Задача на расчет стенок прямоугольного вертикального резервуара

Дано:

2015-04-08 23-27-57 Скриншот экрана 2015-04-08 23-26-43 Скриншот экрана

Покажем результат вспомогательного расчета прямоугольной замкнутой рамы на действие равномерно распределенной нагрузки q0=1 в виде эпюры прогибов:2015-04-08 23-30-30 Скриншот экрана

Прямоугольный резервуар представляет собой призматическую оболочку, для расчёта которой применяется вариационный метод В.З.Власова. Следуя этому методу, неизвестную функцию прогиба w (х,у) представляем в виде: w (х,у)= f (у)·φ(х). Одной из этих функций задаются. В данном случае в качестве функции φ(х) принимаем уравнение изогнутой оси элементарной рамы-полоски шириной dу под действием равномерной нагрузки q0, как показано на рисунке. Вторая же функция, f (у), является решением дифференциального уравнения2015-04-08 23-33-03 Скриншот экранакоторое нам и предстоит отыскать. Коэффициенты этого уравнения определяются уже готовыми выражениями табл. «Значения коэффициентов А,В,С вычисленные для отношений b/a  сторон прямоугольного контура» (см. рубрику «Таблицы»).В нашем примере при b/a =2:2015-04-08 23-35-53 Скриншот экрана

Тогда параметры r2 и s4 будут: 2015-04-08 23-36-50 Скриншот экрана

Найдём: r=4,139 и s=4,766. Сравнивая их, констатируем, что s>r. Следовательно, все четыре корня характеристического уравнения являются комплексными числами, а параметры α и βдействительные положительные:2015-04-08 23-38-07 Скриншот экранаВеличинами α и β, а также безразмерной координатой 2015-04-07 22-20-02 Скриншот экранаи определяются значения специальных функций Ф1, Ф2, Ф3, Ф4 и их производных, через которые отыскиваются постоянные интегрирования С1÷С4 решением системы алгебраических уравнений :2015-04-08 23-40-51 Скриншот экрана(1)

  1. Определение постоянных интегрирования.

Вычислим коэффициенты этих уравнений для рассматриваемой задачи, пользуясь значениями специальных  функций, приведённых в таблицах «Таблица функции Ф...» (рубрика «Таблицы». Так:2015-04-08 23-44-13 Скриншот экрана

После подстановки значений параметров в (1) имеем:2015-04-08 23-45-14 Скриншот экрана

Из совместного решения двух последних уравнений имеем:2015-04-08 23-45-58 Скриншот экрана

Из первого уравнения выразим С4=-0,808С2, а из второго С3=0,587С1.

И тогда находим:

2015-04-08 23-47-04 Скриншот экрана

Искомая функция обобщенного прогиба f (η) примет вид  2015-04-08 23-47-56 Скриншот экрана и будет:2015-04-08 23-48-45 Скриншот экрана

А функция прогиба произвольной точки стенок резервуара:  w (х,у)=f (η)·φ(х),

что для граней шириной «а» даёт выражение:2015-04-08 23-49-46 Скриншот экрана

а для граней шириной «b»:2015-04-08 23-51-00 Скриншот экрана2.Определение усилий и построение их эпюр. Для определения усилий с целью построения их эпюр в характерных сечениях стенок резервуара выпишем выражения производных, входящих в формулы:2015-04-08 23-52-45 Скриншот экрана

Для граней шириной «а»:2015-04-08 23-53-45 Скриншот экрана

Для граней шириной «b»:2015-04-08 23-54-32 Скриншот экрана

Для любой грани:2015-04-08 23-55-15 Скриншот экрана

Для построения эпюры изгибающих моментов Му в вертикальном сечении посередине длинной стенки резервуара, при  2015-04-08 23-56-18 Скриншот экранавычислим значения функции φв(х) и ее производных в этом сечении:2015-04-08 23-57-09 Скриншот экрана

Для рассматриваемой задачи, при а=2 м, b=4 м:2015-04-08 23-58-09 Скриншот экрана

Для построения эпюры изгибающих моментов Му вычислим также значения функций f (η) и f˝(η) в трёх точках по высоте стенки:2015-04-08 23-59-46 Скриншот экрана2015-04-09 00-00-30 Скриншот экранаТогда значения 2015-04-09 00-08-59 Скриншот экранав исследуемых трех точках будут:2015-04-09 00-10-11 Скриншот экранаЭпюра Му в середине длинной грани резервуара:2015-04-09 00-11-12 Скриншот экрана

Построение эпюры  2015-04-09 00-12-01 Скриншот экрана

в горизонтальном сечении посередине высоты грани, при:2015-04-09 00-13-10 Скриншот экрана

— для грани шириной «b», при а=2м, b=4м2015-04-09 00-14-29 Скриншот экранаЭпюра Мх :

2015-04-09 00-15-20 Скриншот экрана

3. Определение наибольших напряжений и проверка прочности.

С целью проверки прочности резервуара вычислим главные напряжения и расчетное напряжение по IV теории прочности в двух наиболее напряженных точках:

1) в центре длинной грани, то есть в точке с координатами2015-04-09 00-17-04 Скриншот экрана

2) в нижней точке среднего сечения грани «b», при2015-04-09 00-17-58 Скриншот экрана

Наиболее опасной является точке №2. Сравнивая расчётное напряжение в ней с допускаемым напряжением [σ]=210 МПа, констатируем, что условие прочности не удовлетворяется, так как 212 МПа >[σ]=210 МПа, имеется незначительное перенапряжение на 0,95%.

4.Построение эпюры прогибов стенки резервуара и оценка жёсткости.

Вычислим прогибы верхней и средней точек среднего сечения широкой грани по формуле:2015-04-09 00-19-59 Скриншот экрана

По этим результатам строим эпюру прогибов:2015-04-09 00-21-03 Скриншот экрана

Наибольшим оказывается прогиб в центре длинной грани, при2015-04-09 00-22-01 Скриншот экрана

Цилиндрическая жёсткость 

2015-04-09 00-22-46 Скриншот экранаДопускаемая величина прогиба 2015-04-09 00-23-30 Скриншот экрана

Сравнивая, отмечаем, что maxw=0,0129>[w]=0,01м на 29%. Следовательно, жёсткость стенок резервуара недостаточна. Для уменьшения величины прогиба можно либо увеличить толщину стенки h, либо усилить среднее сечение грани уголком, приваренным с внешней или внутренней стороны грани.