Лекция-беседа В.И. Феодосьева «Об устойчивости»

Устойчивость конструкции — это ее способность сохранять свое состояние. Состояние конструкции, обладающей этим свойством, называется устойчивым. Если конструкция этим свойством не обладает, то ее состояние считается неустойчивым. Для устойчивого состояния характерны малые следствия, а для неустойчивогобольшие следствия при небольших начальных возмущениях.

И причины, и следствия не имеют общей меры и оцениваются в зависимости от обстоятельств. Например, не возникает опасений за устойчивость многоэтажного строительного сооружения, воздвигнутого в Москве, поскольку в этом районе практически отсутствуют сейсмические явления. Однако то же самое сооружение считалось бы неустойчивым в районах Камчатки, Ашхабада, в Японии. Вместе с тем если при строительстве сооружения были допущены отклонения от нормы, то и для сейсмически безопасного района могут возникать опасения в части устойчивости, причем одному человеку сооружение может казаться устойчивым, а другому — неустойчивым.

Для количественного анализа такая оценка устойчивости, естественно, не может быть принята. Она нуждается в точном определении для того, чтобы явление могло быть переложено на язык математического анализа, на язык теории устойчивости.

Прежде всего возникает вопрос, что при анализе устойчивости можно не принимать во внимание и что необходимо учитывать? Короче говоря, как выбрать расчетную схему?

При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером. В дальнейшем его подход был развит Лагранжем. По Эйлеру — Лагранжу решение задачи сводится к определению возможных форм равновесия при следующих предпосылках:

Геометрическая и силовая схемы должны быть доведены до такой степени идеализации, чтобы условия равновесия описывались системой однородных уравнений. В частности, если рассматривается сжатый стержень, то предполагается, что он имеет совершенно прямолинейную форму, материал однороден и сжимающая сила приложена строго центрально. Если рассматривается сжатое кольцо, то считается, что оно имеет идеальную круговую форму, а нагрузка распределена по кругу равномерно. Короче говоря, принимается, что влияние начальных отклонений от номинала несущественно. Возмущения, которые налагаются на систему, являются сколь угодно малыми, и по отношению к этим малым возмущениям и рассматривается поведение системы. Перемещения предполагаются происходящими настолько медленно, что инерционные эффекты, связанные с наличием масс, являются несущественными.

Потеря устойчивости отождествляется с выполнением условий существования новых форм равновесия, сколь угодно близких к исходной. Нагрузки, при которых эти условия выполняются, называются, как известно, критическими. При расчете инженерных конструкций критическая нагрузка принимается за предельную, по которой и назначается запас устойчивости.

Рассмотренная классическая схема не является универсальной. От нее в ряде случаев не только возможны, но и необходимы некоторые отступления. Об этом будет сказано в следующей главе. Тем не менее, в подавляющем числе случаев классическая расчетная схема достаточно полно отражает существо явления, а практическая значимость и четкость математического подхода обеспечили ей доминирующее положение в анализе устойчивости деформируемых систем.

Рассмотрим сначала некоторые вопросы определения критических нагрузок в сфере классического подхода. Здесь, несомненно, существует много тонких особенностей, которые далеко не всем известны и часто остаются незамеченными.

Начнем с того, что при решении задач устойчивости нагрузку необходимо задавать со степенью детализации более высокой, чем при решении обычных задач сопротивления материалов. Недостаточно показать величину и направление действующих сил. Необходимо указать также характер их поведения в процессе отклонения системы от исходного положения равновесия. Когда, например, задана система, показанная на рис. 63, молчаливо предполагается, что сила Р сохраняет вертикальное направление независимо от прогибов.

2015-04-26 14-57-24 Скриншот экрана

Но сила Р, как и вообще всякая сила, представляет собой меру взаимодействия объекта с окружающими телами, исключенными из рассматриваемой схемы. Характер взаимодействия может быть различным в зависимости от особенностей наложенных связей. Поэтому будет различным, вообще говоря, и поведение силы Р.

На рис. 64 показаны возможные примеры передачи усилия на стержень. В случае а) усилие передается через жесткий шатун, в случае б) — через трос, в случае в) — через плиту и сферический наконечник. В случае г) — через ролик и плоский диск. Наконец, в случае д) сила создается пороховым ракетным двигателем, закрепленным на конце стержня.

2015-04-26 14-59-23 Скриншот экрана

Пока стержень остается прямым, каждый из пяти случаев вписывается, как будто, в схему, представленную на рис. 63. Различие обнаруживается только при рассмотрении систем в новых положениях равновесия (рис. 65). В результате различного поведения сил получаются и различные значения критических нагрузок.

