Расчет обделки тоннеля мелкого заложения с двумя контурами в поперечном сечении по схеме плоской деформации

Ранее такая же обделка тоннеля мелкого заложения была рассчитана с применением вариационной теории В.З.Власова и варианта И.Е.Милейковского с использованием априорной аппроксимации базисных функций — см. здесь.

2016-12-04-21-27-20-skrinshot-ekrana

Следуя модели плоской деформации, из оболочки вырезается рама-полоска шириной dz=1 под действием заданной нагрузки, приходящейся на такую плоскую раму.

Учитывая симметричный характер воздействия, выберем расчетную схему:

2016-12-04-21-30-07-skrinshot-ekrana

Основная система метода перемещений:

2016-12-04-21-33-59-skrinshot-ekrana

При построении эпюр в основной системе на нижнем ригеле, связанном с упругим основанием, используем Алгоритм формул метода перемещений — см. здесь (для плотного грунта с k=1∙104т/м3).

«Единичные» и «грузовая» эпюры моментов выглядят следующим образом:

2016-12-04-21-38-13-skrinshot-ekrana

Для построения эпюры моментов в основной системе на нижнем ригеле длиной d1=4м от заданной нагрузки необходимо решить вспомогательную задачу:

2016-12-04-21-40-15-skrinshot-ekrana

С целью упростить решение заменим сосредоточенные силы равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью 2016-12-04-21-41-44-skrinshot-ekrana. Тогда расчетная схема примет вид:

2016-12-04-21-42-25-skrinshot-ekrana

Начальные параметры: у0=0 и φ0=0.

Два других начальных параметра найдем из условия закрепления правого конца:

у(ℓ)=0,     (1)

φ(ℓ)=0.     (2)   Здесь ℓ=d1

С помощью формул метода начальных параметров (см. — здесь) раскроем эти два условия:

2016-12-04-21-45-30-skrinshot-ekrana

При k=1∙104т/м3:

2016-12-04-21-46-21-skrinshot-ekrana

Тогда будем иметь систему уравнений:

2016-12-04-21-47-28-skrinshot-ekrana

или:

51,4М0+8,31Q0+4,697=0,

85,7M0+49,85Q0-2,217=0,

откуда находим:

М0=-0,1365тм,   Q0=0,279т.

Тогда в сечении 2016-12-04-21-49-11-skrinshot-ekrana :

2016-12-04-21-50-02-skrinshot-ekrana

В сечении 2016-12-04-21-51-04-skrinshot-ekrana:

2016-12-04-21-51-45-skrinshot-ekrana

В сечении2016-12-04-21-52-43-skrinshot-ekrana :

2016-12-04-21-53-19-skrinshot-ekrana

В сечении 2016-12-04-21-54-00-skrinshot-ekrana:

2016-12-04-21-54-57-skrinshot-ekrana

2016-12-04-21-55-37-skrinshot-ekrana

Тогда «грузовая» эпюра моментов в основной системе будет:

2016-12-04-21-56-22-skrinshot-ekrana

Система канонических уравнений:

2016-12-04-21-57-21-skrinshot-ekrana

Ее коэффициенты имеют значения:

2016-12-04-21-58-45-skrinshot-ekrana

Решением системы уравнений является:

2016-12-04-21-59-36-skrinshot-ekrana

Эпюру моментов в условиях плоской деформации получим из выражения:

2016-12-04-22-00-43-skrinshot-ekrana

2016-12-04-22-01-24-skrinshot-ekrana

2016-12-04-22-02-46-skrinshot-ekrana

Наибольшее нормальное напряжение поперечного направления в условиях плоской деформации:

2016-12-04-22-04-16-skrinshot-ekrana

Здесь  2016-12-04-22-05-13-skrinshot-ekrana — погонный момент сопротивления.

Тогда 2016-12-04-22-05-52-skrinshot-ekrana .

Продольное нормальное напряжение в этих условиях 2016-12-04-22-06-36-skrinshot-ekrana

Сравнивая продольное нормальное напряжение, найденное в результате пространственного расчета (см. — здесь), σz=25,18кг/см2 с величиной 2016-12-04-22-09-30-skrinshot-ekrana, полученного при расчете по схеме плоской деформации, констатируем, что σz оказывается больше  более чем вдвое, а именно:2016-12-04-22-10-11-skrinshot-ekrana

Совершенно очевидно, что в тоннельной обделке мелкого заложения даже в случае относительно жесткого грунта (k=1∙104т/м3) расчетом с использованием общепринятой модели плоской деформации невозможно определить действительную «игру сил» в конструкции, причем погрешность здесь не в сторону запаса.

С ростом податливости грунтового основания несостоятельность схемы плоской деформации только увеличивается.