Плоское напряженное состояние (1. Понятие напряженного состояния в точке)

  1. Понятие напряженного состояния в точке

В сопротивлении материалов твердое тело рассматривается как часть сплошной деформируемой среды. Содержанием этой и следующей лекции является изучение напряжений в некоторой точке тела.

Сначала вспомним, что такое напряжение. Для этого в рассматриваемой точке выделим площадку ΔF (рис. 1).

2018-08-06_13-40-20

От одной части тела к другой в общем случае передаются внутренние силы ΔNZ, ΔTZX, ΔTZY, распределенные по площадке ΔF. Нормальное напряжение σZ и касательные напряжения τZX, τZY представляют интенсивность этих внутренних сил, т. е. предел отношения ΔNZ, ΔTZX, ΔTZY к размеру площадки ΔF при условии ΔF→0.

Напряжения имеют размерность отношения силы к площади.

Очевидно, напряжения зависят от ориентации площадки и с поворотом ее изменяются. Множеству площадок, проведенных через данную точку, отвечает множество нормальных и касательных напряжений. Совокупность этих напряжений и называется напряженным состоянием в точке.

Для сравнения напомним, что в идеальной жидкости в точке всегда наблюдается всестороннее гидростатическое сжатие. При этом нормальное давление по любым площадкам остается неизменным, а касательные напряжения отсутствуют вовсе (закон Паскаля).

Твердая среда в этом отношении более сложна и требует изучения законов изменения нормальных и касательных напряжений с изменением ориентации площадки.

В следующей лекции будет показано, что в точке твердого тела всегда существуют такие три взаимно перпендикулярные площадки, через которые передаются только нормальные напряжения, а касательные напряжения в этих площадках отсутствуют.

Эти площадки и соответствующие им нормальные напряжения называют главными. С помощью понятия главных площадок и напряжений всевозможные случаи напряженного состояния в точке можно разделить на три характерных вида — линейные, плоское и объемное напряженные состояния. Их примеры показаны на рис. 2.

2018-08-06_13-44-42

На нем изображены элементарные параллелепипеды, выделенные из окрестности точки сечениями, параллельными главным площадкам.

В задачах сопротивления материалов часто встречается плоское напряженное состояние. Его признаком является равенство нулю одного из трех главных напряжений. Если в точке существует хотя бы одна площадка, полностью свободная от напряжений, то напряженное состояние будет плоским (или как частный случай — линейным). Зависимости, получаемые ниже для плоского напряженного состояния, находят широкое применение в различных задачах сопротивления материалов. Поэтому этот раздел и выделен в отдельную лекцию. Общий случай объемного напряженного состояния будет рассмотрен в следующей лекции.