2015-04-26 15-01-04 Скриншот экрана

 

 

2015-04-26 15-02-14 Скриншот экрана

 

 

В случае а) (рис. 66)дифференциальное уравнение упругой линии стержня будет

 

2015-04-26 15-03-22 Скриншот экрана

Постоянные А, В и f должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялись следующие граничные условия:

2015-04-26 15-06-02 Скриншот экрана

Приравнивая нулю определитель, получаем трансцендентное уравнение

2015-04-26 15-07-15 Скриншот экрана
В случае бесконечно длинного шатуна, т. е. при Ь/l=∞, критическая сила совпадает с обычным значением для защемленного одним концом стержня. По мере уменьшения Ь/l  критическая сила уменьшается.

2015-04-26 15-09-11 Скриншот экрана
Интересен график зависимости критической силы от длины шатуна (рис. 67).

2015-04-26 15-11-07 Скриншот экрана

Здесь отрицательным значением Ь/l соответствует перевернутое положение шатуна. В точке Ь/l = 0 имеет место разрыв функции. При подходе к этой точке справа критическая сила падает до нуля. При подходе слева она принимает значение, соответствующее критической нагрузке для стержня, имеющего свободную опору на одном конце и защемление на другом, а именно:
2015-04-26 15-12-40 Скриншот экрана

2015-04-26 15-13-52 Скриншот экрана
Этот случай соответствует передаче усилия на стержень через растянутый шатун, имеющий длину, равную длине стержня. Условия нагружения оказываются такими же, как при нагружении через трос (рис. 64, б и 65, б). Здесь сила следит за основанием стержня, и изгибающий момент в заделке постоянно равен нулю, что соответствует случаю шарнирно закрепленного по концам стержня.
В примере, показанном на рис. 64, в, критическая сила зависит от радиуса поверхности, по которой осуществляется контакт с плитой. Здесь (рис. 68) имеем

2015-04-26 15-15-39 Скриншот экрана

2015-04-26 15-16-30 Скриншот экрана

Постоянные А, В, f и φ определяются из граничных условий:

2015-04-26 15-18-21 Скриншот экрана

Приравнивая нулю определитель системы, приходим снова к трансцендентному уравнению

2015-04-26 15-19-17 Скриншот экрана

При R=0 получаем, как обычно, критическую силу для защемленного стержня:

2015-04-26 15-09-11 Скриншот экрана

При R = ∞ имеем

2015-04-26 15-22-29 Скриншот экрана

Этот случай соответствует условию φ=0. При других значениях R критическая сила лежит в интервале между двумя указанными значениями. В частности, если R =l, то
2015-04-26 15-24-49 Скриншот экрана

На рисунках 64, г и 65, г показан пример передачи усилия на стержень через ролик и плоский диск. В этом случае (рис. 69)

2015-04-26 15-26-02 Скриншот экрана

EJy" = —Ру — Pφ (/ — х).
Далее получаем
у = A sin kх + В cos kх—φ (/ — х) и затем путем обычных операций приходим к уравнению kl tg kl = — 1,
откуда kl  ≈ 2,8, и
2015-04-26 15-30-45 Скриншот экранаПерейдем, наконец, к последнему из примеров: к нагружению защемленного стержня силой Р, создаваемой ракетным двигателем. Эта сила при изгибе стержня будет, очевидно, следить за нормалью к торцевому сечению. Дифференциальное уравнение упругой линии будет (рис. 70)
EJy" =Р (— у) — Рφ (/ — x),
откуда
у = A sin kх + В cos kх + f— φ ( / — x).
Для определения констант А, В, f и φ имеем следующие граничные условия:
при х = 0   у = 0   и    у'=  0,

при х = l   у = f ,           у' =  φ .
Для выполнения этих условий получаем четыре уравнения:
В +  f φ/ = 0;   Аk +  φ  = 0;
A sin kl + B cos kl= 0;   Ak cos kl— Bk sin kl = 0.
Определитель этой системы при ненулевых значениях k и, соответственно, при ненулевых значениях Р в нуль не обращается. Следовательно, стержень не имеет форм равновесия, отличных от прямолинейной. По Эйлеру —Лагранжу это означает, что система устойчива при любых значениях силы Р. Однако более углубленный анализ показывает, что начиная с некоторого значения силы Р существует движение стержня с нарастающей амплитудой колебаний. Таким образом, происходит переход не к новой форме равновесия, а к некоторой форме движения, а величина критической силы оказывается зависящей не только от длины стержня и его жесткости, но и от закона распределения масс.

