Определение напряжений поперечного направления при различных отношениях ℓ/b на основаниях различной податливости. Сравнение с расчетом по схеме плоской деформации

В  практическом методе расчета для определения изгибающих моментов поперечного направления справедлив следующий алгоритм:

2017-03-04 13-48-00 Скриншот экрана  (1)

где: Мр(s) – эпюра моментов от заданной нагрузки в условиях линейной неподвижности всех узлов элементарной рамы,

2017-03-04 13-50-42 Скриншот экрана

V (z) – функция обобщенных поперечных перемещений определяемая решением уравнения (11),

2017-03-04 13-53-16 Скриншот экрана - линейное смещение i – ой стойки элементарной рамы-полоски от узлового загружения рамы сосредоточенными единичными силами,

Мi(s) – эпюра моментов от единичного смещения i – ой стойки элементарной рамы, то есть от i=1.

Проиллюстрируем данный алгоритм на рассмотренных примерах (для плотного грунта, средней плотности, слабого) тоннельной обделки, имеющей два контура в сечении, при различных соотношениях  и различной податливости грунта основания.

  1. Грунт основания – плотный (k=1∙104т/м3).

Для построение эпюры Мр(s) лишаем все узлы рамы-полоски линейной подвижности:

2017-03-04 13-58-47 Скриншот экрана

С учетом симметрии расчетная схема упрощается и принимает вид:

2017-03-04 13-59-31 Скриншот экрана

Основная система метода перемещений и эпюры моментов в ней:

2017-03-04 14-00-12 Скриншот экрана

Коэффициенты канонических уравнений:

r11=6336,4; r12=r21=885,2; R1p=-6,22;

r22=3983,4; R2p=0,3675.

Их решение:

z1=0,0010264; z2=-0,00032034.

Тогда Мр(s) будет:

2017-03-04 14-01-09 Скриншот экрана

Эпюру М1(s) от единичного смещения среднего узла позаимствуем здесь:

2017-03-04 14-04-17 Скриншот экрана

Значение  от действия единичной силы в среднем узле в условиях «задачи 2» найдено здесь:

2017-03-04 14-06-10 Скриншот экрана

Там же  определена величина V для среднего сечения оболочки при ряде конкретных соотношений ℓ/b.

Так, для ℓ/b=2 : 2017-03-04 14-08-21 Скриншот экрана ,

  для ℓ/b=3: 2017-03-04 14-09-19 Скриншот экрана,

 для ℓ/b=5: 2017-03-04 14-10-08 Скриншот экрана,

для ℓ/b=7 :  2017-03-04 14-11-05 Скриншот экрана.

Тогда:

а) в случае ℓ/b=2:

2017-03-04 14-18-09 Скриншот экрана

а эпюра 2017-03-04 14-19-20 Скриншот экрана будет:

2017-03-04 14-19-50 Скриншот экрана

Суммируя эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получим:

2017-03-04 14-21-09 Скриншот экрана2017-03-04 14-22-16 Скриншот экрана

Ранее  для случая k=1∙104т/м3 уже построена эпюра моментов при расчете по модели плоской деформации. Приводим ее здесь:

2017-03-04 14-24-05 Скриншот экрана

Таким образом, для случая плотного грунта основания при определении усилий и напряжений поперечного направления расчет по схеме плоской деформации приводит к вполне достоверным результатам.

Разница между σпоп  и σпд  составляет всего 3,4%.

б) в случае ℓ/b=3:

2017-03-04 14-26-03 Скриншот экрана

эпюра 2017-03-04 14-19-20 Скриншот экрана будет:

2017-03-04 14-26-49 Скриншот экрана

Суммируя эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получаем эпюру Мпоп :

2017-03-04 14-27-40 Скриншот экрана

что превышает σпд =79,43 кг/см2 

в 1,36 раз.

в) в случае ℓ/b=5:

2017-03-04 14-30-31 Скриншот экрана,

эпюра   2017-03-04 14-19-20 Скриншот экранабудет:

2017-03-04 14-31-29 Скриншот экрана

Суммируя эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получаем эпюру:

2017-03-04 14-32-06 Скриншот экрана

что превышает σпд =79,43 кг/см2   в 2,45 раз!

