Задача

Однородный стержень сжат двумя следящими силами (рис. 131).

2015-10-08 10-08-55 Скриншот экрана

Исследовать устойчивость системы.

Здесь, очевидно, имеет место повторение ранее решенной задачи — см.здесь, но при других граничных условиях. Выражение (9) ранее решенной задачи  остается в силе. Меняются лишь граничные условия. Теперь

2015-10-08 10-13-54 Скриншот экрана (1)

Далее получаем четыре уравнения:

2015-10-08 10-14-45 Скриншот экрана

Приравнивая нулю определитель, получим трансцендентное уравнение

2015-10-08 10-15-42 Скриншот экрана  (2),

которое и подвергается анализу.

В зависимости от характера функции ω = f (β) и решается вопрос о поведении стержня. Если при некоторых значениях безразмерной силы β2 частота ω обращается в нуль, стержень имеет формы равновесия, отличные от прямолинейной.

Если  нулевых точек для ω не имеется, надо определять условия кратности частот, что соответствует условиям возникновения движения с нарастающей амплитудой.

Весьма эффектно выглядит другое решение, предложенное Л. И. Балабухом. Обращаемся к уравнению (8) ранее решенной задачи. Дифференцируя его два раза по ζ и обозначая 2015-10-08 10-20-36 Скриншот экрана, по­лучим то же самое уравнение:

2015-10-08 10-21-12 Скриншот экрана

но граничные условия теперь будут уже другими:

2015-10-08 10-22-01 Скриншот экрана(3)

Следовательно, решение будет тем же, что и для сжатого стержня, защемленного по концам (рис. 367).

2015-10-08 10-22-54 Скриншот экрана

Но здесь известно, что стержень не имеет колебательных форм по­тери устойчивости. Новая форма равновесия возникает при 2015-10-08 10-23-40 Скриншот экрана.

В этом можно убедиться и на основе анализа уравнения (2), которое остается, кстати, одним и тем же как для граничных  условий (1), так и для условий (3).

Понятно, что форма равновесия для стержня, показанного на рис. 367, является относительной в том смысле, что она должна рассматриваться в связанной системе координат, кото­рая движется с ускорением в пространстве вместе со стерж­нем (рис. 368).

2015-10-08 11-00-39 Скриншот экрана

Здесь две составляющие Pφ уравновешиваются даламберовскими силами инерции 2015-10-08 11-01-54 Скриншот экрана.

Понятно, что рассмотренная операция двукратного диф­ференцирования уравнения приводит к указанным выводам лишь для случая однородного стержня. При неравномерном распределении масс или при переменной жесткости результат будет иным.

В качестве аналога можно рассмотреть два жестких стер­жня, связанных между собой пружиной жесткости с (рис. 369).

2015-10-08 11-03-14 Скриншот экрана

При возникновении угла по­ворота φ система дви­жется с ускорением. Вводя в центре масс уравновеши­вающие инерционные силы, получаем условие устойчи­вости в виде

2015-10-08 11-03-32 Скриншот экрана

где а—расстояние от шар­нира до центра масс.

При нагружении сила­ми P, сохраняющими свое направление (рис. 370), распределение масс, естественно, не имело бы значения.

2015-10-08 11-05-06 Скриншот экрана

В этом случае

2015-10-08 11-05-47 Скриншот экрана

где l — длина одного стержня.