Пример расчета обделки тоннеля мелкого заложения с двумя контурами в поперечном сечении

В качестве объекта исследования рассмотрим обделку тоннеля мелкого заложения, сечение которой состоит из двух прямоугольных контуров.2016-12-01-18-47-30-skrinshot-ekrana

Толщину всех граней оболочки принимаем одинаковой 2016-12-01-18-48-32-skrinshot-ekrana  .

При толщине засыпки h=1,5м грунтом с углом внутреннего трения φ=24˚ и объемным весом γ=1,5т/м3  с учетом дорожной одежды над тоннелем весом 1,25т/м2 величина давления на потолок тоннеля составит

2016-12-01-18-50-50-skrinshot-ekrana

Интенсивность бокового давления грунта засыпки в уровне верха тоннеля составит:

2016-12-01-18-53-27-skrinshot-ekrana,

где2016-12-01-18-54-16-skrinshot-ekrana,тогда

2016-12-01-18-55-13-skrinshot-ekrana

Тогда коэффициент 2016-12-01-18-57-01-skrinshot-ekrana.

В уровне низа тоннеля:

2016-12-01-18-58-08-skrinshot-ekrana

а коэффициент 2016-12-01-18-59-01-skrinshot-ekrana, и тогда 2016-12-01-18-59-34-skrinshot-ekrana.

Считая грунт основания достаточно плотным, принимаем величину коэффициента постели 2016-11-28-20-39-35-skrinshot-ekrana (или 10кг/см3).

Задача 1. Расчет на изгиб как балки с жестким контуром

Осевой момент инерции поперечного сечения обделки при рассматриваемых размерах:

2016-12-01-19-02-27-skrinshot-ekrana

Полагая модуль упругости бетона Еб=332∙103кг/см= 332∙104т/м2, находим изгибную жесткость «балки» EI=332∙104∙26,04=8645,3∙104т∙м2.

При ширине «балки» b=2d1=8м упругая характеристика системы «балка-основание» составит:

2016-12-01-19-04-26-skrinshot-ekrana

Интенсивность вертикальной нагрузки на 1 погонный метр «балки» шириной b=8м будет:

2016-12-01-19-05-34-skrinshot-ekrana

Если учесть и собственный вес тоннельной обделки

2016-12-01-19-06-23-skrinshot-ekrana

то полная нагрузка на «балку» составит

q = 30,2+14,784 = 44,98 ≈4 5т/м.

Здесь γδ объемный вес бетона.

Пусть длина тоннеля в 5 раз больше его ширины. Тогда ℓ=5∙b=5∙8=40м.

Считая оголовки шарнирными опорами по концам «балки», имеем граничные условия:

при z=0:

у0=0, М0=0;

при z=ℓ:

у(ℓ)=0,        (1)

М(ℓ)=0.       (2)

Пользуясь формулами метода начальных параметров (см. - здесь), «развернем» условия (1) и (2):

2016-12-01-19-20-24-skrinshot-ekrana

или

2016-12-01-19-21-08-skrinshot-ekrana

откуда

2016-12-01-19-22-17-skrinshot-ekrana (5)

При αℓ=0,1233∙40=4,032 значения функций Крылова (см. — здесь):

А=14,9388;   B=-26,3123; С=-33,7774;  D=-20,6248, и тогда начальные параметры φ0 и Q0 будут:

2016-12-01-19-25-37-skrinshot-ekrana

Зная начальные параметры, находим изгибающий момент и прогиб в среднем сечении «балки», при 2016-12-01-19-26-53-skrinshot-ekrana :

2016-12-01-19-27-33-skrinshot-ekrana

Значения функций Крылова:

2016-12-01-19-28-23-skrinshot-ekrana

При у0=0 и  М0=0:

2016-12-01-19-29-20-skrinshot-ekrana

В четверти пролета, при 2016-12-01-19-30-20-skrinshot-ekrana :

