Ранее примеры расчета обделки тоннеля мелкого заложения с двумя контурами в поперечном сечении для случая плотного грунта - см.— здесь и здесь.

Задача 1.

При величине коэффициента постели  упругая характеристика

С целью сопоставления с приведенными ранее (см. здесь и здесь) результатами рассмотрим и здесь вариант обделки длиной ℓ=40м, так что ℓ/b=5.

Тогда αℓ=0,06935∙40=2,774.

Функции Крылова имеют значения: А(ℓ)=-7,48;   B (ℓ)=-2,28; С(ℓ)=-1,43;  D (ℓ)=2,58. При q=45т/м по формулам находим начальные параметры:

Далее по формулам моментов и прогибов, приведенным здесь, вычислим для среднего сечения «балки»   : при  значения функций Крылова  Тогда

Наибольшее нормальное напряжение от изгиба «балки» с жестким контуром сечения:

Задача 2.

При построении эпюр M₁ и M_с в основной системе воспользуемся Алгоритмом формул метода перемещений. Тогда будем иметь:

Значения коэффициентов канонических уравнений метода перемещений:

r₁₁=4490,4; r₁₂=885,2=r₁₂; r₂₂=3983,4; R_1с=-441, R_2с=-830.

Решением системы этих уравнений является:

z₁=0,0598; z₂=0,195,  и эпюра моментов от ψ₁=1 получает вид:

Для вычисления грузового члена разрешающих уравнений теории В.З.Власова

находим уравнения изогнутых осей стержней элементарной рамы от действия ψ₁=1:

а) верхний ригель

Тогда

б) стойка

в) нижний ригель

При   и EI₁=2213тм²:

В сечении «1», при х₁=1м: В₁=0,5778; С₁=0,168; D₁=0,0325;

В сечении «2», при х₂=2м: В₂=1,0902; С₂=0,6593; D₂=0,2579;

В сечении «3», при х₃=3м: В₃=1,2148; С₃=1,36; D₃=0,8399;

Вычисляем   как работу заданной нагрузки на найденных перемещениях элементарной рамы-полоски:

— для верхнего ригеля длиной d₁=4м:

— для стойки длиной d₂=5м:

— для нижнего ригеля:

Для всей рамы:

При новых значениях коэффициента s₁₁ и грузового члена q₁ система разрешающих уравнений для той же оболочки  примет вид:

Ее решением является:

Тогда нормальное напряжение продольного направления в среднем сечении  будет:

а полная величина продольного нормального напряжения составит

Наибольший прогиб за счет деформации контура

,

что в сумме с прогибом, определенном в задаче 1, составит

Результаты решения по Милейковскому, то есть без учета влияния деформаций сдвига для случая  и при :

по формуле 

Наибольший прогиб вследствие деформации контура

что практически в точности совпадает с расчетом по Власову, а наибольшее нормальное напряжение

,

что отличается от решения по Власову в сторону запаса.

Таким образом, если задачу 2 решать по Милейковскому, то есть пренебрегая влиянием сдвиговых деформаций, то наибольшее напряжение продольного направления и наибольший прогиб соответственно получаются:

.

Далее выполняем расчет по общепринятой схеме плоской деформации, не учитывающей пространственного характера работы сооружения.

От рассмотренного ранее расчета  (см. — здесь) этот расчет отличается значением коэффициента постели основания  . Справедливыми остаются и расчетная схема, и основная система, показанные там же. Эпюры же моментов в основной системе будут иными, а именно:

Для построения эпюры моментов на нижнем ригеле основной системы придется выполнить следующие вкладки:

Используя Формулы метода начальных параметров, при начальных параметрах у₀=0 и φ₀=0, развернем граничные условия у(ℓ)=0 и φ(ℓ)=0:

При k=1∙10³т/м³: 

А_ℓ=-3,4986; B_ℓ=0,1649; C_ℓ=1,8448; D_ℓ=1,7983.

Тогда:

Тогда эпюра моментов будет:

Этот результат и использован в эпюре М_р.

Значения коэффициентов канонических уравнений:

r₁₁=4490,4; r₁₂=r₂₁=885,2; r₁₃=r₃₁=1550; r₁₄=r₄₁=-441;

R_1p=-1,738q₀-0,304=-1,738∙3,5-0,3304=-6,387;

r₂₂=3983,4; r₂₃=r₃₂=830; r₂₄=r₄₂=-830;

R_2p=0,105q₀=0,105∙3,5=0,3675;

r₃₃=1759+415=2174; r₃₄=r₄₃=-438;

R_3p=-2q₀-0,478=2∙3,5-0,478=-7,478; r₄₄=2174; R_4p=-7,478.

Их решение:

z₁=0,0004874; z₂=-0,000131; z₃=0,004006; z₄=0,004295.

Тогда:

Суммируя эти эпюры, получим для всей элементарной рамы-полоски эпюру моментов в условиях плоской деформации оболочки на основании с коэффициентом постели  :

а продольное нормальное напряжение при этом составит

Тогда как действительное нормальное напряжение, определенное в результате пространственного расчета:

σ_z=64кг/см², что превышает величину σº_z в 5,33 раза.