего действия.

Применяя этот принцип к определенным явлениям, Гамильтон исходил из того, что для действительного, осуществляющегося движения тел величина, равная произведению энергии на время и на­званная им «действием», должна иметь некоторое мини­мальное значение. Несколько позже Гамильтона и неза­висимо от него принцип наименьшего действия был раз­работан русским ученым М. В. Остроградским, который распространил его на значительно более широкий круг явлений. Этот принцип теперь справедливо называется принципом Гамильтона—Остроградского. Он оказался мощным математическим оружием физики и был широко использован в работах Максвелла, Гельмгольца, Умова, Эйнштейна, де Бройля, Шредингера и других ученых.

Перейдя к механике, Гамильтон показал значение в ней своего нового вариационного принципа, а его харак­теристическая функция для задач механики («функция Гамильтона» Н) оказалась, при довольно широких усло­виях, совпадающей с энергией механической системы. Зная, как выражается функция Н через координаты и импульсы составляющих систему материальных точек, можно сразу составить дифференциальные уравнения, определяющие координаты и импульсы. Получающаяся система дифференциальных уравнений («канонические уравнения») равносильна системе уравнений движения, в частности — системе уравнений Лагранжа второго рода, но обладает некоторыми особыми свойствами, облегчающими ее исследование.

Наконец, Гамильтон связал свою каноническую систему дифференциальных уравнений первого порядка с соответ­ствующим дифференциальным уравнением в частных производных, которому, как выяснилось, удовлетворяет его характеристическая функция Н. Получилась обширная теория. Она дала новую удобную форму уравнений дви­жения, новый подход к проблеме их решения (интег­рирования). Она вскрывала более полно и глубоко анало­гии между механикой и оптикой, выявила новые воз­можности геометрической интерпретации, наконец, она вела к выявлению связи между волновыми и корпускулярными представлениями — но последнее достаточно полно раскрылось лишь через столетие.

Необходимо сказать, что описанная выше теория не была дана Гамильтоном в достаточно общем и закончен­ном виде: он вел свои исследования, переходя к меха­нике, преимущественно в предположении, что имеет дело с системой свободных материальных точек, взаимодей­ствующих с силами, зависящими только от взаимных расстоянии. Обобщение результатов и методов Гамильто­на, устранение излишних ограничений, тщательная раз­работка математических методов является заслугой К. Якоби и М. В. Остроградского. Поэтому часто можно встретить в литературе термин «теория Гамильтона — Якоби», но исторически более справедливо говорить о тео­рии Гамильтона — Якоби — Остроградского.

Эта теория является основным достижением аналити­ческой механики XIX в. Поначалу казалось, что ее глав­ное значение — в развитии аналитических методов. Но более глубокое выявление связи механики с оптикой и раскрытая возможность нового геометрического истолко­вания механических проблем имела принципиальное зна­чение. Во второй половине XIX в. накопление новых фак­тов и разработка новых методов в аналитической меха­нике шло главным образом по линии геометризации. В начале XX столетия, когда это направление сочета­лось с новыми течениями в физике, именно на создан­ной им основе были пересмотрены основные понятия классической механики.

Гамильтона всегда привлекала проблема мнимых ве­личин, значение и геометрическая природа которых не были ясны математикам того времени. Замечательным вкладом в науку явилось открытие им в 1843 г. исчис­ления кватернионов — своеобразной системы чисел, пред­ставляющей собой обобщенную комплексную величину, которая состоит из суммы четырех членов.

Первый член был назван ученым скаляром, три остальных — вектора­ми (термин, введенный Гамильтоном и получивший широ­кое распространение в физике, механике и технических науках). В основе арифметики кватернионов лежат не две единицы, как в арифметике комплексных чисел (т. е. действительная и мнимая единицы), а четыре, операции над которыми подчинены определенным законам. Особые трудности представило для Гамильтона установление за­кона умножения кватернионов, который он нашел много времени спустя после того, как разработал правила их сложения и вычитания.

Гамильтон с большой глубиной и подробностью раз­работал теорию кватернионов, ее приложения в геометрии и механике, а также кватернионный и векторный анализы. Развитию этой теории он посвятил почти целиком последние двадцать два года своей жизни. В 1853 г. был опубликован капитальный труд Гамильтона по этой теории под названием «Лекция о кватернионах».

Историческая роль этой работы двоякая. Во-первых, в ней заложены основы нынешнего векторного исчисле­ния. Во-вторых, теория кватернионов Гамильтона являет­ся одним из главных источников развития такой отрасли математики, как некоммутативная алгебра, т. е. алгебра, в которой не действует переместительный закон умноже­ния. Такая некоммутативная алгебра получила широкое применение в современной теоретической физике.