2016-12-01-19-31-22-skrinshot-ekrana

Мmax  = 385,77 тм, а наибольшее нормальное напряжение 2016-12-01-19-33-21-skrinshot-ekrana

Задача 2.  Расчет на изгиб за счет деформации контура оболочки вследствие взаимного смещения стенок

Расчетная схема оболочки

2016-12-01-19-36-03-skrinshot-ekrana

Степень свободы ее узлов из плоскости поперечного сечения с учетом прямосимметричного характера загружения m=2, а в плоскости сечения n=1. Соответствующие базисные функции показаны на рисунках:

2016-12-01-19-38-34-skrinshot-ekrana

Разрешающие уравнения теории В.З.Власова для случая m=2 и n=1 имеют вид:

2016-12-01-19-39-57-skrinshot-ekrana(6)

а перемещения определяются разложениями:

продольные u (z,s) = U1(z)∙φ1(s) + U2(z)∙φ2(s),

— поперечные v (z,s) = V1(z)∙ψ1(s).

Здесь:

2016-12-01-19-41-34-skrinshot-ekrana2016-12-01-19-42-22-skrinshot-ekrana

Для вычисления коэффициента, характеризующего деформативность контура сечения оболочки, необходимо построить эпюру M1(s) – эпюру изгибающих моментов от действия ψ1=1 при условии линейной неподвижности остальных узлов элементарной рамы-полоски, а точнее: определить функции изгибающих моментов в стержнях рамы-полоски от ψ1=1 (это состояние рамы показано на рисунке вверху)

Учитывая симметричный характер воздействия ψ1=1, выбираем расчетную схему.

2016-12-01-19-45-12-skrinshot-ekrana

Основная система метода перемещений.

2016-12-01-19-46-36-skrinshot-ekrana

Один из четырех элементов рамы связан с податливым основанием, и для определения усилий в этом элементе основной системы будем использовать справочный материал, приведенный здесь.

2016-12-01-19-48-39-skrinshot-ekrana

Коэффициенты канонических уравнений метода перемещений:

r11 = 4566+1770,4 = 6336,4;

r12 = 885,2 = r12;

r22 = 1770,4+2213 = 3983,4;

R=250, R= -830.

Система канонических уравнений принимает вид:

2016-12-01-19-50-28-skrinshot-ekrana

Решив ее, находим: z1=-0,07076,  z2=0,22409.

Тогда эпюра 2016-12-01-19-51-11-skrinshot-ekrana будет:

2016-12-01-19-51-47-skrinshot-ekrana

При «перемножении» эпюры М1(s) «самой на себя» криволинейные участки мысленно спрямляем, и тогда для коэффициента s11 будем иметь:

2016-12-01-19-52-58-skrinshot-ekrana

Грузовой член разрешающих уравнений  представляет собой работу заданной нагрузки на перемещениях, вызванных воздействием ψ1=1, то есть:

2016-12-01-19-55-05-skrinshot-ekrana

Найдем функции у(s) для каждого стержня элементарной рамы:

а) верхний ригель

2016-12-01-19-56-30-skrinshot-ekrana

Полный прогиб произвольного сечения у(s) складывается из двух частей:

у(s)=у12, где: 2016-12-01-19-57-21-skrinshot-ekrana ,

а у2 определяется интегрированием дифференциального уравнения изгиба балки

2016-12-01-19-58-11-skrinshot-ekrana .

Интегрируя его дважды, имеем:

2016-12-01-19-58-52-skrinshot-ekrana

Из граничного условия у(0)=0 находим D=0, а из условия у(d1)=0: 2016-12-01-19-59-39-skrinshot-ekrana , откуда С1=57,34.

Тогда полный прогиб произвольного сечения ригеля будет:

2016-12-01-20-00-24-skrinshot-ekrana (7а)

б) крайняя стойка

2016-12-01-20-02-28-skrinshot-ekrana

Дифференциальное уравнение изогнутой оси стойки:

2016-12-01-20-03-07-skrinshot-ekrana.

