Определение нормальных напряжений поперечного направления в обделке с четырьмя контурами в сечении. Сравнение с решением по схеме плоской деформации

Используя симметрию с целью упрощения расчета, формулу (1) для оболочки с четырьмя контурами в сечении представим в виде:

2017-03-28 20-05-43 Скриншот экрана     (2),

где: Мр(s) – эпюра моментов от заданной нагрузки в отсутствие линейных смещений промежуточных узлов элементарной рамы (рис.а),

М1(s) – эпюра моментов от 1=1 (рис.б),

М2(s) – эпюра моментов от 2=1 (рис.в),

2017-03-28 20-20-58 Скриншот экрана

2017-03-28 20-22-24 Скриншот экрана  — смещения промежуточных узлов элементарной рамы от узлового загружения единичными грузами  (рис.г).

2017-03-28 20-23-27 Скриншот экрана2017-03-28 20-24-00 Скриншот экрана

1.Случай грунта средней жесткости (k=1∙103т/м3)

  1. Построение эпюры Мр(s).

Расчетная схема

2017-03-28 20-25-38 Скриншот экрана

Основная система

2017-03-28 20-35-46 Скриншот экрана

«Единичные»  и грузовая эпюры:

2017-03-28 20-36-37 Скриншот экрана2017-03-28 20-37-11 Скриншот экрана

Коэффициенты системы канонических уравнений метода перемещений имеют значения:

r11=4490,4; r12=r21=885,2; r13=r31=740; r14=r41=0; R1p=-6,083;

r22=3983,4; r23=r32=0; r24=r42=1106,5; R2p=0,3675;

r33=7190,4; r34=r43=885,2; R3p=0;

r44=6196,4; R4p=0.

Решение этих уравнений:

z1=1,47∙10-3; z2=-0,44845∙10-3; z3=-0,1644∙10-3;

z4=0,1036∙10-3.

Тогда 2017-03-28 20-38-01 Скриншот экрана :

2017-03-28 20-38-40 Скриншот экрана

2) Построение эпюры М1(s).

Расчетная схема и основная система:

2017-03-28 20-39-59 Скриншот экранаЕдиничные эпюры те же, что и в пункте 1), но грузовая эпюра иная:

2017-03-28 20-40-46 Скриншот экрана

Изменяются так же и грузовые коэффициенты:

R=-441; R=-830; R=0; R=0.

Решение уравнений: z1=0,05817; z2=0,2056; z3=-0,001417; z4=-0,0365.

Эпюра М1(s)=М1∙z1+ М2∙z2+ М3∙z3+ М4∙z4+ Мc:

2017-03-28 20-42-06 Скриншот экрана

3) Построение эпюры М2(s)

Расчетная схема и основная система:

2017-03-28 20-43-26 Скриншот экрана

Грузовая эпюра:

2017-03-28 20-44-00 Скриншот экрана

R1c=0; R2c=0;

R3c=-441; R4c=-830.

Решение уравнений:

z1=-0,035885·10-3;

z2=-37,27·10-3; z3=44,8·10-3; z4=134,2·10-3

2017-03-28 20-44-56 Скриншот экрана

Значения 2017-03-28 20-22-24 Скриншот экрана определены здесь:

2017-03-28 20-47-19 Скриншот экрана

а) ℓ/b=3. При b=4d1=4∙4=16 м  ℓ=3∙16=48м:

2017-03-28 20-48-30 Скриншот экрана

Умножив эпюру М1(s) на 2017-03-28 20-49-17 Скриншот экрана и сложив ее с эпюрой М2(s), умноженной на 2017-03-28 20-49-57 Скриншот экрана, а также с эпюрой Мр(s), получим:

2017-03-28 20-50-35 Скриншот экрана2017-03-28 20-51-19 Скриншот экрана2017-03-28 20-51-50 Скриншот экрана,что больше, чем 2017-03-28 20-52-39 Скриншот экрана, в 2,4 (!) раза.

б) ℓ/b=5ℓ=5∙16=80м:

2017-03-28 20-55-00 Скриншот экрана

2017-03-28 20-57-43 Скриншот экрана2017-03-28 20-58-37 Скриншот экрана

что больше, чем 2017-03-28 20-52-39 Скриншот экрана, в 3,7 (!) раза.

