Статически неопределимые задачи при кручении. Задача2

Пусть:М1=5кНм,           М2=10кНм,           =1м,           [τ]=100МПа,           G=8∙1010Па

Требуется: 1) Построить эпюру крутящих моментов и подобрать размеры поперечных сечений заданной формы, соблюдая следующие соотношения между ними:

2014-09-05 23-49-25 Скриншот экрана

2) Построить эпюру углов поворота.

2014-09-08 21-39-20 Скриншот экрана

Сначала составляем уравнение статики для всего бруса:

2014-09-05 23-50-45 Скриншот экрана(1)

Здесь два неизвестных, следовательно, требуется еще одно уравнение. Его получим, если сформулируем условие совместности деформаций всех трех участков бруса. Оно заключается в том, что поворот правого опорного сечения относительно левого опорного сечения для рассматриваемого бруса невозможен, поскольку оба его концы жестко защемлены:

φI+ φII+ φIII=0.

Учитывая, что

2014-09-05 23-52-01 Скриншот экрана

получаем:

2014-09-05 23-52-55 Скриншот экрана(2)

Сократим на 2014-09-05 23-53-56 Скриншот экрана , тогда будет:

2014-09-06 00-20-02 Скриншот экрана(2′)

Выразим моменты инерции сечений разных форм с учетом заданных соотношений размеров:

2014-09-06 00-21-21 Скриншот экрана

При h/b=2: β=0,229, и тогда IкIII= β∙hb3=0,229∙(2b)∙b3=0,458∙ b4=0,458∙ c4.

Итак, все моменты инерции выражены через один параметр с, что позволит довести до числа решение уравнения (2′):

2014-09-06 00-22-33 Скриншот экрана

или после сокращения на с4:

2014-09-06 00-23-33 Скриншот экрана(2′′)

С помощью метода сечений выразим неизвестные крутящие моменты через один из реактивных опорных моментов, например, через МА:

2014-09-06 00-25-16 Скриншот экрана  (а)

2014-09-08 21-12-48 Скриншот экрана(б)

2014-09-08 21-14-10 Скриншот экрана(в)

С учетом (а), (б) и (в)  уравнение (2′′), будет:

2014-09-08 21-15-25 Скриншот экрана

откуда находим значение МА:

2014-09-08 21-16-25 Скриншот экрана

— 13,892МА=3,33.

МА=-0,24кНм

Тогда из (а), (б) и (в) найдем:

2014-09-08 21-18-12 Скриншот экрана

Эти результаты показаны в виде эпюры крутящих моментов.

Подбор размеров сечений производится по условиям прочности:

— на первом участке

2014-09-08 21-19-23 Скриншот экрана

Для круглого сечения

2014-09-08 21-20-19 Скриншот экрана

При заданном соотношении d=c:

2014-09-08 21-21-23 Скриншот экрана

Тогда

2014-09-08 21-22-24 Скриншот экрана

— на втором участке

2014-09-08 21-23-41 Скриншот экрана

Для кольцевого сечения

2014-09-08 21-24-36 Скриншот экрана

Здесь мы должны учесть соотношения размеров, при которых и найдены внутренние усилия, то – есть

2014-09-08 21-25-37 Скриншот экрана

тогда:

2014-09-08 21-26-41 Скриншот экрана

— на третьем участке

2014-09-08 21-27-46 Скриншот экрана

Для прямоугольного сечения 2014-09-08 21-29-09 Скриншот экрана . При соотношениях 2014-09-08 21-30-00 Скриншот экрана

По таблице α=0,246. И тогда Wк=2∙0,246∙с3.

Из условия прочности

2014-09-08 21-31-49 Скриншот экрана

Из трех требуемых значений «с» (0,023м, 0,04м и 0,046м) принимаем наибольшее с=0,046м и тогда проектные значения размеров сечений на разных участках должны быть

— на первом участке: круглое сечение диаметром d=0,046м,

у которого 2014-09-08 21-32-58 Скриншот экрана

— на втором участке: кольцевое сечение с внутренним диаметром d=0,046м, а внешним 2014-09-08 21-34-00 Скриншот экранау которого 2014-09-08 21-34-51 Скриншот экрана

— на третьем участке: прямоугольное сечение шириной b=c=0,046м

и высотой h=2b=2∙0,046=0,092 м,

у которого Iк=β∙hb3=0,229∙0,092∙0,0463=205∙10-8м4.

2. Построение эпюры углов поворота.

Для этого вычисляются углы поворота сечений, расположенных на границах участков бруса (эти сечения на схеме обозначены цифрами в кружочках), они откладываются в виде ординат, вершины которых соединяются прямыми линиями. Так:

α0=0, поскольку крайнее левое сечение жестко защемлено и поворачиваться вокруг продольной оси не может,

2014-09-08 21-37-28 Скриншот экрана

Равенство нулю угла поворота крайнего правого сечения, тоже жестко защемленного, служит контролем правильности всего решения задачи.