Естественно, что исследование возможных форм движения выходит за рамки расчетной схемы Эйлера — Лагранжа. Это самостоятельная теория устойчивости движения, основные положения которой тесно связаны с именем А. М. Ляпунова. К этому вопросу мы еще вернемся в дальнейшем.

Примеры, иллюстрирующие различное поведение системы в зависимости от характера поведения внешних сил, можно продолжить. Очень интересной в этом смысле является задача об устойчивости кольца, сжатого радиальными силами (рис. 71).

2015-04-26 16-36-10 Скриншот экрана

Во всех руководствах и справочниках приводится следующее значение критической нагрузки:

2015-04-26 16-47-47 Скриншот экрана

Однако далеко не всем известно, что это выражение справедливо лишь для случая нагружения кольца «следящим» давлением, т. е. силами, постоянно направленными по нормали к изогнутой линии кольца. При ином поведении сил критическая нагрузка будет иной.

Рассмотрим эту задачу более подробно. Обозначим через w радиальное перемещение точек, принадлежащих кольцевому контуру. Изменение кривизны кольца будет

2015-04-26 16-39-14 Скриншот экрана

Эта величина пропорциональна изгибающему моменту M, т. е.

2015-04-26 16-40-51 Скриншот экрана

Для элемента кольца (рис. 72) легко составить уравнения равновесия:

2015-04-26 16-42-42 Скриншот экрана

и Q, то эти величины в докритическом состоянии равны нулю.

2015-04-26 16-44-30 Скриншот экрана

Поведение внешних сил при изгибе кольца учитывается двумя последними слагаемыми.
Предположим, что кольцо нагружено давлением, следящим за нормалью к поверхности. Тогда

2015-04-26 16-46-16 Скриншот экрана

Наименьшее ненулевое значение величина q принимает при п=2. В результате получаем приведенное ранее значение критической нагрузки

2015-04-26 16-47-47 Скриншот экрана
Рассмотрим теперь другой способ создания нагрузки q, Пусть кольцо нагружено радиальными усилиями, создаваемыми при помощи множества упругих резиновых тросов, собранных в центре в узел  (рис. 73).

2015-04-26 16-51-07 Скриншот экрана
В этом случае нагрузка q следит за центром кольца. При повороте элемента дуги ds образуется составляющая касательной нагрузки2015-04-26 16-52-43 Скриншот экрана

Если нити достаточно податливы или если каждая из них натягивается самостоятельно, то при возникновении перемещений w нормальная составляющая внешних сил меняться не будет, следовательно 2015-04-26 16-55-01 Скриншот экрана

Уравнение (1) принимает вид

2015-04-26 16-56-20 Скриншот экрана

т. е. теперь критическая нагрузка в 1,5 раза выше, чем при гидростатическом нагружении.

Если нити натягиваются общим грузом, то при изгибе кольца происходит перераспределение усилий. В области положительных w нити дополнительно растягиваются, а в области отрицательныхукорачиваются. Возникает изменение нормальной составляющей qn . Тогда в уравнение (1) войдет дополнительный член 2015-04-26 16-59-26 Скриншот экрана

где К — коэффициент жесткости нитей.

В результате получим2015-04-26 17-00-56 Скриншот экрана

Таким образом, увеличение жесткости нитей К приводит к повышению критической нагрузки. Это и понятно. Образующиеся дополнительные усилия направлены так, что восстанавливают круговую форму кольца. Низшее критическое значение q достигается, вообще говоря, уже не при n=2, а при некотором другом целочисленном n , зависящем от величины К.

Интересен случай нагружения кольца усилиями, передаваемыми через охватывающую нить (рис. 74).

2015-04-26 17-04-30 Скриншот экрана
В этом случае на поверхность кольца действует распределенная нагрузка, интенсивность которой в каждой точке пропорциональна местной кривизне.

Поэтому

2015-04-26 17-06-08 Скриншот экрана
Параметры нагрузки в него не входят. Следовательно, заданная система сил не может рассматриваться как причина возникновения новых форм равновесия. Уравнение имеет тот же вид, что и в случае полного отсутствия распределенных по поверхности сил. Оно выражает форму равновесия отрезка упругой линии кольца при заданных силовых и геометрических условиях на концах. Для замкнутого кольца новых форм равновесия не обнаруживается.

