Задача про тросик

Во многих приборах, например в спидометре, для передачи момента используется гибкий вал, представляющий собой тонкий тросик, свободно вращающийся в неподвижной оплетке (рис. 161).

2015-05-27 23-08-50 Скриншот экрана

При равномерном вращении одного конца тросика равномерно вращается и второй конец. В дефектных валах, однако, эта равномерность вращения нарушается. Выходное сечение поворачивается вначале с замедлением, а затем — с ускорением так, что угловая скорость на выходе остается в среднем неизменной, но возникает переменная составляющая с периодом вращения троса. Установлено, что этот дефект связан с начальной кривизной, которую имеет трос до помещения его в оплетку.

Исследовать указанное явление и установить условия устранения неравномерности хода. Силами трения троса об оплетку можно пренебречь.

Поставленная задача может быть решена в рамках статического подхода.
Не рассматривая динамического эффекта, связанного с неравномерным вращением троса, определим закон изменения уравновешивающего момента на выходе при неизменном моменте на входе. Обозначим через 1/ρ кривизну троса и, пренебрегая силами трения, составим уравнение равновесия для элемента троса длиной ds (рис. 416).2015-05-27 23-16-12 Скриншот экрана

Реакции, действующие на элемент со стороны оплетки, нормальны к поверхности троса и момента относительно оси х не дают. Поэтому, приравнивая нулю сумму моментов относительно оси х, получим:2015-05-27 23-18-59 Скриншот экрана (1)

Следовательно, при отсутствии сил трения момент Мx   меняется вдоль оси постольку, поскольку существует момент Мy , т. е. изгибающий момент в плоскости, перпендикулярной плоскости кривизны троса.

Рассмотрим в сечении троса точку А с полярными координатами r и ψ (рис. 417).

2015-05-27 23-22-41 Скриншот экрана

Нормальное напряжение в этой точке можно представить в виде двух слагаемых. Первое представляет собой то напряжение, которое возникает в тросе при искривлении его по форме оплетки, т. е.

2015-05-27 23-24-11 Скриншот экрана, где 1/ρ0   — та кривизна троса, которую он имел до помещения в оплетку.

Второе слагаемое представляет собой то напряжение, которое возникает в точке А после поворота троса в оплетке на угол φ.

Сначала находим смещение точки А вдоль оси у (рис. 417):

2015-05-27 23-26-57 Скриншот экрана

Теперь найдем изгибающий момент Мy  2015-05-27 23-28-53 Скриншот экрана или

2015-05-27 23-29-37 Скриншот экранаоткуда

2015-05-27 23-30-34 Скриншот экрана

Уравнение (1) примет вид:

2015-05-27 23-31-24 Скриншот экрана
Интегрируем это выражение по s, полагая, что все сечения повернулись на один и тот же угол φ:

2015-05-27 23-32-22 Скриншот экрана

Если на одном конце троса (при s = 0) приложен момент М1 , то уравновешивающий момент М2   при s = l будет следующим:

2015-05-27 23-34-16 Скриншот экрана
Таким образом, мы видим, что уравновешивающий момент на конце троса получает дополнительное слагаемое, меняющееся пропорционально синусу угла поворота троса. Если же моменты M1  и М2   сделать равными, то при повороте троса условия равновесия не будут соблюдаться и вращение на выходе не будет равномерным.
Момент М2   не будет зависеть от угла φ, если

 2015-05-27 23-36-56 Скриншот экрана

Достаточным условием нормальной работы троса спидометра является условие 1/р0   = 0, т. е. достаточно, чтобы трос до постановки в оплетку был бы прямым.