Его второй интеграл:

2016-12-01-20-03-39-skrinshot-ekrana.

Из условия у(0)=0 находим D=0, а из условия у(d1)=0 имеем:2016-12-01-20-04-32-skrinshot-ekrana, откуда с=158,

и тогда

2016-12-01-20-05-17-skrinshot-ekrana (7б)

в) нижний ригель (связан с упругим основанием)

2016-12-01-20-06-00-skrinshot-ekrana

Определить непрерывную функцию у(s) в балке на упругом основании не представляется возможным, поэтому ограничимся построением эпюры прогибов по пяти характерным сечениям через равные расстояния 2016-12-01-20-07-06-skrinshot-ekrana.

Из четырех начальных параметров три нам известны:

у0=0; φ0=-0,07076; М0=-73, а четвертый параметр Q0 найдем из условия: y (d1)=1.

Пользуясь формулами метода начальных параметров (см. — здесь), имеем:

2016-12-01-20-09-50-skrinshot-ekrana

Учитывая, что в сечении «4», при αd1=1,031∙4=4,124;  В4=-21,429; С4=-12,85; D4=-2,142, получаем:

2016-12-01-20-11-29-skrinshot-ekranaоткуда Q0=-81,374.

Тогда

2016-12-01-20-12-13-skrinshot-ekrana

В сечении «1», при2016-12-01-20-12-53-skrinshot-ekrana : В1=0,9914; С1=0,5238; D1=0,1812,

и тогда

2016-12-01-20-13-39-skrinshot-ekrana.

В сечении «2», при х2=2м: В2=0,8528; С2=1,7033; D2=1,3332,

2016-12-01-20-14-29-skrinshot-ekrana.

В сечении «3», при х3=3м: В3=-5,1917; С3=0,2828; D3=2,8798,

2016-12-01-20-15-40-skrinshot-ekrana.

В сечении «4», при х4=d1=4м: В4=-21,429; С4=-12,85; D4=-2,142,

2016-12-01-20-16-31-skrinshot-ekrana.

Эпюра у(s) показана выше.

Далее вычисляем работу заданной нагрузки на найденных перемещениях элементарной рамы. При этом необходимо учитывать взаимные направления нагрузок и прогибов.

Так, для верхнего ригеля d1=4м:

2016-12-01-20-17-52-skrinshot-ekrana .

Для стойки d2=5м:

2016-12-01-20-18-45-skrinshot-ekrana

Здесь 2016-12-01-20-19-18-skrinshot-ekranaи  тогда

2016-12-01-20-20-08-skrinshot-ekrana

Для нижнего ригеля:

2016-12-01-21-24-04-skrinshot-ekrana

νА=1,1т/м – полосовая нагрузка от колонны автомобилей А-11.

2016-12-01-21-25-40-skrinshot-ekrana.

Обобщая на всю элементарную раму, будем иметь:

2016-12-01-21-26-19-skrinshot-ekrana.

Решим систему дифференциальных уравнений 2016-12-01-19-39-57-skrinshot-ekrana методом тригонометрических рядов, удерживая один первый член ряда. «Шарнирному» опиранию торцов тоннельной обделки соответствуют следующие функции для искомых обобщенных продольных и поперечных перемещений:

2016-12-01-21-29-08-skrinshot-ekrana.

Их первые и вторые производные будут:

2016-12-01-21-29-54-skrinshot-ekrana

После подстановки и сокращений система уравнений будет:

2016-12-01-21-30-39-skrinshot-ekrana (8)

где обозначено: 2016-12-01-21-31-29-skrinshot-ekrana . При μ=0,15: γ=2,3.

Для тоннеля длиной ℓ=40м параметр 2016-12-01-21-33-14-skrinshot-ekrana , и система данных уравнений  примет вид:

2016-12-01-21-34-03-skrinshot-ekrana

Ее решением является:2016-12-01-21-34-35-skrinshot-ekrana .

