Задача

Определить, как зависит скорость вылета стрелы из лука от величины оттяжки тетивы w (рис.169).

2015-09-17 22-30-52 Скриншот экрана

При отвязанной тетиве дуга лука представляет собой прямую балку длиной 2l и жесткости EJ.

Провести числовой расчет скорости вылета для случая:

2015-09-17 22-32-37 Скриншот экрана

При расчете считать, что энергия натянутого лука целиком переходит в кинетическую энергию стрелы; тетиву считать нерастяжимой.

Задача является типичной задачей о больших пере­мещениях упругого бруса.

Обратимся к решению задачи, решенной ранее (см. — здесь). Упругая балка, пока­занная на рис. 337, может быть уподоблена по­ловине дуги лука.

При s = l выражение (5) (здесь и далее, при ссылке на номер формулы без штриха — см. задачу) принимает вид

2015-09-17 22-42-59 Скриншот экрана  (1')

При s = l кривизна бруса равна нулю 2015-09-17 22-44-44 Скриншот экрана. По­этому из (4)  следует

2015-09-17 22-45-23 Скриншот экрана  (2')

При s = 0   ζ = δ. Из этого условия и из выражения (3) получаем

2015-09-17 22-47-57 Скриншот экрана  (3')

Рассмотрим вначале первую стадию изгиба бруса — под­вязку тетивы (рис. 432).

2015-09-17 22-48-44 Скриншот экрана

В этом случае, как видно из рис. 337, δ = 0. Поэтому из (3') вытекает, что ψ0 = 0. Для этого же случая имеем:

xL = a, yL= h.

Выражения (5) и (7)  дают:

2015-09-17 22-50-44 Скриншот экрана

Задаемся несколькими значениями и, пользуясь табли­цами эллиптических интегралов, находим из последних урав­нений 2015-09-17 22-51-50 Скриншот экрана. Результаты сводим в следующую таблицу:

2015-09-17 22-52-37 Скриншот экрана

Интерполируя полученные данные, находим для заданного 2015-09-17 22-54-08 Скриншот экрана следующие величины:

2015-09-17 22-54-39 Скриншот экрана

Мы получаем, таким образом, усилие Р1 в натянутой тетиве и длину тетивы а, которая при дальнейших дефор­мациях системы остается неизменной.

Рассмотрим теперь второй этап изгиба бруса. Здесь ве­личина ψ0 нулю не равняется и остается неизвестной. Оп­ределение этой величины будем производить следующим образом. Задаемся величинами k и ψ0. Из выражения (3') на­ходим δ по условию:

2015-09-17 22-57-03 Скриншот экрана

Затем из (1') определяем

2015-09-17 22-57-46 Скриншот экрана

Выражения (6)  дают:

2015-09-17 22-58-34 Скриншот экрана,

а из выражений (7)  находим:

2015-09-17 22-59-31 Скриншот экрана

Наконец, определяем длину а тетивы (рис. 433):

2015-09-17 23-00-25 Скриншот экрана

2015-09-17 23-01-08 Скриншот экрана

откуда

2015-09-17 23-01-41 Скриншот экрана

Это отношение должно равняться 0,945. При постоянном k задаемся несколькими значениями ψ и повторяем подсчеты, пока не добьемся того, чтобы 2015-09-17 23-03-30 Скриншот экрана равнялось 0,945, Такой подбор производим для нескольких значений kРезультаты сводим в таблицу

2015-09-17 23-04-59 Скриншот экрана
Затем вычисляем перемещение w (рис. 433):

2015-09-17 23-05-58 Скриншот экрана,

и усилие

2015-09-17 23-06-54 Скриншот экрана.

для тех же значений k и ψ0 получаем:

2015-09-17 23-09-29 Скриншот экрана

На рис. 434 показан график зависимости 2015-09-17 23-11-15 Скриншот экрана от 2015-09-17 23-11-47 Скриншот экрана.

2015-09-17 23-12-25 Скриншот экрана

Площадь, ограниченная этой кривой на интервале 2015-09-17 23-13-14 Скриншот экрана дает выражение упругой энер­гии, передаваемой стреле при спуске. На рис. 434 показана и интегральная кривая для энергии UЭта кривая получена простым планиметрированием первого графика.

Теперь перейдем к числовому подсчету. При заданном 2015-09-17 23-14-17 Скриншот экрана снимаем с кривой

2015-09-17 23-14-58 Скриншот экрана

Эту энергию приравниваем кинетической энергии стрелы

2015-09-17 23-15-54 Скриншот экрана

На самом деле скорость v будет несколько меньше, так как часть энергии уйдет на сообщение кинетической энер­гии тетиве и дуге лука. Сила Q, которую необходимо приложить к луку, чтобы задать стреле вычисленную скорость, также определится из графика рис. 434:

2015-09-17 23-17-29 Скриншот экрана