Задача про угол поворота сечений кольца

Кольцо круглого поперечного сечения (рис. 159) нагружено равномерно распределенными моментами интенсивности m кг см/см.

2015-05-27 21-44-49 Скриншот экрана

Полагая r малым по сравнению с R, определить угол поворота сечений кольца φ в осевой плоскости в зависимости от m при условии, что материал кольца следует закону Гука.

При повороте сечения кольца в осевой плоскости на угол φ в точке A с координатами ρ, α (рис. 415) возникает окружное удлинение 2015-05-27 21-48-24 Скриншот экрана.

2015-05-27 21-49-31 Скриншот экрана

Но по данным фигуры Δ = ρ [sin (α + φ) — sin α],  а = R  +ρ sinφ .

Так как ρ много меньше R, то a ≈ R.  Поэтому имеем

2015-05-27 21-53-56 Скриншот экрана (1)

Напряжения σ дают в сечении кольца изгибающий момент относительно горизонтального диаметра, равный 2015-05-27 21-55-05 Скриншот экранагде dF и у соответственно равны:

dF = ρ dα dρ  ,  y = ρ cos (α + φ )

Тогда получаем

2015-05-27 21-59-51 Скриншот экрана (2)

С другой стороны, из условий равновесия половины кольца вытекает, что М = mR. Следовательно,

2015-05-27 22-01-21 Скриншот экрана

При 0 ≤ φ ≤ π/2  момент m возрастает, достигая при φ =π/2 максимального значения

2015-05-27 22-04-34 Скриншот экрана

Для дальнейшего увеличения угла φ требуется меньший момент. При φ = π, т. е. когда кольцо «вывернуто наизнанку», m = 0. Кольцо при этом находится в состоянии неустойчивого равновесия и при малейшем отклонении возвращается в начальное положение.

При φ > π момент m < 0. Это означает, что для удержания кольца в заданном положении в этом случае необходимо приложить момент обратного знака.

Полученное выше значение mmax   можно рассматривать как критическое значение момента, при котором происходит, как говорят, «опрокидывание» кольца.