Теоретические предпосылки и указания к построению эпюр. Правила знаков для Q и M, проверки построения эпюр

Как построить эпюры Q и М. При прямом поперечном изгибе в поперечных сечениях балки возникает два внутренних силовых фактора – поперечная сила Qy и изгибающий момент Мх. Для построения эпюр этих внутренних силовых факторов важно знать, чему они численно равны (определение) и правила знаков.

Поперечная сила, возникающая в сечении балки – это внутреннее усилие, равное алгебраической сумме проекций внешних сил, действующих по одну сторону от этого сечения на плоскость поперечного сечения.

 Правило знаков. Положительная поперечная сила поворачивает рассматриваемую часть балки по часовой стрелке. (кратко – по часовой плюс, против – минус).

Изгибающий момент в сечении балки – это внутреннее усилие, равное алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от этого сечения, относительно центра тяжести сечения.

Правило знаков. Положительный изгибающий момент соответствует (т.е. вызывает) растяжению нижних волокон.

2014-09-13 12-37-38 Скриншот экрана

Для отыскания опасного сечения строят эпюры Qy и Мх, используя метод сечения, либо метод характерных точек. Эпюра – это график, показывающий изменение того или иного фактора по оси балки. Сечения расставляются на характерных участках, характерный участок балки – это участок между какими-либо изменениями. Изменения – это сосредоточенные силы или моменты, начало и конец распределенной нагрузки. Характерные точки – это точки, сколь-либо заметные на балке, т.е. точки приложения сосредоточенных сил, моментов и т.д.

Для того чтобы вычислить поперечную силу и изгибающий момент в произвольном сечении, необходимо мысленно рассечь плоскостью в этом месте балку и часть балки (любую), лежащую по одну сторону от рассматриваемого сечения, отбросить. Как правило, отбрасывают ту часть балки, которая представляется наиболее сложной. Затем по действующим на оставленную часть балки внешним силам надо найти искомые значения Qy и Мх, причем знак их надо определить в соответствии с принятыми ранее правилами знаков.

При построении эпюры слева направо отбрасывается правая часть балки, а Qy и Мх находятся по силам, действующим на левую часть. При построении эпюры справа налево, наоборот, отбрасывается левая часть, Qy и Мх определяются по силам, действующим на правую часть балки.

Для построения эпюр проводят нулевые линии под изображением балки. Тогда каждому сечению балки соответствует определенная точка этой линии. Положительные значения поперечных сил откладывают в принятом масштабе перпендикулярно нулевой линии вверх от нее, отрицательные — вниз.

При построении эпюры Мх у строителей при­нято: ординаты, выражающие в определенном масштабе положительные значения изгибающих моментов, откладывать со стороны растянутых волокон, т.е. — вниз, а отрицательные — вверх от оси балки. У механиков положительные значения и поперечной силы и изгибающего момента откладываются вверх.

Найденные значения поперечной силы и изгибающего момента соединяют соответствующими линиями.

Построенные эпюры Qуи Мxзаштриховывают прямыми линиями, перпендикулярными нулевой линии. Каждый штрих таким образом характеризует значение внутреннего силового фактора Qу или Мx,действующих в дан­ном сечении балки. На эпюрах ставятся знаки.

Проверка построения эпюр. Следует хорошо усвоить дифференциальные зависимости между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом (следствия из теоремы Д.И. Журавского), что позволит  быстро и правильно строить эпюры. Как проверить эпюры Q и М ? Необходимо запомнить следующие правила (проверки построения эпюр):

  1. На участке балки, где отсутствует распределенная нагрузка, эпюра Qy – прямая, параллельная базовой линии, а эпюра Мх — наклонная прямая.
  2. Под сосредоточенной силой на эпюре Qy наблюдается скачок, численно равный приложенной внешней силе, а на эпюре Мх – излом.
  3. В точке приложения сосредоточенной пары сил (момента) на эпюре момента происходит скачок на размер момента этой пары, а эпюра Qy не претерпевает изменений.
  4. На участке действия равномерно распределенной нагрузки эпюра Qy выражается наклонной прямой, а эпюра Мх – параболой, обращенной выпуклостью навстречу действию распределенной нагрузки.
  5. На  участках балки, где эпюра Q положительнаизгибающий момент с увеличением координаты z увеличивается, и, наоборот, там, где Q < 0, изгибающий момент уменьшается.
  6. Если на участке действия распределенной нагрузки эпюра Q пересекает базовую линию, то в этом сечении изгибающий момент принимает экстремальное значение.
  7. Если на границе действия распределенной нагрузки не приложено сосредоточенных сил, то на эпюре Qy участок, параллельный оси абсцисс, переходит в наклонный без скачка, а параболическая и наклонная части эпюры Мх сопрягаются плавно без изгиба.
  8. Изгибающий момент в концевых сечениях балки всегда равен нулю, за исключением случая, когда в концевом сечении действует сосредоточенная пара сил. В этом случае изгибающий момент в концевом сечении балки равен моменту действующей пары сил.
  9. В сечении, соответствующем заделке, Qy и Мх численно равны опорной реакции и реактивному моменту заделки.

Последовательность решения задач на построение эпюр: 

1)   определить реакции опор балки (по двум уравнениям моментов: одно – относительно левой опоры, второе – относительно правой), а затем обязательно проверить правильность решения по уравнению проекций на ось, перпендикулярную балке. Следует помнить, что допущенная ошибка при определении опорных реакций не позволит правильно решить задачу;

2)  построить эпюру поперечных сил (можно использовать метод построения по характерным сечениям либо точкам);

3)  построить эпюру изгибающих моментов (методы построения аналогичны);

4)  произвести проверку правильности построения эпюр согласно дифференциальных зависимостей.