Практический метод пространственного расчета призматических оболочек на податливом основании и порядок расчета этим методом

Призматическая оболочка средней длины, имеющая несколько контуров в поперечном сечении (более одного) и покоящаяся на податливом основании, рассматривается в двух состояниях.

Состояние 1 предполагает изгиб балки с недеформируемым контуром сечения. Граничные условия (на торцах) и модель основания могут быть любыми.

Состояние 2 рассматривает изгиб призматической оболочки за счет деформации контура ее сечения, которая является результатом взаимных смещений стенок оболочки.

Предлагаемый здесь алгоритм относится к решению именно этой второй задачи (состояние 2).

В основе алгоритма – три положения, существенно упрощающие применение вариационной теории расчета призматических оболочек многосвязного сечения, разработанной В.З.Власовым.

Положение 1 допускает неучет влияния деформаций сдвига в плоскостях граней, составляющих оболочку. Справедливость такого допущения обоснована как трудами В.З.Власова и И.Е.Милейковского, так и ряда их последователей в более поздние годы. Результатом этого допущения оказывается существенное снижение количества разрешающих вариационных уравнений до числа степеней свободы элементарной рамы-полоски в плоскости поперечного сечения оболочки.

Положение 2 связано с предлагаемым  статическим способом аппроксимации базисных функций как результата загружения промежуточных узлов элементарной рамы единичными сосредоточенными грузами. Приемлемость такого варианта аппроксимации подтверждается  здесь и ранее.  В случаях, когда характер загружения позволяет ограничиться всего одной аппроксимирующей функцией, задача 2 сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка, которое интегрируется в функциях А.Н.Крылова и позволяет получать решение в замкнутой аналитической форме при любых граничных условиях.

Положение 3 допускает определение параметра нагрузки

 2017-01-22 17-20-26 Скриншот экрана, представляющего собой работу заданной нагрузки на перемещениях, вызванных узловым нагружением рамы-полоски, производить по шарнирной схеме, то есть без учета изгибных деформаций стержней рамы. Положение это заметных погрешностей не вносит, но зато в сильнейшей степени сокращает объем выкладок и упрощает расчет.

Последовательность действий при решении задачи 2, соответствующей «состоянию 2», такова:

  1. С целью определения базисной функции поперечных смещений ψ(s) статическим способом элементарная рама-полоска в условиях задачи 2 загружается сосредоточенными единичными грузами в промежуточных узлах:

2017-01-28 18-22-29 Скриншот экрана

Пользуясь известными методами строительной механики, определяем линейные смещения узлов, учитывая наличие податливого основания: 1, ∆2,…,∆n. Зная их, строим эпюру ψ(s):

2017-01-28 18-23-41 Скриншот экрана

  1. Следуя соотношению (3) см. здесь: φ׳(s)= ψ(s), получаем эпюру функции продольных перемещений:

2017-01-28 18-34-49 Скриншот экрана

  1. По эпюре φ(s) вычисляем коэффициент2017-01-28 18-35-32 Скриншот экрана .
  2. Одновременно с определением узловых смещений ∆1,...,∆n строится и эпюра моментов от действия группы единичных сил – эпюра2017-01-28 18-36-31 Скриншот экрана :

2017-01-28 22-32-25 Скриншот экрана

По этой эпюре вычисляется коэффициент s0:

2017-01-28 22-33-17 Скриншот экрана

где I1 момент инерции поперечного сечения элемента рамы шириной «1» и толщиной «δ»:

2017-01-28 22-34-17 Скриншот экрана

  1. По известным а0 и s0 определяется «параметр жесткости» виртуального (но не действительного) основания:

2017-01-28 22-35-21 Скриншот экрана.

  1. Для определения параметра нагрузки выбирается «шарнирная схема», узлам которой сообщаются перемещения 1, ∆2,…,∆n, и полученная таким образом картина перемещений и принимается для вычисления работы внешних сил:

2017-01-28 22-36-36 Скриншот экрана

Здесь же представлена одна из вероятных схем загружения. Так, для нее параметр q1 будет:

2017-01-28 22-37-17 Скриншот экранаесли d1 – длины панелей.

  1. Составляются граничные условия, отвечающие реальным способам закрепления торцов оболочки (при z=0 и z=ℓ), из которых определяются значения начальных параметров 2017-01-28 22-38-16 Скриншот экрана, которые входят в формулы (14) см. — здесь.
  2. Далее по первой и третьей формулам (14) вычисляются значения V (z) и V”(z), с помощью которых определяются величины прогиба и продольного нормального напряжения в нужном сечении «z»:

2017-01-28 22-42-27 Скриншот экрана

Таким образом, задача 2 решена.

Затем ее результаты суммируются с результатами решения задачи 1.