Определение обощенных сил и перемещений

Потенциальную энергию можно определять через работу внешних сил (см. - здесь).

В общем случае: 2016-10-23-18-44-31-skrinshot-ekrana, где Р0 – любой силовой фактор (растягивающая сила, крутящий момент и тому подобное) называется обобщённой силой;

 δ0    – соответствующая этой силе деформация (удлинение, угол закручивания, угол поворота и тому подобное) называется обобщённым перемещением.

Под обобщённой силой Р0 следует понимать не одну силу, а уравновешенную систему сил (включая сюда и реактивные усилия), которая производит деформацию.

Рассмотрим общий случай нагружения при изгибе.

 2016-10-25-22-47-05-skrinshot-ekrana

 За отдельные обобщенные силы здесь можно принимать:

1) Сосредоточенную силу Р с реакциями  2016-10-25-22-49-58-skrinshot-ekrana и 2016-10-25-22-50-39-skrinshot-ekrana

2) Два момента М0 с соответствующими реакциями.

3) Равномерно распределённую нагрузку q с реакциями А и В.

2016-10-25-22-54-27-skrinshot-ekrana

Обобщённым перемещением δ0  будем называть величину, характеризующую деформацию, на которую нужно умножить обобщённую силу, чтобы подсчитать произведённую ею работу.

Обобщённым перемещением будут:

1) Прогиб f под силой P,

2016-10-25-22-56-34-skrinshot-ekrana .

2) Взаимный угол поворота сечений, где приложены моменты  М0  :

 θ=θ1+θ2, или углы поворота в отдельности θ1 и θ2.

2016-10-25-22-59-54-skrinshot-ekrana

3) Площадь, заключённая между первоначальной и изогнутой осью балки в районе расположения распределённой нагрузки:

2016-10-25-23-01-27-skrinshot-ekrana

Следует  отметить, что если действующая на конструкцию нагрузка представлена несколькими обобщёнными силами (Р01, P02, P03,… и т. д.),то каждое из обобщённых перемещений (δ01, δ02, δ03  и т. д.) является, вообще говоря, функцией всех обобщённых сил:

    2016-10-25-23-05-18-skrinshot-ekrana,

и так далее.

Так, прогиб под силой Р (см. рисунок) является результатом действия не только силы  Р , но и моментов М0 и распределённой нагрузки q.

Обобщённое перемещение будем считать положительным, если соответствующая обобщённая сила на этом перемещении совершает положительную работу.

Обобщённое перемещение, соответствующее определённой обобщённой силе, не изменится при изменении способа закрепления элемента конструкции.

Зависимости 2016-10-25-23-05-18-skrinshot-ekrana могут быть записаны так:

2016-10-25-23-08-21-skrinshot-ekrana

Здесь а11, а21 и т. д. – некоторые коэффициенты пропорциональности.

Первый индекс указывает порядковый номер перемещения, второй – порядковый номер обобщённой силы.

Потенциальная энергия деформации, создающаяся в упругой системе в результате действия нескольких обобщённых сил, равна половине суммы произведений обобщённых сил на соответствующие обобщённые перемещения, получающиеся от совместного действия всех обобщённых сил:

2016-10-25-23-20-29-skrinshot-ekrana