Таким образом, из расчетной схемы ЭйлераЛагранжа вытекает, что кольцо устойчиво при любых значениях сил Р. Мы снова сталкиваемся со случаем, физическое содержание которого не вписывается в классическую схему. Дело здесь уже не в динамике. Камнем преткновения оказалось предположение о малости возмущений, налагаемых на систему.
Действительно, устойчивость или неустойчивость состояния равновесия определяется «методической» пробой. Системе сообщается не только малое, но сколь угодно малое отклонение от положения равновесия, и суждение об устойчивости выносится в зависимости от последующего поведения системы. Если система возвращается к исходному состоянию, то равновесие считается устойчивым. Однако система, способная восстановить исходное состояние при сколь угодно малом отклонении, может не проявить этого свойства, если ее отклонить сильнее, т. е. если сообщить ей не сколь угодно малое отклонение, а малое, но большее некоторой наперед заданной величины.

Хорошей механической аналогией, иллюстрирующей сказанное, является следующая: карандаш поставлен на стол острием вверх. Площадь опоры мала, а карандаш длинный. Устойчива система или неустойчива?

Для ответа на этот вопрос нелишне вернуться к исходному определению. Под устойчивостью понимается свойство конструкции сохранять свое состояние при реально существующих внешних воздействиях.

Отвлекаясь на время от расчетных схем и теоретических концепций, можно с позиций «здравого смысла» сразу дать ответ, что система неустойчива, и лучшим подтверждением этому является то, что карандаши на письменных столах в столь причудливом состоянии не хранятся. Теперь перейдем к расчетной схеме.

Правильной расчетной схемой будет такая, которая, описывая качественную сторону явления, дает основу для количественной оценки устойчивости. Классический подход в данном случае этим условиям не удовлетворяет. Действительно, сообщая карандашу сколь угодно малое отклонение от вертикали, мы убеждаемся в том, что он восстанавливает свое исходное состояние. Следовательно, его положение равновесия устойчиво. Мало того, оставаясь на позициях сохранения сколь угодно малых отклонений, мы должны признать, что равновесие будет всегда устойчивым, независимо от того, сколь длинным будет карандаш и сколь малой будет опорная площадка. Классический подход, как видим, не дает верного описания явления.

Вывод о том, устойчива система или не устойчива, будет совершенно иным, если на сообщаемые возмущения установить некоторую норму. При небольших возмущениях система сохраняет свое состояние, при больших — не сохраняет. В одних условиях она может рассматриваться как устойчивая, а в других — как неустойчивая.

Например, сооружение из трех поставленных друг на друга табуреток можно считать устойчивым, если сверху ставится модель в классе для рисования. Это же сооружение будет рассматриваться как неустойчивое, если при его помощи необходимо сменить в люстре перегоревшую лампочку.

На основе высказанных соображений возникает мысль несколько расширить возможности классического подхода и, отказавшись от наложения сколь угодно малых перемещений, производить «методическую» пробу, сообщая системе малые, но конечные возмущения.

Так появился критерий устойчивости «в большом», получивший такое название в отличие от обычного определения устойчивости «в малом».Подробнее на этом вопросе мы остановимся в следующей главе, а сейчас вернемся к последней задаче об устойчивости кольца.

При передаче усилия через натянутую нить кольцо оказывается в условиях, совершенно аналогичных условиям равновесия карандаша, стоящего на незаточенном конце. Если кольцу сообщить малое отклонение от круговой формы, то нагрузка изменится таким образом, что кольцо восстановит эту форму. Вместе с тем, если кольцу сообщить возмущение малое, но большее некоторой наперед заданной величины, то произойдет переход к новой форме равновесия (рис. 75).

2015-04-26 17-14-36 Скриншот экрана
Чем больше сила Р, тем меньше возмущение, необходимое для перехода кольца к новому состоянию. Но во всех случаях это возмущение должно быть больше некоторой величины, зависящей от силы Р. Если сравнивать равновесие кольца с равновесием карандаша, то можно сказать, что возрастание силы Р в первой задаче аналогично уменьшению опорной площадки во второй.

Мы рассмотрели несколько примеров различного поведения внешних сил при изменении формы нагруженного объекта. Как видим, в зависимости от этого поведения критическая сила меняется очень существенно, и в ряде случаев оказывается, что там, где можно ожидать потери устойчивости, ее на самом деле не возникает.

2015-04-26 17-16-57 Скриншот экрана

Существуют и обратные примеры. Бывает, что силы на первый взгляд носят безобидный характер, а иногда даже и вовсе «отсутствуют», и, тем не менее, при определенных условиях исходная форма равновесия становится неустойчивой.