в) ℓ/b=7 ℓ=7∙16=112м:

2017-03-28 21-00-02 Скриншот экрана2017-03-28 21-00-40 Скриншот экрана2017-03-28 21-01-21 Скриншот экрана

что превышает 2017-03-28 20-52-39 Скриншот экрана  в 3,19 (!) раза.

2. Случай слабого грунта основания (k=1∙102т/м3).

1) Построение эпюры Мр(s).

При тех же расчетной схеме и основной системе изменятся единичные эпюры в основной системе:

2017-03-28 21-04-14 Скриншот экрана2017-03-28 21-04-43 Скриншот экрана

Коэффициенты системы канонических уравнений имеют значения:

r11=4095,4; r12=r21=885,2; r13=r31=1147; r14=r41=0; R1p=-6,083;

r22=3983,4; r23=r32=0; r24=r42=1106,5; R2p=0,3675;

r33=6420,4; r34=r43=885,2; R3p=0;

r44=6196,4; R4p=0.

Решение этих уравнений:

z1=1,6836∙10-3; z2=-0,504∙10-3; z3=-0,318967∙10-3;

z4=0,13557∙10-3. 2017-03-28 21-06-04 Скриншот экрана

2) Построение эпюры М1(s).

В этом расчете меняется лишь грузовая эпюра и грузовые коэффициенты:

2017-03-28 21-13-55 Скриншот экрана

R1c=-780; R2c=-830; R3c=0; R4c=0.

Значения неизвестных:

z1=157,006∙10-3; z2=184,209∙10-3;

z3=-22,723∙10-3;

z4=-38,546∙10-3.

2017-03-28 21-15-01 Скриншот экрана

3) Построение эпюры М2(s)

 Здесь другая грузовая эпюра и грузовые коэффициенты:

2017-03-28 21-16-04 Скриншот экрана

R1c=0; R2c=0; R3c=-780; R4c=-830,

и тогда значения неизвестных будут:

z1=-0,024206; z2=-0,02895; z3=0,10877; z4=0,12358.

2017-03-28 21-17-13 Скриншот экрана

Значения 2017-03-28 20-22-24 Скриншот экрана  определены здесь:

2017-03-28 21-18-52 Скриншот экрана

а) ℓ/b=2. При b=4d1=4∙4=16 м  ℓ=2∙16=32м:

2017-03-28 21-19-42 Скриншот экрана

2017-03-28 21-20-28 Скриншот экранаСуммируя эпюры 2017-03-28 21-21-05 Скриншот экрана получим:

2017-03-28 21-22-26 Скриншот экрана

что практически совпадает с  2017-03-28 21-23-00 Скриншот экрана.

б) ℓ/b=3. При b=4d1=4∙4=16 м  ℓ=3∙16=48м:

2017-03-28 21-23-41 Скриншот экрана

2017-03-28 21-24-25 Скриншот экрана2017-03-28 21-24-58 Скриншот экрана

что превышает  2017-03-28 21-23-00 Скриншот экранав 4,19 раз!

б) ℓ/b=5ℓ=5∙16=80м:

2017-03-28 21-26-34 Скриншот экрана

2017-03-28 21-27-11 Скриншот экрана2017-03-28 21-27-51 Скриншот экрана

что больше, чем 2017-03-28 21-23-00 Скриншот экрана в 7,7 раз!

в) ℓ/b=7. При b=16 м    ℓ=7∙16=112м:

2017-03-28 21-28-47 Скриншот экрана2017-03-28 21-29-18 Скриншот экрана2017-03-28 21-29-50 Скриншот экрана

что больше, чем 2017-03-28 21-23-00 Скриншот экрана в 5,2 раза!

Полученные результаты представим в систематическом виде в таблице:

2017-03-28 21-30-58 Скриншот экрана

Эти результаты вполне подтверждают те качественные выводы, которые были сделаны ранее для оболочки с двумя контурами в поперечном сечении.

Причем с увеличением количества контуров в сечении оболочки эффект превышения уровня напряжений поперечного направления над результатами, предсказываемыми моделью плоской деформации, возрастает существенно:

в 3,7 раза (при N=4) против 2,04 (при N=2),

в 3,19 раза (при N=4) против 1,89 (при N=2),

в 4,19 раза (при N=4) против 1,24 (при N=2),

в 7,7 раза (при N=4) против 1,79 (при N=2),

в 5,2 раза (при N=4) против 2,14 (при N=2).