г) в случае ℓ/b=7:

 2017-03-04 14-33-10 Скриншот экрана

Эпюра 2017-03-04 14-19-20 Скриншот экрана будет:

2017-03-04 14-34-20 Скриншот экрана

После сложения с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана , получим:

2017-03-04 14-35-07 Скриншот экрана

что превышает σпд =79,43 кг/см2  в 2,64 раз!

2. Грунт основания – средней плотности (k=1∙103т/м3).

Эпюры моментов в основной системе для построения эпюры Мр(s):

2017-03-04 14-36-53 Скриншот экрана

Коэффициенты канонических уравнений:

r11=4490,4; r12=r21=885,2; R1p=-6,387; r22=3983,4; R2p=0,3675.

Их решение:

z1=0,0015066; z2=-0,000427.

Эпюра Мр(s)=М1∙z1+ М2∙z2+Mp:

2017-03-04 14-38-16 Скриншот экрана

Эпюра М1(s) была построена  ранее:

2017-03-04 14-39-18 Скриншот экрана

Значение 2017-03-04 14-39-49 Скриншот экрана было определено  здесь ,

а величины 2017-03-04 14-41-47 Скриншот экрана для  ряда соотношений  -  здесь и здесь:

2017-03-04 14-43-25 Скриншот экрана

а) в случае ℓ/b=2:

2017-03-04 14-44-10 Скриншот экрана

Сложив эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получим:

2017-03-04 14-45-02 Скриншот экрана

Эпюру моментов, соответствующую расчетной модели плоской деформации, заимствуем отсюда:

2017-03-04 14-46-31 Скриншот экрана

Как и в случае плотного грунта, разница в величинах σпоп  и σпд    при ℓ/b =2 невелика и составляет всего 8,25%.

б) в случае ℓ/b=3:

2017-03-04 15-46-59 Скриншот экрана

Складывая её с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получаем:

2017-03-04 15-47-41 Скриншот экрана

что превышает   σпд = 80 кг/см2 в 1,196 раз.

в) в случае ℓ/b=5:

2017-03-04 15-49-19 Скриншот экрана

Результатом суммирования этой эпюры с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана будет

2017-03-04 15-50-01 Скриншот экрана

что превышает σпд = 80 кг/см2  в 2,04 раз!

г) в случае ℓ/b=7:

2017-03-04 15-51-52 Скриншот экрана

эпюра 2017-03-04 14-19-20 Скриншот экрана будет:

2017-03-04 15-52-34 Скриншот экрана

что превышает σпд = 80 кг/см2 в 1,89 раз.

3. Грунт основания – слабый (k=1∙102т/м3).

Эпюру Мр(s) заимствуем отсюда:

2017-03-04 15-55-47 Скриншот экрана

Эпюра М1(s) для слабого грунта построена здесь:

2017-03-04 15-58-20 Скриншот экрана

Значение 2017-03-04 15-59-35 Скриншот экрана было определено  здесь,

а величины 2017-03-04 14-41-47 Скриншот экрана составляет:2017-03-04 16-00-16 Скриншот экрана

а) в случае ℓ/b=2:

2017-03-04 16-01-06 Скриншот экрана

Сложив эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, имеем:

2017-03-04 16-01-54 Скриншот экрана

Эпюру моментов, соответствующую расчетной модели плоской деформации, заимствуем отсюда

2017-03-04 16-03-17 Скриншот экрана

б) в случае ℓ/b=3:

2017-03-04 16-05-02 Скриншот экрана

Суммируя эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, имеем:

2017-03-04 16-06-05 Скриншот экрана

что больше, чем σпд = 80,25 кг/см2 в 1,24 раза.

в) в случае ℓ/b=5:

2017-03-04 16-07-14 Скриншот экрана

Суммируя эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получим:

2017-03-04 16-07-56 Скриншот экрана

что превышает σпд = 80,25 кг/см2  в 1,79 раза.

г) в случае ℓ/b=7:

2017-03-04 16-09-01 Скриншот экрана

Суммируя эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получим:

2017-03-04 16-09-43 Скриншот экрана

что превышает  σпд = 80,25 кг/см2 в 2,17 раз.

д) для случая ℓ/b=9:

2017-03-04 16-10-46 Скриншот экрана

Суммируя эту эпюру с эпюрой 2017-03-04 14-20-33 Скриншот экрана, получим:

2017-03-04 16-11-34 Скриншот экрана

что превышает  σпд = 80,25 кг/см2 в 2,3 раза.