Продольные нормальные напряжения как результат депланации поперечных сечений оболочки вследствие взаимного смещения его стенок:

2016-12-01-21-35-26-skrinshot-ekrana

Наибольшего значения это напряжение достигает в среднем узле среднего сечения оболочки:

2016-12-01-21-36-14-skrinshot-ekrana.

Суммируя это напряжение с напряжением, вызванным изгибом оболочки как балки с жестким контуром (задача 1), находим наибольшую величину нормального напряжения продольного направления:

2016-12-01-21-37-11-skrinshot-ekrana.

Найдем наибольший прогиб оболочки, вызванный изгибом за счет деформации контура:

2016-12-01-21-37-56-skrinshot-ekrana,

что в среднем сечении, при 2016-12-01-21-38-30-skrinshot-ekrana  даст:

2016-12-01-21-39-02-skrinshot-ekrana.

Здесь 2016-12-01-21-39-38-skrinshot-ekrana    .

Полный прогиб среднего сечения оболочки составит:

2016-12-01-21-40-16-skrinshot-ekrana.

Далее рассмотрим вариант более простого решения задачи 2 по – Милейковскому И.Е., которое отличается от решения В.З.Власова только неучетом влияния деформаций сдвига в плоскостях граней оболочки.

Для рассматриваемого примера базисная функция поперечных смещений ψ(s) такая же, как и в выше приведенном решении:

2016-12-01-21-41-34-skrinshot-ekrana

А базисная функция продольных перемещений получается из соотношения φ׳(s)= ψ(s) и принимает вид:

2016-12-01-21-42-19-skrinshot-ekrana

Поскольку в данном случае и m=1, и n=1, то система разрешающих уравнений (см. — здесь)

содержит лишь одно уравнение:

2016-12-01-21-46-24-skrinshot-ekrana

Используя вышенайденные значения, будем иметь:

2016-12-01-21-47-58-skrinshot-ekrana

Представляя искомую функцию обобщенных поперечных перемещений синусоидальным рядом и ограничиваясь первым его членом, имеем:

2016-12-01-21-48-52-skrinshot-ekrana

После подстановки будем иметь:

2016-12-01-21-49-36-skrinshot-ekrana

Сократив 2016-12-01-21-50-08-skrinshot-ekrana, получим:

2016-12-01-21-50-36-skrinshot-ekrana

откуда

2016-12-01-21-51-27-skrinshot-ekrana (9)

В рассматриваемом примере ℓ=40м, и тогда

2016-12-01-21-52-17-skrinshot-ekrana

Теперь  найдем:

2016-12-01-21-53-00-skrinshot-ekrana

Наибольший прогиб от изгиба за счет деформации контура

2016-12-01-21-53-52-skrinshot-ekrana.

Обобщенное продольное перемещение U (z) связано с обобщенным поперечным перемещением соотношением : U1(z)=-V1'(z) (см. — здесь)

Тогда 2016-12-01-21-56-08-skrinshot-ekrana, и  формула продольного нормального напряжения преобразуется к виду:

2016-12-01-21-56-51-skrinshot-ekrana.

Учитывая, что 2016-12-01-21-57-29-skrinshot-ekrana, для напряжения в среднем сечении (при 2016-12-01-21-58-37-skrinshot-ekrana)  получаем:  2016-12-01-21-59-16-skrinshot-ekrana       .

Наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение в среднем сечении оболочки составит:

2016-12-01-22-00-04-skrinshot-ekrana            Сравнение с результатами по Власову показывает расхождение (меньшее по прогибам и большее по напряжениям), но в сторону запаса. Трудоемкость же расчета по варианту, предложенному И.Е.Милейковским, существенно ниже, что позволяет рекомендовать именно его в качестве эталона.

Возвращаясь к рассматриваемому примеру, определим полный прогиб и полную величину нормального напряжения как результат суммирования решений задачи 1 и задачи 2:

2016-12-01-22-01-43-skrinshot-ekrana