Задача на подбор сечения и проверку прочности. Касательное напряжение и энергетический критерий прочности

Проектный и проверочный расчеты. Для балки с построенными эпюрами внутренних усилий  подобрать сечение в виде двух швеллеров из условия прочности по нормальным напряжениям. Проверить прочность  балки, используя условие прочности по касательным напряжениям и энергетический критерий прочности. Дано:2015-03-08 19-49-31 Скриншот экрана

Покажем балку с построенными эпюрами Q и М2015-03-08 19-51-23 Скриншот экрана

Согласно эпюре изгибающих моментов опасным является сечение С, в котором МСmax=48,3кНм.

Условие прочности по нормальным напряжениям для данной балки имеет вид σmax=MC/WX≤σadm. Требуется подобрать сечение из двух швеллеров.

2015-03-08 19-53-43 Скриншот экранаОпределим необходимое расчетное значение осевого момента сопротивления сечения:2015-03-08 20-45-09 Скриншот экрана

Для сечения в виде двух швеллеров согласно сортаменту прокатной стали принимаем два швеллера №20а, момент инерции каждого швеллера Ix=1670см4, тогда осевой момент сопротивления всего сечения:2015-03-08 20-48-32 Скриншот экрана

Перенапряжение (недонапряжение) в опасных точках  посчитаем по формуле:2015-03-08 20-51-33 Скриншот экрана Тогда получим недонапряжение:

2015-03-08 20-52-48 Скриншот экрана

Теперь проверим прочность балки, исходя из условия прочности по касательным напряжениям. Согласно эпюре поперечных сил  опасными являются сечения на участке ВС и сечение D. Как видно из эпюры,  Qmax=48,9 кН.

Условие прочности по касательным напряжениям имеет вид:2015-03-08 20-56-09 Скриншот экрана

Для швеллера №20 а:  статический момент площади Sx1=95,9 см3, момент инерции сечения Ix1=1670 см4, толщина стенки d1=5,2 мм, средняя толщина полки t1=9,7 мм, высота швеллера h1=20 см, ширина полки b1=8 см.

Для поперечного сечения из двух швеллеров:

Sx= 2Sx1=2·95,9=191,8 см3,

Ix=2Ix1=2·1670=3340 см4,

b=2d1=2·0,52=1,04 см.

Определяем значение максимального касательного  напряжения:

τmax=48,9·103·191,8·10−6/3340·10−8·1,04·10−2=27МПа.

Как видно, τmaxadm (27МПа<75МПа).

Следовательно, условие прочности выполняется.

Проверяем прочность балки по энергетическому критерию.

Из рассмотрения эпюр Q и М следует, что опасным является сечение С, в котором действуют MC=Mmax=48,3 кНм и QC=Qmax=48,9 кН.

Проведем анализ напряженного состояния в точках сечения С 

Схема сечения балки и эпюры напряжений для анализа напряженного состояния

Схема сечения балки и эпюры напряжений для анализа напряженного состояния

Определим нормальные и касательные напряжения на нескольких уровнях (отмечены на схеме сечения)

Уровень 1-1: y1-1=h1/2=20/2=10см.

Нормальные и касательные напряжения:2015-03-08 21-57-55 Скриншот экрана

Главные напряжения:

2015-03-08 21-59-07 Скриншот экрана

Экстремальные касательные напряжения:2015-03-08 22-01-23 Скриншот экрана

Уровень 2−2: y2-2=h1/2−t1=20/2−0,97=9,03см.

Нормальные и касательные напряжения:2015-03-08 22-02-33 Скриншот экрана

Главные напряжения:2015-03-08 22-03-41 Скриншот экрана

Экстремальные касательные напряжения:2015-03-08 22-04-39 Скриншот экрана

Уровень 3−3: y3-3=h1/2−t1=20/2−0,97=9,03см.

Нормальные и касательные напряжения:2015-03-08 22-05-39 Скриншот экрана

Главные напряжения:2015-03-08 22-08-29 Скриншот экрана

Экстремальные касательные напряжения:2015-03-08 22-09-19 Скриншот экрана

Уровень 4−4:    y4-4=0.

Нормальные и касательные напряжения:2015-03-08 22-10-24 Скриншот экрана(в середине нормальные напряжения равны нулю, касательные максимальны, их находили в проверке прочности по касательным напряжениям)

Главные напряжения:2015-03-08 22-11-22 Скриншот экрана

Экстремальные касательные напряжения:2015-03-08 22-12-30 Скриншот экрана

Уровень 5−5:

Нормальные и касательные напряжения:2015-03-08 22-13-35 Скриншот экрана

Главные напряжения:2015-03-08 22-14-33 Скриншот экрана

Экстремальные касательные напряжения:2015-03-08 22-15-17 Скриншот экрана

Уровень 6−6:

Нормальные и касательные напряжения:2015-03-08 22-16-10 Скриншот экрана

Главные напряжения:2015-03-08 22-17-03 Скриншот экрана

Экстремальные касательные напряжения:2015-03-08 22-17-50 Скриншот экрана

 Уровень 7−7:

Нормальные и касательные напряжения:2015-03-08 22-18-50 Скриншот экрана

Главные напряжения:2015-03-08 22-20-02 Скриншот экрана

Экстремальные касательные напряжения:2015-03-08 22-20-54 Скриншот экрана

В соответствии с выполненными расчетами эпюры напряжений σ, τ, σ1, σ3, τmax и τmin представлены на рис. Схема сечения балки и эпюры напряжений для анализа напряженного состояния

Анализ этих эпюр показывает, что в сечении балки опасными являются точки на уровне 3-3 (или 5-5), в которых: 2015-03-08 22-25-38 Скриншот экрана

Используя энергетический критерий прочности, получим

2015-03-08 22-26-27 Скриншот экрана

Из сравнения эквивалентного и допускаемого напряжений следует, что условие прочности также выполняется   2015-03-08 22-27-40 Скриншот экрана

 (135,3 МПа<150 МПа).