Вопрос об устойчивости и о перемещениях системы

Исследуйте вопрос об устойчивости и о больших перемещениях следующей системы (рис. 168).

2015-06-06 13-17-32 Скриншот экрана

Трубка в нижней части закреплена шарнирно и связана со спиральной пружиной, дающей при повороте трубки на угол φ момент сφ. В трубку вставлена пружина и поршенек, имеющий возможность перемещаться в трубке без трения. Пружина, вставленная в трубку, имеет жесткость с1, т.е при силе P дает осадку  P/с1.

Рассмотрим условие равновесия трубки в отклоненном состоянии (рис. 430).2015-06-06 13-26-37 Скриншот экрана

Если обозначить через Н расстояние от верхнего края поршенька до шарнира в начале нагружения, то тогда, очевидно,

2015-06-06 13-27-42 Скриншот экрана(1), откуда получаем

2015-06-06 13-28-46 Скриншот экрана

Обозначим:

2015-06-06 13-30-06 Скриншот экрана(2)
Тогда имеем

2015-06-06 13-30-54 Скриншот экрана

При различных λ зависимость р от φ носит различный характер. На рис. 431 показана эта зависимость для значений λ = 0,5, 1,0 и 1,2 при 0 ≤ φ < π.

2015-06-06 13-33-46 Скриншот экрана

Полученные кривые соответствуют формам равновесия системы в отклоненном от вертикали положении. Кроме того, существует форма равновесия для вертикально расположенного стержня (уравнение (1) удовлетворяется всегда при φ = 0). На рис. 431 подобные формы равновесия отображаются точками, лежащими на оси ординат. При λ=0,5 и вообще для всех значений 0 < λ < 1 кривые р = р (φ) пересекают ось ординат в двух точках, низшая из которых соответствует первому критическому значению параметра р. Для λ = 0,5  pкр = 0,147. Вообще же говоря,

2015-06-06 13-38-26 Скриншот экрана

или

2015-06-06 13-39-06 Скриншот экрана

Теперь возникает вопрос об устойчивости указанных форм равновесия. Критерием устойчивого положения равновесия является минимум полной потенциальной энергии

2015-06-06 13-48-12 Скриншот экрана

Первые два слагаемых этого выражения представляют собой энергию деформации, а последнее — изменение потенциала внешней силы Р. Так как 2015-06-06 13-49-27 Скриншот экрана , то получаем:

2015-06-06 13-50-13 Скриншот экрана

Условие  2015-06-06 13-51-06 Скриншот экрана является условием равновесия (условием экстремума энергии) и приводит нас, как и следовало ожидать, к уравнению (1), полученному ранее. Условие минимума энергии запишется как2015-06-06 13-52-13 Скриншот экрана, или

2015-06-06 13-53-14 Скриншот экрана

Согласно обозначениям (2) имеем

2015-06-06 13-54-06 Скриншот экрана

Исследуя полученные кривые, мы замечаем, что для некоторых участков этих кривых условие устойчивости выполняется, а для некоторых — нет. На рис. 431 участки, соответствующие неустойчивому равновесию, проведены штриховыми линиями. Для оси ординат условие устойчивости запишется в виде

2015-06-06 13-55-02 Скриншот экрана

откуда получаем:

2015-06-06 13-55-41 Скриншот экрана
Для λ = 0,5, например, вертикальное положение трубки будет неустойчивым при
0,853 > р> 0,147.

На рис. 431 стрелкой показан рост угла φ в функции силы Р в случае λ = 0,5. Вначале угол φ остается равным нулю. При р = 0,147 трубка отклоняется от вертикали, и далее по мере возрастания силы Р угол φ асимптотически приближается к значению φ = π. При этом при φ > π/2 поршенек будет силой Р из трубки вытягиваться. В реальной системе перемещение поршенька, а вместе с ним и возрастание силы Р ограничены длиной трубки.

Построенные кривые показывают, что угол φ может также асимптотически приближаться к значению π/2, например для случая λ = 0,5 при р > 0,853. Это означает, что при достаточно большой силе осадка пружины, находящейся в трубке, возрастает настолько сильно, а вместе с ним настолько быстро убывает плечо силы Р, что последняя не в состоянии перекинуть трубку ниже горизонтали. В пределе при 2015-06-06 14-02-16 Скриншот экрана осадка пружины 2015-06-06 14-03-03 Скриншот экрана, как нетрудно установить, равна Н. Эти формы равновесия, однако, являются неустойчивыми.

При λ > 1, т. е. при достаточно большой жесткости спиральной пружины, или при достаточно малой высоте или жесткости второй пружины с1 вертикальное положение трубки при любых значениях силы Р остается всегда устойчивым, хотя и существуют формы равновесия трубки в отклоненном положении. Для того чтобы трубка приняла эту форму равновесия, необходимо дать ей при помощи внешней силы большое боковое отклонение.

На рис. 431 изображены также ветви кривых р = р(φ) для отрицательных значений р. Эти кривые показывают, что при π/2 < φ < π трубка может находиться в равновесии при
силе другого знака. Этот вид равновесия легко себе представить, если учесть, что теоретически поршенек может смещаться в трубке на величины, большие Н. При Δ > Н сила Р, имея другой знак, будет удерживать трубку в указанном положении равновесия.

Таким образом, мы рассмотрели формы равновесия при 0 ≤ φ < π. Этим, однако, не исчерпывается все многообразие возможных форм. Анализ этого вопроса можно было бы продолжить, расширив область изменения угла φ за пределы π вправо и за пределы нуля — влево.

Рассмотренный пример является примером простейшей нелинейности, где без большого труда удается получить полное решение и наглядно показать его многозначность. В общем же случае решение нелинейных задач представляет собой одну из наиболее сложных и актуальных проблем современной математики и механики.