Наиболее показательными в этом смысле являются примеры передачи усилий на стержень через жидкость или газ. На рис. 76 представлены три случая нагружения трубки-стержня внутренним давлением. Во всех случаях сам стержень от действия осевой силы освобожден. Однако при отклонении от вертикали в его сечениях возникают моменты, пропорциональные прогибу, как это имеет место и при обычном нагружении.

В случае а) внутренняя полость трубки заполнена тяжелой жидкостью. Естественно, что критическое состояние здесь наступает в тех же условиях, что и для стержня, находящегося под действием собственного веса, равного сумме весов стержня и жидкости. В .этом легко убедиться, рассматривая стержень в отклоненном положении (рис. 77, а).
В случае, показанном на рис. 77, б, уравнение упругой линии изогнутого стержня составляется так же, как и при обычном нагружении осевой силой, и мы получаем:

EJy" = — Ру    Поэтому,как обычно2015-04-26 17-21-29 Скриншот экрана

Дифференциальное уравнение упругой линии может быть составлено и иначе. Силы давления, действующие во внутренней полости изогнутого стержня, создают распределенную нагрузку, направленную в сторону выпуклости (рис. 78).

2015-04-26 17-23-31 Скриншот экрана

На участке длиной dx эта сила будет равна

2015-04-26 17-24-40 Скриншот экрана

В примере, показанном на рис. 77, в, имеем граничные условия: при х=0 у=0 и у' =0. Те же условия сохраняются и для второго конца стержня. В результате для определения постоянных А, В, С, D получаем четыре уравнения:

2015-04-26 17-27-20 Скриншот экрана

т. е. потеря устойчивости происходит при той же силе, приходящейся на поршень, что и при обычном сжатии стержня осевой силой.

Последний пример хорошо объясняется и с энергетических позиций. Если стержень изогнулся (см. рис. 77, в), то при его сползании с верхнего поршня объем внутренней полости увеличивается. Груз, сжимающий жидкость, при этом опускается. Совершается работа, равная дополнительной энергии изгиба стержня.

В дополнение к рассмотренным, остановимся еще на одном примере, где стержень (трубка) не нагружен внешними силами, а находится под воздействием потока жидкости (рис. 79).

2015-04-26 17-32-02 Скриншот экрана
Пусть через трубопровод протекает в секунду масса жидкости m. Тогда на длине трубопровода dx в каждый момент времени находится масса m dx/v, где v — скорость потока. Если трубопровод искривился, то возникает инерционная сила, направленная в сторону выпуклости и равная

2015-04-26 17-34-05 Скриншот экрана

Уравнение упругой линии примет вид

2015-04-26 17-44-01 Скриншот экрана

Если трубопровод шарнирно закреплен по концам, то при x = 0 и при х = I перемещение у и изгибающий момент EJy" равны нулю.
В результате приходим к условию для определения критического параметра:

2015-04-26 17-47-03 Скриншот экрана

Любопытное обстоятельство. Величина mv имеет размерность силы. Это — сила отдачи, действующая даже не на трубопровод, а на агрегат, подающий жидкость. Следовательно, прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, когда сила отдачи становится равной эйлеровой силе.
Для стержня, защемленного одним концом, картина получается иной. В этом случае имеем следующие граничные условия:

2015-04-26 17-49-02 Скриншот экрана

Это означает, что стержень не имеет форм равновесия, отличных от прямолинейной.

Дальнейшее изучение вопроса показывает, что при определенных условиях защемленный одним концом стержень совершает по некоторой форме колебательное движение с нарастающей амплитудой (рис. 80).

2015-04-26 17-51-03 Скриншот экрана

Это явление можно наблюдать на примере поведения гибкого шланга, лежащего на мокром льду.
Итак, мы рассмотрели особенности поведения упругих систем в некоторых специфических условиях нагружения. Здесь наиболее важными являются два обстоятельства.

Первое — это то, что исследование устойчивости должно проводиться с обязательным учетом поведения сил в процессе деформирования системы. Второе обстоятельство сводится к следующему: существуют условия, в которых либо одно, либо другое из основных положений классического подхода оказывается неприемлемым, т. е. нельзя рассматривать подход ЭйлераЛагранжа как абсолютный. Иногда он оказывается бессильным.

Вопрос о том, что делать в подобных случаях, представляет собой одну из наиболее актуальных проблем современной теории устойчивости. Некоторые замечания по этому поводу излагаются ниже.